2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量4空间直线平面的平行练习含解析

空间直线、平面的平行考试要求1.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．知识梳理1．文字语言 图形语言 符号语言如果平面外一条直线与此平判定面内的一条直线平行那么该 错误定理直线与此平面平行一条直线与一个平面平行性质果过该直线的平面与此平面 错误定理相交，那么该直线与交线平行2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语如果一个平面内的两条相交直判定 错误!线与另一个平面平行，那么这定理两个平面平行

⇒β∥α两个平面平行，如果另一个平性质 错误!面与这两个平面相交，那么两定理条交线平行

⇒a∥b常用结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即，则(4)若⊂，则思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)1若直线∥平面，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(×)(3)若直线⊂平面，直线⊂平面，则.(×)(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)教材改编题下列说法中，与“直线平面等价的( )直线a上有无数个点不在平面α内直线a与平面α内的所有直线平行直线a与平面α内无数条直线不相交直线a与平面α答案D解析因为∥平面，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．已知不重合的直线和平面则下列选项正确的( A．若则若若⊂若⊂⊂答案D⊂，则⊂⊂⊂⊂如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 ．答案平行四边形解析∵平面又平面∩平面∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形.2题型一直线与平面平行的判定与性质命题点1直线与平面平行的判定1如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD分别是的中点，求证：证明(1)如图，连接BDAC，连接∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，又∵FPD平面∴PB∥平面ACF.取PA的中点，连接∵F是PD的中点，∴GF是△PAD的中位线，∴GF

1綉2∵底面ABCD是BC的中点，∴BE

1綉綉2∴四边形BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，又∵EF✪平面PAB，BG⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.3命题点2直线与平面平行的性质2如图所示，在四棱锥P－ABCDABCDPCDM上取一点，过G和PA作平面交BD于点证明如图所示，连接ACBD于点，连接∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，MPC∴PA∥OM，又OM⊂平面BMD，PA✪平面BMD，∴PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，教师备选如图，四边形ABCDBC作平面BCFE交AP于点，交DP于点证：四边形BCFE是梯形．证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面PAD，BC✪平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，4∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCFE是梯形．思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置定交线．1如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是线段EF的中点．若平面l与m的结论．证明如图，记AC与BD的交点为，连接分别为的中点，四边形ACEF所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM∥OE.又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.解由(1⊂平面5同理，AM∥平面BDE，⊂平面题型二平面与平面平行的判定与性质3如图所示，在三棱柱B

BC的平面与上底面AB

BC不重合)．

111

111 11若分别是B的中点，求证：平面EFA∥平面11 1证明(1)∵在三棱柱BC中，111∴平面ABC，111又∵平面且平面ABC111∴由面面平行的性质定理得(2)∵E，F分别为∵EF✪平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.分别为AB，ABB綉11 11∴AG1∴四边形AEBG1 1∵A平面⊂平面1∴A∥平面1又∵A⊂平面EFA，1 1 1∴平面EFA∥平面1延伸探究在本例中，若将条件“分别是

的中点”变为“点D，D分别11 1AD是C上的点，且平面BC平面ABD”，试求 的值．11 1

11 DC解如图，连接ABAB，连接OD.1 1 16由平面BC∥平面ABD，1 11且平面ABC∩平面BC，1 1 1 1ABC∩平面ABD＝D1 1 11 1ADAOBC∥D11＝1＝1.1 1 DC OB11ADDC11＝，DCAD11DC AD所以AD＝1，即DC＝1.教师备选如图，在三棱柱BC分别为BC，AB，AB的中点．111 11 11求证：平面AC∥平面11若平面AC为BC的中点．11证明分别为BC，AB的中点，C，

11 1111∵AC⊂平面ACAC11 11 11∥平面AC11分别为AB，AB的中点，11∴A1又A1∴四边形AGBF为平行四边形，11∵A⊂平面ACAC1 11 11∥平面AC11又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面AC∥平面117(2)∵平面ABC，平面AC∩平面ABC＝AC，111 11 111 11ACG与平面ABC有公共点，则有经过G的直线，设交BC于点11AC11∵G为AB为BC思维升华证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理．β∥γ⇒α∥γ)．2如图，四棱柱BCD的底面ABCD是正方形．1111证明：平面ACDB；1 11若平面CDB＝直线BD11 11证明(1)由题设知BB綉DD，所以四边形BBDD是平行四边形，所以D.1 1 11 11平面CDB，BD⊂平面CDB，11 11 11CDB.11ADB

