2023年高考数学一轮复习第六章数列3等比数列练习含解析

等比数列考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．2qa义的表达式为

＋＝(N*qan等比中项：如果在ab中间插入一个数，使成等比数列，那么G叫做a2a.等比数列的有关公式a＝a－.n 1前n项和公式：na＝ ＝S

a－aqn 1

q 1 n，q≠1. 1－

1－q等比数列的性质aa·－N*n m对任意的正整数，，，，若＝＋，则aaa·a2.m n p q k若等比数列前n项和为SSS－SS－S

m为偶数且n m 2m m 3m 2maa，…n为等比数列，公比为qk.

n n＋k

n＋2k

n＋3ka>0， a<0，(5)若1

1

a>1a>0，

0<<， na<0，若1

1

a0<<1常用结论

>1， n

1n1若数a{b}项数相)是等比数列则数·a}≠0){a|{2 {a·b}，nn n

n n a n n1an也是等比数列．nbna}的通项公式可以写成a，这里n na}的前n项和S可以写成Sn n n思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数．(×)(2)三个数，，c成等比数列的充要条件是＝a.(×)aa}的通项公式是a，则其前n项和为S＝

.(×)n n

1－aa}为等比数列，则S，S－S，S－S成等比数列．(×)n教材改编题

4 8 4

12 81．已知{}是等比数列，＝2，＝，则公比等于(a a a1 q )1．已知{}是等比数列，＝2，＝，则公比等于(n 2 4 21 1A．－B．－2C．2D．±2 2答案D解析设等比数列的公比为q，a a a1∵{}是等比数列，＝2，＝，n∴aa2，

2 4 24 2a1∴2＝4＝，a42q 1∴＝±.2a}中，a

＋2aa＋a

＝25，则a＋a.n答案5解析∵{a}是等比数列，n

111

68 313 6 8aa＋2aa＋a

＝25，111 68 313∴2＋2aa＋2＝(aa)＝25.6 68 8 6 8又∵a>0，∴a＋a＝5.n 6 8已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数答案1,3,9或9,3,1a解析设这三个数为q，a，aq，2aaaq＋q＋＝13，则aaaq·q·＝3，解 13＝3

＝27，＝3，或＝3，1,3,99,3,1.题型一等比数列基本量的运算S1(1)(2020·全国Ⅱ)记Sa}的前n项和．若a－a－a＝24，则n等于( A．2n－1C．2－2n－1答案B

n nB．2－21－nD．21－n－1

5 3 6 4 ana}的公比为na－a24则6 4＝＝2.a－a125 3由aaa4a＝12a＝12，得a＝1.5 3 1 1 1 1所以a＝a－12－1，n 1aS＝1nS

1－q2n－1

＝2n－1，所以＝2－21－n.a 2n－1na}的公比为na2－a＝1，①则3 3a2－a＝2，②4 4②a得4＝＝2.①a3a＝4.3aa＝3＝1，下同方法一．1 2(2)(2019·全国Ⅰ)记S

1为等比数a的前n项和．若a＝2＝a，则S .n n 1 3 4 6 53121答案 3a}的公比为n因为2＝aa3)2a5，4 6 1 1＝1，又＝，所以＝3，所以aq a1 q＝1，又＝，所以＝3，1 1 3a

1×1－353

121S＝15

1－q ＝

1－3

＝3.教师备选已知数{a}为等比数列＝6,6a＋a＝30，则a.n答案5424a·＝6，

2 1 3 4解析由16a＋a·＝3，1 1＝3， ＝2，解得1a＝21

或1a＝，1aa·3＝2×3＝54或a＝3×＝3×824.4 1 4已知数{a}为等比数列，其前n项和为S，若aa＝－2a，S＝－6，则a等于( )nA．－2或32C．2或－32答案B

n 26 7 3 6B．－264D．2或－64a}为等比数列，naa＝－2a＝aa，26 7 17a＝－2，1设数列的公比为S＝6＝－2－，3解得q＝－2或q＝1，a＝(－2)6＝64，6a＝－2.6思维升华(1)等比数列中有五个量a，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．

1 n n(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q}的前n项和S＝na；aa－a

n n 1当时，{a}的前n项和S＝1 ＝1 n.n n 1－q 1－q1(1)(2020·a

＝aaa

＋a＋…＋a

＝215－25，则k等( )

n 1 m＋n mn

k＋1

k＋2

k＋104A．2B．3C．4D．5答案C解析a＝2，a＝aa，1 mn则a＝aa＝2a，n＋1 1n n∴{a}是以a＝2n 1∴a＝2×2n－1＝2n.n又∵a＋a

