高中数学排列与组合课件(经典)

组合（1）组合的概念及组合数公式组合（1）组合的概念及组合数公式问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙

3情境创设问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题2从已知的3

个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题1排列组合有顺序无顺序从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题2从

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

排列与组合的概念有什么共同点与不同点？

概念讲解组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组合定义:

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)

个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从

n个不同元素中取出

m个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.概念讲解组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?１）元素相同；２）元素排列顺序相同.元素相同概念理解

构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二判断下列问题是组合问题还是排列问题?

(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc

2.已知4个元素a,b,c,d

,写出每次取出两个元素的所有组合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3个)(6个)概念理解1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:如:已知4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：概念讲解组合数:注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来．

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫1.写出从a,b,c,d

四个元素中任取三个元素的所有组合。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd练一练1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合。组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？你发现了什么?组合排列abcabdacdbcdabcbac如何计算:如何计算:组合数公式

排列与组合是有区别的，但它们又有联系．根据分步计数原理，得到：因此：

一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分为以下2步：

第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数．

第2步，求每一个组合中个元素的全排列数．

这里，且，这个公式叫做组合数公式．

概念讲解组合数公式排列与组合是有区别的，但它们又有联系．根据组合数公式:

从n个不同元中取出m个元素的排列数概念讲解组合数公式:从n个不同元中取出m个元素的排列数例1、计算：⑴

⑵

例题分析解：⑴

(2)

（3）得:例1、计算：⑴⑵例题分析解：⑴(2)（3）得:例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各场比赛的双方；(2)列出所有冠亚军的可能情况.(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：例题分析例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各例1、一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？解：（1）（2）或例1、一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球比赛规则，例2.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？解：（1）（2）或例2.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有例3.(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n（n>3）边形有多少条对角线？解：（1）（2）例3.(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n（n>3）边例4、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？解：（1）（2）（3）（4）例4、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,变式练习按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；变式练习按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？例5、某医院有内科医生8名，外科医生6名，现要

派4人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生

和1名外科医生参加，有多少种选法？解：方法1：方法2：例5、某医院有内科医生8名，外科医生6名，现要解：方法例6、平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此

外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定

多少条直线？可以作多少个三角形？解：方法1：9个点分两类：共线的四点A，B，C，D其他的五点E，F，G，H，G第一种情况：两类点中各选一点有第二种情况：不共线的五点中选两点有第三种情况：四点确定的一条直线共1条；结论：例6、平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此解：方法1：例6、平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此

外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定

多少条直线？可以作多少个三角形？解：方法2：先9个点中任选两点有：不满足条件（共线的四点）的有：结论：例6、平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此解：方法2：例7、有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通法语，还有2名英、法语皆通。现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？英语法语524解：如图，分三类，先选择英语翻译第一类：只会英语的选4个有第二类：只会英语的选3个有第三类：只会英语的选2个有结论：例7、有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通法语，排列组合组合的概念组合数的概念组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果联系小结排列组合组合的概念组合数的概念组合是选择的联系小结组合（2）组合的性质组合（2）组合的性质引例1：某小组有7人:⑴选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的选法?⑵选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不同的选法?思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同?这一结果的组合的意义是什么？即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校园劳动都有35种不同的选法.新课教学引例1：某小组有7人:思考一:为何上面两个不同的组合数其结果对应从7位同学中选出3位同学构成一个组合剩下的4位同学构成一个组合从7位同学中选出3位同学的组合数即：从7位同学中选出4位同学的组合数思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？对应从7位同学中选出3位同学构成一个组合剩下的4位同学构成一一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–m个元素,因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的n–m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数,等于从这n个元素中取出

n-m个元素的组合数.即这就是我们今天学习的组合数的第一个性质.