綉BC，11 11所以四边形ABCD是平行四边形，1 1A1 1A平面CDB，D⊂平面CDB，1 11 1 11A∥平面CDB.1 11又因为⊂平面A1 1 1所以平面A∥平面CDB.1 11(2)由(1)知平面ACDB，1 11又平面CDB＝直线11A1所以直线l∥直线BD，在四棱柱BCD中，四边形BDD

为平行四边形，1111 118BD，所以BD11 11题型三平行关系的综合应用4如图，在正方体BC

分别为对角线

CQBP2上的点，且＝＝.1111

1 QD1

PD3AD11AR若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面ADAB 11CPDAMMDABCD为1正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，CPBP23所以PM＝PD＝，3CQBP23又因为QD，31CQCP23QD31.1MD平面ADAD1 11 11AD11AR 3解当的值为时，能使平面

ADAB 5 11证明如下：9AR35因为AB＝，5BR23即RA＝，3BRBP故RA＝PD.所以PR∥DA.⊂平面AD平面AD11 11AD11AD⊂平面11所以平面AD11教师备选如图，四边形ABCDADEF分别是的中点．求证：平面证明(1)如图，连接AE必过DFGN的交点MO为△ABE的中位线，所以平面⊂平面所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，MABMN为△ABD的中位线，所以⊂平面所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，10所以平面BDE∥平面MNG.思维升华证明平行关系的常用方法熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．跟踪训练3如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．若EFGH周长的取值范围．(1)证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF✪平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB✪平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∥平面(2)解设由(1CFEFx4∴CB＝AB＝，4与(1)同理可得CD∥FG，FGBF∴CD＝BC，FGBFx则6＝BC＝BC＝1－，4FG 3∴＝6－x.2∴四边形EFGH的周长L x 3＝12.＝2

＋6－2又∵0<x<4，∴8<L<12，故四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．11课时精练1．(2022·宁波模)下列命题中正确的( )若是两条直线，且，那么a平行于经过b的任何平面若直线a和平面α满足，那么a与αC．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线和平面α⊂答案D解析A可以在过bα相交；D2．(2022·呼和浩特模设是两条不同的直线是两个不同的平面，则的一个充分条件( )存在一条直线存在一条直线⊂存在两条平行直线⊂⊂存在两条异面直线⊂⊂答案D解析对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行，故A不正确；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不正确；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不正确；D，如图，在直线b上取点，过点B和直线a确定一个平面，交平面β因为a∥β，所以a∥a′，又a′⊄α，a⊂α，所以a′∥α，又因为b∥α，b∩a′＝B，b⊂β，a′⊂β，所以β∥α.3．(2022·BCMN作一平面111 1 1分别交底面△ABC的边于点则( )12A．MF∥EBB．AB∥NE11C．四边形MNEF为平行四边形D．四边形MNEF为梯形答案D解析由于∈平面为异面直线，故A错误；B∈平面B∉平面BAB，NE为异面直线，故B1 1 1 1 1 11∵在平行四边形AABB，11 1，1∴AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．P为△ABC∥平面α交线段于点若则S ∶S 等( )△ABCA．2∶3C．4∶9答案D

B．2∶5D．4∶2513解析∵平面α∥平面ABC，∴A′C′∥AC，A′B′∥AB，B′C′∥BC，∴S ∶S(P′P)2，△ABC又PA′∶AA′＝2∶3，∴PA′∶PA＝2∶5，∴S ∶S＝4∶25.△ABC5．(多选)(2022·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的( )答案AC解析对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故AB，如图，取正方体所在棱的中点FGABABDEF相交于点，故B对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故CD，ABDF所在平面的正方形对角线有交点与该对角线平行，∴直线AB与平面DEF相交，故DBCD内灌进一些水，固定容器一边AB1111于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的( )14A．没有水的部分始终呈棱柱形B．水面EFGHC．C始终与水面所在平面平行11D．当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值答案ADA正确；由题图可知水面EFGH的边EFBAC∥AA⊂平面ABCAC✪平面ABC，11 11AC∥平面EFGH不平行于平面ABCDCC11 11错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH－BFG的体积V为定值，又，高AB不变，所以S

