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文档简介

§5.3微积分基本定理两个问题的提出微积分第一基本定理原函数与不定积分微积分第二基本定理变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为一、两个问题的提出问题一问题二考察定积分记积分上限函数二、微积分第一基本定理微积分第一基本定理证由积分中值定理得7定理说明:当f(x)在[a,b]上连续时,问题一有解,就是问题一的解函数补充：从而可知:微分运算“d”与变上限积分运算“”是互逆的运算补充证例1求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.证令变上限积分函数的进一步讨论:变限积分函数既然是一函数,就可讨论其一系列的函数性质(例如,单调性,最值,凹凸性等)（3）求极限（1）若,计算（2）若,计算(4)设f(x)在[a,b]上连续,且单调增,证明:解原问题构造辅助函数则有F(a)=0,我们希望证明F(x)在[a,b]上单调增对任意的x[a,b]所以F(x)在[a,b]上单调增.于是有F(b)F(a)=0由此证得例定义：三、原函数和不定积分定理4（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.问题：(1)原函数是否唯一？例（为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，则（为任意常数）证（为任意常数）由此得知:在知道f(x)的一个原函数F(x)之后,则F(x)+c(c

为任意常数)表示了f(x)的所有原函数任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量说明:(1)不定积分表示一族函数,它涵盖了f(x)在[a,b]上原函数的全体现若f(x)在[a,b]上连续,则变上限积分函数是f(x)在[a,b]上的一个原函数,于是有即从而将的计算转化为不定积分的计算问题例1

求解解例2

求显然，求不定积分得到一积分曲线族.定理6微分运算与积分运算是是一对互逆的运算,即有根据求导公式可得以下不定积分公式:设f(x)在[a,b]上连续,若能计算出不定积分从而获得f(x)在[a,b]上的一个原函数F(x),则有令x=a

得,F(a)+c=0c=－F(a)可得所以有三、微积分第二基本定理定理(微积分第二基本定理)说明:(1)牛顿—莱布尼兹公式把的计算问题转化f(x)在[a,b]上的一个原函数的计算问题转化不定积分的计算问题,从而回避从定义计算定积分设f(x)在[a,b]上连续,F(x)是f(x)在[a,b]上的任意一个原函数,则(牛顿—莱布尼兹公式)例5求

解由图形可知

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