2022-2023学年北京四中九年级（上）期中数学试题及答案解析

第=page3131页，共=sectionpages3131页2022-2023学年北京四中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列四个图形中，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.抛物线y=(x+A.(−1,2) B.(−3.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOA.30°

B.50°

C.80°

4.下列方程中，有两个相等的实数根的方程是(

)A.x2+3x=0

B.x

5.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为A.y=5(x−2)2+

6.如图，△OAB绕点O逆时针旋转75°，得到△OCD，若A.115° B.75° C.40°7.如图，⊙O的半径是1，点P是直线y=−x+2上一动点，过点P作⊙O的切线，切点为A，连接OAA.2−1 B.1 C.2 8.单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a(xA.4m B.7m C.8m二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.已知某个二次函数的最小值为−1，请你写出一个符合，上述条件的二次函数的表达式为______．10.已知扇形的半径为2cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长是______c11.A(−1,y1)，B(2,y2)在二次函数y=−x212.若抛物线y=x2+4x+m与13.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是

．

14.如图，MA，MB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若∠AMB=60°15.为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国．今年6月份盈利12000元，8月份盈利27000元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______．16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=−1，它的图象经过点A(1,y1)，B(−2,y三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题6.0分)

解下列方程：

(1)x2−518.(本小题5.0分)

下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O和⊙O外一点P．

求作：过点P的⊙O的切线．

作法：如图，

①连接OP；

②分别以点O和点P为圆心，大于12OP的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；

③作直线MN，交OP于点C；

④以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；

⑤作直线PA(1)请根据上述作法完成尺规作图；

(2)连接OA，OB，可证∠OAP=∠OBP=19.(本小题5.0分)

已知二次函数C：y=−x2+2x+3．

(1)将y=−x2+220.(本小题5.0分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−1,1)，B(−4,2)，C(−3,3)．

(1)将△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B121.(本小题5.0分)

已知关于x的方程kx2+(k−2)x−2=022.(本小题5.0分)

如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD=23.(本小题5.0分)

如图，有一农户要建一个矩形菜地，菜地的一边利用长为12m的墙(AD≤12m)，另外三边用26m长的篱笆围成．求当矩形的边长24.(本小题6.0分)

如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CD平分∠ACB，交AB于点E，交⊙O于点D，延长BA到点P，使得PE=PC．

(1)求证：P25.(本小题6.0分)

已知函数y=x2+bx+c(x≥2)的图象过点A(2,1)，B(5,4)．

(1)直接写出y=x2+bx+c(x≥2)的解析式；

(26.(本小题6.0分)

已知，抛物线C1：y=−x2+bx+c经过点A(2,1)，B(0,1)．

(1)求抛物线C1的对称轴；

(2)平移抛物线C1：y=−x2+bx+c，使其顶点在直线27.(本小题7.0分)

如图，在正方形ABCD中，点E在线段CB的延长线上，连接AE，并将线段AE绕点E顺时针旋转90°，得到线段FE，连接AF，BD，CF，线段AF与线段BD相交于点M．

(1)请写出∠ECF的度数，并给出证明；28.(本小题7.0分)