性质1该性质又叫对偶法则一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–练习:（1）计算：（2）已知：,求x．

（3）已知：,求解：解：或得或解：练习:（1）计算：（2）已知：,求x．（3）已知：,求解：引例2：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．（1）从口袋内取出3个球,共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多

少种取法？（3）从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种

取法？⑶

解：⑵⑴我们发现：这是为什么呢?引例2：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑶解：

我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类:一类含有1个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立.思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？性质2我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．

例１、计算：原式=原式=例１、计算：原式=原式=组合（3）组合的典型例题组合（3）组合的典型例题一、等分组（平均分组）与不等分组问题问题1：把1,2,3,4四个数字平均分成两组，有几种分法？对吗？第二排重复了！！！分成的两组进行了全排.123413241423341224132314正确结果：123413241423一、等分组（平均分组）与不等分组问题问题1：把1,2,3,4一、等分组（平均分组）与不等分组问题问题2：如果6个元素平均分成3组呢？问题3：如果8个元素平均分成4组呢？结论：有m个平均组就除以.一、等分组（平均分组）与不等分组问题问题2：如果6个元素平均一、等分组（平均分组）与不等分组问题例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本；一、等分组（平均分组）与不等分组问题例1、6本不同的书，按下一、等分组（平均分组）与不等分组问题例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给5个人，每人至少一本；或一、等分组（平均分组）与不等分组问题例1、6本不同的书，按下一、等分组与不等分组问题例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（6）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；分析：三种情况1+1+4,1+2+3,2+2+2第一种情况：第二种情况：第三种情况：结论：++=990一、等分组与不等分组问题例1、6本不同的书，按下列条件，各有(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1

件,另一份4件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,

每人二件有多少种分法?解:(1)(2)练习：(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1解:例2、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电

而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端

的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭

的方法共有（）

（A）种（B）种（C）种（D）种二、不相邻问题插空法8个空首尾正确答案：A例2、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电二、三、混合问题，先“组”后“排”例3、

对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一

进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好

在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，

且第5次测试是次品，则前4次测试3次测到次品，1次测到正品，所以共有三、混合问题，先“组”后“排”例3、对某种产品的6件不同的练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.解：采用先组后排方法:2、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名四、分类组合,隔板处理问题：5个相同的球分成4组，共有多少种不同的分法？4种不同分法，相当于4个空隙中插入3块隔板，分成4组，隔板法：n个相同的元素分成m组，则共计方法.四、分类组合,隔板处理问题：5个相同的球分成4组，共有多少种四、分类组合,隔板处理例4、把30个参加数学竞赛的名额分给6个学校,每校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理.（类似一根火腿分成6段,需要切5刀）解:29个空插入5块隔板，共分成6份，共计：四、分类组合,隔板处理例4、把30个参加数学竞赛的名额分给61、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至

少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？练习：1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至练习例5、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，

也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不

同的走法？五、化归策略分析：只能分1级和2级走，而且必须11步走完，所以2级走的有6次，1级走的有5次，即从11个位置中选择6个位置给2级，剩下的是1级，共计：例5、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，1、某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示

马路，从A走到B的最短路径有多少种？

练习题:1、某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示练习组合（1）组合的概念及组合数公式组合（1）组合的概念及组合数公式问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙

3情境创设问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题2从已知的3

个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题1排列组合有顺序无顺序从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题2从

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

排列与组合的概念有什么共同点与不同点？

概念讲解组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组合定义:

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)

个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从

n个不同元素中取出

m个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.概念讲解组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?１）元素相同；２）元素排列顺序相同.元素相同概念理解

构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二判断下列问题是组合问题还是排列问题?

(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc

2.已知4个元素a,b,c,d

,写出每次取出两个元素的所有组合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3个)(6个)概念理解1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:如:已知4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：概念讲解组合数:注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来．

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫1.写出从a,b,c,d

四个元素中任取三个元素的所有组合。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd练一练1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合。组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？你发现了什么?组合排列abcabdacdbcdabcbac如何计算:如何计算:组合数公式

排列与组合是有区别的，但它们又有联系．根据分步计数原理，得到：因此：

一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分为以下2步：

第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数．

第2步，求每一个组合中个元素的全排列数．

这里，且，这个公式叫做组合数公式．

概念讲解组合数公式排列与组合是有区别的，但它们又有联系．根据组合数公式:

从n个不同元中取出m个元素的排列数概念讲解组合数公式:从n个不同元中取出m个元素的排列数例1、计算：⑴

⑵

例题分析解：⑴

(2)