＋…＋a

＝215－25，k＋12k＋1

1－210

k＋10∴ 1－2 ＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2＋＝25，＋15，＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1a}满足a＋a＝20，a＝8.①求{a}的通项公式；n②求aaaa(－1－1aa.

n 2 4 312 23 nn＋1解①设{a}的公比为na＋a3＝2，由题设1 11a2＝，1＝2，

q1＝＝解得

或 2，

(舍去)．1a＝21

a＝321所以{a}的通项公式为a＝2N*.n n(－1－1aa1)1××＋1nn＋1＝(－1)n－122n＋1，故aa－aa－1)1aa12 23 nn＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋123[1－

－22 8

22n＋3＝ ＝－(－1)n .1－－22 5 5题型二等比数列的判定与证明a2已知数列{a}满足a＝1，na，设b＝n 1求b，b，b；

n＋1

n n n1 2 3b}是否为等比数列，并说明理由；n求{an＝解(1)由条件可得a 2a.＝n＋1 n n5＝4a，而a＝1，所以a＝4.2 1 1 2＝3a，所以a＝12.3 2 3b＝1，b＝2，b＝4.1 2 3(2){b1，2na 2a由条件可得

n＋1＝

b

＝2b，

nb＝1，b1，21 na(3)由(2＝2－，所以a·－1.n n教师备选a}满足a＝2a＋3a.n n＋2 na＋ana1a

n＋1a若

＝，＝，求{}的通项公式．1 2 2 2 n证明a

＝2a＋3a，n＋2所以a＋a

n＋1＝3(a

n＋a)，n＋2

n＋1

n＋1 n因为{a}中各项均为正数，na＋a所以a＋a>0，所以n＋2 n

a＋an＋1 na＋a3n 解由题意知a＋a＝(a＋a)3n－1＝2×3n－1，

n n＋1 1 2因为a＝2a＋3a，n＋1 na

－3a

＝－(a－3a)，a＝3a，n＋2

n＋1

n＋1 n 2 1a－3a＝0，所以a－3a＝0，2 1 n＋1 n故a＝3a，n＋1 n1所以a＝2×－，a＝×3－1.n n 2思维升华等比数列的三种常用判定方法a a＋＝qN*)或n＝q为非零常数且≥2N*a}an是等比数列．

a nn－1等比中项法：若数a中a≠0且2 ＝a·a(N*，则a是等比数列．n n n＋1 n n＋2 n前na}的前n项和S为常数且a}n n n是等比数列．2Sa}的前n项和，已知a＝9a，S＝13，且公比n n 4 2 36求an

S；nS}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说n明理由．解(1)易知q≠1，11a3＝a，111由题意可a－3 ＝13，1 1－qa11－3n 3n－1nn∴a3－1S＝1－3＝2.nn(2)Sn∵S1 2 3∴(＋4)＝＋1)＋13，解得λ1＝，211S＋＝n 2211S＋ ×3n＋1n＋1 22则 1＝1

＝3，S＋ ×3nn 2 21

1 3S＋2 n 2 2题型三等比数列的性质例3(1aaa是方程2＋3＝0的两个根，则loga＋loga＋loga＋…＋loga

n 5等( )

2019

31 3233 320232024A.32023C.2

B．1011D．1012答案C解析由题意得aa＝3，52019根据等比数列性质知，aa＝aa

＝…＝a

a＝a

a＝3，12023

22022

1011

1013

1012

10121a＝32，10127loga＋loga＋loga＋…＋loga31 32 33 32023＝log(aaa…a)3 123 2023 1 2023

32 .3 2(2)a为其前n项和，若a＋a＋a＋a＋a＝8，则S等于n n 1 2 3( )

4 5 6 12A．40B．60C．32D．50答案B解析数列S，S－S，S－S

－S是等比数列，3 6 3 9 6 12 94,8，S－S，S－S是等比数列，9 6 12 9∴S＝4＋8＋16＋32＝60.12教师备选S S设等比数{a的前n项和为S，若6＝3，则9＝ .n7答案3

n S S3 6解析设等比数列{anS，S－n 3 6S，S－S仍成等比数列，3 9 6∴S－SS－S∴6S3＝9 6，S－S3 6 3又由已知得S＝3S，6 3∴S－S＝4S，9 6 3∴S＝7S，9 3S7∴9＝.S36a}共有2n且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比qn＝ 答案2

