《基本不等式》教学设计

《基本不等式》教学设计一、知识结构框图二、学习目标（1）知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题；（2）过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养；（3）情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过程中，体会数学的严谨性，发现数学的实用性三、重点、难点重点：（1）基本不等式的定义，证明方法和几何解释（2）用基本不等式解决简单的最值问题.难点：（1）基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单最值问题.四、教学过程教学内容师生活动设计意图情境导学探新知情境1：展示第24届国际数学家大会的会标，介绍赵爽弦图历史渊源.情境2：介绍知名校友国际数学新秀韦东奕.师：展示部分北京数学家大会的图片，介绍发展史.生：欣赏和感受数学历史文华,榜样就在我们身边.渗透德育，激发学生的民族自豪感，调动学生数学学习积极性.合作探究释疑难问题1：你能否从数学家的角度来欣赏会标，由哪些几何图形构成？蕴含怎样的不等关系？重要不等式：当且仅当时，等号成立.师：提出问题1，留给学生一分钟时间独立思考.生：整个图案由正方形和四个全等的直角三角形构成.生：大正方形面积不小于四个直角三角形面积和.师：设直角三角形的直角边分别为a,b,如何表示上述不等关系？师：观察数学模型，当a,b,满足什么条件时，大正方形面积等于四个直角三角形面积和？生：时取得相等激发学生探究欲望，引导学生从几何图形出发抽象出重要不等式，为接下来基本不等式做铺垫，体会数学建模，数形结合的思想.合作探究释疑难问题2：由重要不等式出发，如何才能得到两个正数和与积的不等关系？基本不等式：当且仅当a=b时取得等号.是两个正数a,b的算术平均数，是两个正数a,b的几何平均数师：重要不等式体现了平方和与积的关系，你能想到哪些方法使其转变成两个正数和与积的关系？生：小组交流讨论，时长3分钟.生：可用正数代替原式中的a,b,即得到生：原不等式两边同时加即即师：何时取等？生：当且仅当等号成立.师：板书基本不等式体会代换方法在数学学习中的作用，感受数学知识间的联系，通过分析基本不等式的结构特征得到基本不等式的代数解释，加深对基本不等式的认识，多种方法下，培养学生的发散思维.合作探究释疑难问题3：是否还有其它方式证明？做差法证明基本不等式.师：有哪些方式可以比较两个代数式的大小？生：做差法.生：一人黑板板书做差法证明基本不等式，其余同学练习本证明.生：黑板上讲解证明思路，过程.师：结合板书同学证明步骤，讲强调取等的重要性.从几何和代数两个角度实现基本不等式的证明，培养学生逻辑推理能力，实现从感性认识到理性认识升华.合作探究释疑难问题4：“当时等号成立”“仅当时等号成立”含义分别是什么？师：结合第一章我们研究的常用逻辑用语，你能否发现，“”和“等号成立”之间的关系？生：“当时等号成立”是说“”是“等号成立”的充分条件;“仅当时等号成立”是说“”是“等号成立”的必要条件，也就是“”和“等号成立”互为充要条件.师：肯定学生能够前后知识融会贯通.强调基本不等式取等条件，加深学生对于等号是否成立的理性认识.加强学生前后知识间的联系和数学应用意识.合作探究释疑难问题5：如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b,过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD，你能利用这个图形得到基本不等式的几何解释吗？师：前后4人小组，4分钟时间讨论交流.生：小组讨论，选派小组代表上台为同学展示交流成果，其他同学做补充.师：肯定小组交流成果.师：几何画板动态演示，使学生直观感受变与不变.师：引导学生总结，半径即为，，圆中直径不小于任意一条弦，当且仅当弦过圆心时，二者相等.学生自己发现基本不等式的几何解释相对较困难，给出几何图形后，引导学生将和与图中的几何元素建立起联系，再观察这些几何元素在变化中表现得大小关系，从而得到基本不等式的几何解释，几何画板演示增强视觉直观，数形结合.典例练习夯基础典例练习夯基础题组一.对基本不等式的理解1.已知，则的最小值为（）2.已知且，则的最大值为（）A.3.给出下列条件：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)；eq\o\ac(○,4)其中能使成立的条件有（）个个个D.4个师：最小值的含义是什么？学生思考后回答，教师总结，即求一个实数M，使所有值都大于等于M，并且能取到M.生：第一题可以利用基本不等式求得，首先满足应用条件代入公式，求得，当且仅当=1时等号成立.师：引导学生在该题的基础之上，对基本不等式进行变形，得到（板书），总结得到“两个正数积定和最小”生：第二题符合基本不等式应用条件，代入公式求得，当且仅当=1时等号成立.师：引导学生对基本不等式进行变形得（板书），总结得到“两个正数和定积最大”生：分析基本不等式的应用前提，即两个正数，将，看作两个整体，要求a,b同号.师：学生共同总结应用基本不等式的注意事项，教师补充，即“一正，二定，三相等”(板书).题组一是典型而较为简单能够用基本不等式求解的问题，通过本例的教学，可以帮助学生理解如何直接应用基本不等式解决问题，设置三个题目，逐渐强化基本不等式的应用条件，并由学生亲自发现和总结公式变形，形成求解最值问题的数学模型，进一步发展模型思想，整体思想.由题目出发，总结易错和注意事项,加深学生对于基本不等式理解，增加学生获得感，满足感.典例练习夯基础题组二基本不等式求最值1.已知，求的最小值2.已知，求的最大值师：引导学生观察求最小值的代数式结构特点，是否可以利用基本不式？如果可以，如何求？学生：思考后，介绍解题思路.师：板书详细解题过程师：第二题，你有哪些方法可以求最大值？生：基本不等式法和函数法可以求得最大值.练习本完成.师：投影讲解，强调步骤规范性.引导学生根据所求代数式的形式，判断能否利用基本不等式解决问题，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范.课堂小结提素养课堂小结知识要点：

（1）基本不等式的条件及结构特征

（2）基本不等式在几何、代数两方面的意义思想方法：

（1）数形结合思想

（2）整体与局部（3）模型思想师：引导同学们相互总结本节课的收获和注意事项.生：踊跃发言，从知识层面和思想方法两个角度总结本节课内容.引导学生回顾总结学习内容和方法，梳理课堂内容，形成知