也不变，即为定值，故D△AEH

⊂α

△AEH

∥m考查①②两个命题，①

l∥m⇒l∥α；②

m∥α⇒l∥α，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l，m为直线，α为平面)，则此条件为 解析①由线面平行的判定定理知l✪α；②由线面平行的判定定理知l✪α.如图所示，在正四棱柱BCD分别是棱CCD的中点，1111 1 11 1N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条，就有平BBDD1 1M在线段FHM与点H解析连接115∴平面BBDD，只需1 1⊂平面BBDD.1 1如图，在正方体BCD分别是，CD

的中点，求证：1111 1 11 1；1BBD11平面BD11证明如图．取BB的中点1，易证四边形HMC

是平行四边形，1 11∴HD∥MC.1 1MC1.1取BD的中点，连接，1

1綉DC.2D1

1綉2∴OED1∴四边形OEGD是平行四边形，11D⊂平面BBDBBD1 11 11∥平面BBD11由，由题意易证BD1 11BD，HD⊂平面BD⊂平面BD∩HD＝D11 1 11 11 1 1∴平面BD1116如图，在四棱锥P－ABCD

ADBCAB

1BC 分别为线段的中，∥

，＝＝2中点，ACBE交于O点，G是线段OF上一点．(2)证明(1)如图，连接AD

BCBC

1AD，∥，＝2所以BC∥AE，BC＝AE，所以四边形ABCEOAC的中点．又因为FPC因为FO⊂平面BEF，AP✪平面BEF，所以AP∥平面BEF.连接分别是又因为OBECD⊂所以平面又因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面PAD.1711．(多选已知是两个平面是两条直线．下列命题正确的( A．如果那么如果⊂⊂答案BC解析如果⊂⊂，故A如果⊂B如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故C正确；⊂α这个条件，故D12．(2022·BCD中，点分别为棱1111CD，DA，DC的中点，则下列叙述中正确的( )11 11 1 1直线EFG直线A∥平面EFG1平面EFG平面AEFG1答案B解析过点分别为AA，BC的中点)，连接A1 1BQ与平面EFG相交于点，故A∵AB平面⊂平面1 1∴A∥平面B1⊂平面ADDA⊂平面ADDA，延长HGPA必相交，故C11 11易知平面ABQ与平面EFG有交点，故D11813(多选)(2022·临沂模)如图在正方形ABCD中点E为线段BC上的动(不含端将△ABE沿AE翻折使得二面角为直二面角得到图2所示的四棱锥点F为线段BD上的动(不含端)，则在四棱锥B－AECD中，下列说法正确的( )图1 图2A．B，E，C，F四点不共面B．存在点F，使得CF∥平面BAEC．三棱锥B－ADC的体积为定值D．存在点E使得直线BE与直线CD答案AB解析对于A，假设直线BE与直线CF在同一平面上，所以E在平面BCF上，又因为E在折前线段BC∩平面EC重合，与E异于C所以直线BE与直线CF必不在同一平面上，即四点不共面，故AB，如图，当点F为线段BD的中点，EC1 时，直线＝AD2AB的中点，连接所以四边形ECFG为平行四边形，则直线CF与平面BAE平行，故BC，在三棱锥中，因为点E的移动会导致点B到平面ACD三棱锥的体积不是定值，故CD若存在点E使得直线BE与直线CD⊂平面且DC⊂平面AECD，DH∩DC＝D，所以BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，19与△ABEB为直角的三角形矛盾，所以不存在点EBECDD正确．14．如图，在长方体BCD分别是D1111 1 11的中点，点P在平面ABCD内，若直线D平面则线段DP长度的最小值．1 17答案 2解析如图，连接D1 1分别为D的中点，11EF平面ACD⊂平面ACD，1 1ACD.1同理可得ACD，又1EF，EG⊂平面EFG，所以平面ACD∥平面1因为直线D∥平面1所以点P在直线AC上．在△ACD中，易得AD＝＝2，1 1 1S 1 7所以 ＝×2× 2 ＝ ，△2

2 272 7故当D时，线段DP的长度最小，最小值为 ＝ .1 1 1 2×2215．(2022·BCD1，分别是棱1111CC的中点，动点P在正方形BCCB(包括边界)内运动，且PA∥平面PA的长度范围1 11 1 1为( )20A.