S

＋S＝－240，解析由题意，奇 偶S－S8，S

奇 偶＝－80，解得奇S＝16，偶S －160所以偶＝ ＝2.S －80奇思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，8三是前n题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．3(1)(2022·anS

＝1，S

＝7，则S等于( )答案C

n n 10 30 40解析易知等比数列{an项和

满足S

－S

－S

－S，…成等比数列．设nS－S

n 10 20

10

20 40 30{a}的公比为，则20

1＝10>，故

，S－S

，S－S，S

－S，…均大于0.n故(S－S

)＝S

S10·(S－S)，

10 20 10

30 20 40 3020 10 10 30 20即(S

－1)＝1·(7S

)2

－6＝0.20

>0，所以S

20＝3.

20 2020又(S－S

20)＝(S－S)(S－S，30 20

20

40 30所以(－32＝(－1)S－7)，故S＝15.40 40(2)a＋a＋a＋…＋a

·…·a

1 1 1＝16，则＋＋…＋的n值为( A．2C．8答案

n 1 2

3 8 12 8B．4D．16

aa a1 2 8解析∵aa…a＝16，12 8∴aa＝aa＝aa＝aa＝2，18 27 36 451 1 11＋1

1＋1

1＋1

1＋1∴a＋a＋…＋a＝a

a＋a

a＋aa＋aa1 2 8 1 8 21aa 1aa 1a

7 3 6 4 51aa＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋(＋)21 8 22 7 2aa a

6 24 5＝(＋21

＋…＋2

)＝2.8课时精练合肥市第六中学模)若等比数{a满足a＋a＋a则a等( )643

n64－3

1 2 4 5 79323答案A解析设等比数列{a}的公比为n

32－3a＋a则4 ＝＝，a＋a1 2a＋a＝a1 2 1＝，所以a1＝，1 31 64所以a＝a×＝×26＝.7 1 3 32．已知等比数{a}满足a＝1，a·a＝4(a－1)，则a的值( )n9A．2B．4C.D．62

1 3 5 4 7答案B解析根据等比数列的性质得aa2，35 4∴2＝4(a－1a－220，解得a＝2.4 4 4 4又∵a＝，aa＝2＝4a4.1 17 4 73．(2022·开封模)等比数{a}的前n项和为S＝2－＋，则r的值( )n n1 11 1A.B．－C.D．－3 39 9答案B解析由等比数列前n项和的性质知，1S32－＋＝×9＋，n 3r 1∴＝－.3算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走6A．6里C．24答案C

B．12D．48a q1解析由题意可知，该人所走路程形成等比数列{

}，其中＝，n 210a1－11 26因为S＝ ＝378，6 11－2a＝192，11所以a＝a·＝192×＝24.4 1 85．(多设等比数{a的公比为则下列结论正确的( )naa}是公比为2的等比数列nn＋1a＋a}是公比为q的等比数列n n＋1a－a}是公比为q的等比数列n n＋11 1a的等比数列n答案ADaa解析对于A，由n＋(≥2)aa

}是公比为2的等比数列；aa

n＋1n－1nB，当a＋a0，不是等比数列；n n＋1C，当a－a0，不是等比数列；1a a 1

n

n＋1＝a1a

n＝q，an1

n＋11a的等比数列．n6(多数列a的前n项和为S，若a，a2SN，则( )n n 1 n＋1 nA．S＝3n－1n

B．{S}为等比数列nC．a＝2·3n－1

1，1，aD．＝an答案ABD

n 2·3－，≥2解析an项和满足a＝SN)，na＝2S，

n＋1 nn n－1两式相减，可得a－a＝2(S－S

)＝2a，n＋1 a

n n－1 n可得a＝a，即＋＝3(≥2)，n anaa＝1，则a＝2S＝2a＝2，2＝2，1 2 1 1 a1a}的通项公式为n111，1，a＝n a

2·3n－1Sn

n＋1＝2 2

＝3n－1，S＝a＝1，适合上式，1 1a}的前n项和为S又又

n n＝3，S 3n－1nS13ABDn嘉兴联)已知等比数{a}的前n项和为S若S则a.答案1

n n 3 6 1解析由于S＝7，S＝633 6又SS3S，6 3 3得6＝773.∴38，＝2.a－3 a－8由S＝1 ＝1 ＝7，3a1

1－q 1－2aaaaaa

a q1

a＝ .n 35

，则911 7

＝3 4答案381解析由{a}是等比数列，n得aaaaa＝5＝24，357911 7aa＝3，a＝7＝81.7 4 39．(2022·a}的公差为，其前n项和Sp2N*.n求实数pa}的通项公式；n