（3）得:例1、计算：⑴⑵例题分析解：⑴(2)（3）得:例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各场比赛的双方；(2)列出所有冠亚军的可能情况.(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：例题分析例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各例1、一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？解：（1）（2）或例1、一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球比赛规则，例2.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？解：（1）（2）或例2.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有例3.(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n（n>3）边形有多少条对角线？解：（1）（2）例3.(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n（n>3）边例4、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？解：（1）（2）（3）（4）例4、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,变式练习按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；变式练习按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？例5、某医院有内科医生8名，外科医生6名，现要

派4人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生

和1名外科医生参加，有多少种选法？解：方法1：方法2：例5、某医院有内科医生8名，外科医生6名，现要解：方法例6、平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此

外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定

多少条直线？可以作多少个三角形？解：方法1：9个点分两类：共线的四点A，B，C，D其他的五点E，F，G，H，G第一种情况：两类点中各选一点有第二种情况：不共线的五点中选两点有第三种情况：四点确定的一条直线共1条；结论：例6、平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此解：方法1：例6、平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此

外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定

多少条直线？可以作多少个三角形？解：方法2：先9个点中任选两点有：不满足条件（共线的四点）的有：结论：例6、平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此解：方法2：例7、有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通法语，还有2名英、法语皆通。现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？英语法语524解：如图，分三类，先选择英语翻译第一类：只会英语的选4个有第二类：只会英语的选3个有第三类：只会英语的选2个有结论：例7、有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通法语，排列组合组合的概念组合数的概念组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果联系小结排列组合组合的概念组合数的概念组合是选择的联系小结组合（2）组合的性质组合（2）组合的性质引例1：某小组有7人:⑴选出3人参加植树劳动,可以有多少种不同的选法?⑵选出4人参加清扫校园劳动,可以有多少种不同的选法?思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同?这一结果的组合的意义是什么？即选出3人参加植树劳动或选出4人参加清扫校园劳动都有35种不同的选法.新课教学引例1：某小组有7人:思考一:为何上面两个不同的组合数其结果对应从7位同学中选出3位同学构成一个组合剩下的4位同学构成一个组合从7位同学中选出3位同学的组合数即：从7位同学中选出4位同学的组合数思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？对应从7位同学中选出3位同学构成一个组合剩下的4位同学构成一一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–m个元素,因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的n–m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数,等于从这n个元素中取出

n-m个元素的组合数.即这就是我们今天学习的组合数的第一个性质.

性质1该性质又叫对偶法则一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–练习:（1）计算：（2）已知：,求x．

（3）已知：,求解：解：或得或解：练习:（1）计算：（2）已知：,求x．（3）已知：,求解：引例2：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．（1）从口袋内取出3个球,共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多

少种取法？（3）从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种

取法？⑶

解：⑵⑴我们发现：这是为什么呢?引例2：一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑶解：

我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类:一类含有1个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立.思考：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？性质2我们可以这样解释:从口袋内的8个球中所取出的3个球

公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．

例１、计算：原式=原式=例１、计算：原式=原式=组合（3）组合的典型例题组合（3）组合的典型例题一、等分组（平均分组）与不等分组问题问题1：把1,2,3,4四个数字平均分成两组，有几种分法？对吗？第二排重复了！！！分成的两组进行了全排.123413241423341224132314正确结果：123413241423一、等分组（平均分组）与不等分组问题问题1：把1,2,3,4一、等分组（平均分组）与不等分组问题问题2：如果6个元素平均分成3组呢？问题3：如果8个元素平均分成4组呢？结论：有m个平均组就除以.一、等分组（平均分组）与不等分组问题问题2：如果6个元素平均一、等分组（平均分组）与不等分组问题例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（1）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本；一、等分组（平均分组）与不等分组问题例1、6本不同的书，按下一、等分组（平均分组）与不等分组问题例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给5个人，每人至少一本；或一、等分组（平均分组）与不等分组问题例1、6本不同的书，按下一、等分组与不等分组问题例1、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；（6）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；分析：三种情况1+1+4,1+2+3,2+2+2第一种情况：第二种情况：第三种情况：结论：++=990一、等分组与不等分组问题例1、6本不同的书，按下列条件，各有(1)今有10件不同奖品,从中选