n 1bb＝a，b＝a＋4，若{bnTT＋为等比数列．

n 3 1 4 2 n

n n6(1)解S

n＋

n 1 2 1＝2(a1)，1又Sp＋2N，n－1＝2，即a＝3，1 1an12(2)证明因为b＝a＝3，b＝a＋4＝9，3 1 4 2所以q＝3，所以b＝b·－＝3－，n 3b 1所以＝，1 3131T＝

1－3n

3n－1＝ ，n 1－3 6T13n所以＋＝，n 6611T＝，1 623n13nT＋n 6 63n－1所以 ＝ ＝3(n≥2)，3n－11T＋n－1 6 6 1 1T＋是以为首项，3n6 210．(2022·anSa＝1，S＝4a＋1b＝a－2a.n

n n 1

n

n n＋1bn设c＝|b－100|，Tc}的前n项和．求T.n n n n 10(1)S＝4a＋1，n＋1 n得S4a＋1(≥2N*n n－1两式相减得a＝4a－4a(n≥2)，n＋1 n 所以a－2a＝2(a－2a)，n＋1b

n a－2a

n－1bn

n＋1 na－2an－1 n ＝a－2a＝n n－1a a－2n ＝2(n≥2)，a＝1，S＝4a＋1，1 2 1a＝4，a－2a＝2＝b≠0，2 2 1 1b2n(2)解由(1)可得b＝2·2n－1＝2n，n10－，≤6，c＝|2n－100|＝n －10，>6，13所以T＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－4001021－26＝200－

1－2

＋27＋28＋29＋210＝200＋2＋28＋29＋210＝1994.11．(多选)(2022·Sa}的前na＝a＝1，a＝a

＋2an n(n≥3)，则下列结论正确的( )2

1 2 n

n－1 a＋a}为等比数列na－2a}为等比数列nC．a

2n＋1＋－1n＝n 3D．S

2＝(410－1)20 3答案ABD解析因为a＝a＋2a(n≥3)，n n－1 n－2a＋a

＝2a

＋2a＝2(a＋a)，n

n－1

n－2

n－1

n－2a＋a＝2≠0，1 2所以{a＋an a－2a

＝a＋2a

－2a

＝－a

＋2a

＝－(a

－2a

)，而a－2a＝－1，n

n－1

n－2

n－1

n－1

n－2

n－1

n－2 2 1所以{a－2an＋1 n2n＋1＋－1a＝

n，则

23＋－1＝

2＝3，n 3 2 3a＝1≠3，C2Aa＋a2，n n－1因此数列a＋a，a＋a，a＋a4，1 2 3 4 5 6

21－410 2S＝(a＋a)＋(a＋a

＋a)＝

＝(410－1)，D正确．20 1 2 3 4

19

1－4 312．(多选)(2022·a}的公比为，其前n项和为S，前n项积为T，n n na－1并且满足条件a>1，a·a>1，7 <0.则下列结论正确的( )A．0<q<1

1 7 8

a8

B．a·a>1C．Sn

的最大值为S9

7D．Tn

9的最大值为T7答案AD14a－1解析∵a>1，a·a>1，7 <0，1 7 8∴a>1,0<a<1，

a－187 8∴0<q<1，故A正确；aa＝2<1，故B错误；79 8∵a>1,0<q<1，∴数列为各项为正的递减数列，1∴S无最大值，故Cna>1,0<a<1，7 8∴TT}中的最大项，故D7 n13．(2022·

a}(公比前n项的积，若T

＝T，n nloga

2015

2021则 32019＝ .loga320211答案5解析由题意得，T＝T2015 2021＝T·aaaa

aa，2015 201620172018所以aaaaa

20202021a＝1，20162017201820192020

2021根据等比数列的性质，a

a＝aa

＝aa

＝1，2016

2021

2017

2020

2018

2019设等比数列的公比为q，a

aa＝ 2021

2＝1⇒a

5＝q2,2016

2021 5

2021aa＝

a2019

2＝1⇒a

1＝q2,2018

2019 q

2019log

1logq2 1所以

2019＝ 3 .loga 5 532021

logq