在平面直角坐标系xOy中，已知点A和B，对于点P定义如下：以点A为对称中心作点P的对称点，再将对称点绕点B逆时针旋转90°，得到点Q，称点Q为点P的反转点．

已知⊙O的半径为1．

(1)如图，点A(2,1)，B(3,2)，点P在⊙O上，点Q为点P的反转点．

①当点P的坐标为(−1,0)时，在图中画出点Q；

②当点P在⊙O上运动时，求线段AQ长的最大值；

(2)已知点

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．

故选：B．

根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转2.【答案】C

【解析】解：∵y=(x+2)2−1，

∴抛物线顶点坐标为(3.【答案】B

【解析】解：∵∠BOC=100°，

∴∠A=4.【答案】C

【解析】解：A、Δ=9−4×1×0=9>0，故A不符合题意．

B、Δ=4−4×1×(−1)=8>5.【答案】A

【解析】【分析】

此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据平移规律，可得答案．

【解答】

解：y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，

得到的新抛物线的表达式为y=56.【答案】D

【解析】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转75°到△OCD的位置，

∴∠BOD=75°，

∴∠7.【答案】B

【解析】解：∵PA为⊙O的切线，

∴OA⊥PA，且OA=1，

∴当OP最小时，PA最小，

∴当OP与直线y=−x+2垂直时，OP最小，

如图，设直线y=−x+2交x轴、y轴于点B、C，

则B(2,0)，C(0,2)，

∴OB=OC=2，

∴8.【答案】C

【解析】解：设运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系为y=ax2+bx+c，

把图中数据(0,20)，(5,22.75)，(14,21,40)代入解析式，

得25a+5b9.【答案】y=x2【解析】解：∵抛物线y=x2−1开口向上，顶点坐标为(0,−1)，

∴函数最小值为−110.【答案】43【解析】解：扇形的弧长=120⋅π⋅2180=43πcm．

故答案为4π3．

直接利用弧长公式计算．

本题考查了弧长的计算：记住弧长公式：l=n11.【答案】<

【解析】解：当x=−1时，y1=−x2+2x+1=−1−2+1=−2，

当x=12.【答案】m>【解析】解：∵若抛物线y=x2+4x+m与x轴没有公共点，

∴Δ=b2−4ac=42−4×1×m<13.【答案】(2【解析】【分析】

根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．

本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理．

【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．

如图所示，则圆心是(2,1)14.【答案】1

【解析】解：∵MA、MB是⊙O的两条切线，A、B为切点，

∴AM=BM，∠OMA=12∠AMB=30°，∠OAM=90°，

∵OA=OB，

∴OM是AB的垂直平分线，

∵AB=3，

∴AC=3215.【答案】12000(【解析】解：依题意得12000(1+x)2=27000，

故答案为：12000(1+x)2=27000．

利用今年816.【答案】②③【解析】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1，1−(−1)>−1−(−2)，

∴点A与对称轴的距离大于点B与对称轴的距离，

∴y1>y2.①错误．

∵抛物线经过C(−4,0)，对称轴为直线x=−1，

∴抛物线经过(2,0)，

∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=−4，x2=2，③正确．

∵−b2a=−1，

∴b=2a，17.【答案】解：(1)x2−5x=0，

x(x−5)=0，

x=0或x−5=0，

所以【解析】(1)利用因式分解法把方程转化为x=0或x−5=0，然后解一次方程即可；

(2)18.【答案】直径所对的圆周角为直角

过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线

【解析】解；(1)如图，PA、PB为所作；

(2)∵OP为直径，

∴∠OAP=∠OBP=90°；

故答案为：直径所对的圆周角为直角；

(3)∵∠OAP=∠OBP=90°，

∴19.【答案】解：(1)y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4；

(2)由y=−(x−1)2+4得顶点坐标为(1,4)，开口向下，【解析】(1)由完全平方公式化为顶点式；

(2)由顶点式得到顶点坐标，再画出几个点，然后用平滑的曲线连接，从而得到二次函数的图象；

(3)20.【答案】5

【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；

(2)如图，△AB2C2即为所求；

(3)线段A1C2的长=32+42=5．

故答案为：5．

(1)利用平移变换的性质分别作出A，B21.【答案】(1)证明：∵k≠0，Δ=(k−2)2−4k×(−2)=(k+2)2≥0，

∴方程总有两个实数根；

(2)解：kx2+(【解析】(1)先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程总有两个实数根；

(2)先利用因式分解法求得kx2+(k−2)x−2=0(k≠22.【答案】解：连接OC，

设⊙O的半径为x．

∵直径AB⊥弦CD，

∴CE=12CD=4，

在Rt【解析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出CE是解此题的关键．

连接OC，根据垂径定理求出C23.【答案】解：设矩形菜地AB的长为x m，则BC的长为(26−2x)m，

由题意得：x(26−2x)=80，

化简得：x2−13x+40=0，

解得：x1=5，x【解析】设矩形菜地AB的长为x m，则BC的长为(24.【答案】(1)证明：如图，连接OC、OD，则OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∵AB是⊙的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°，

∴∠AOD=2∠ACD=90°，

∵PE=PC，

∴∠PCE=∠PEC，

∵∠PEC=∠OED，

∴∠PCE=∠OED，

∴∠OCP=∠PCE+∠OCD【解析】(1)连接OC、OD，先证明∠AOD=2∠ACD=90°，再证明OCP=∠PCE+∠OCD=∠OED+∠OD25.【答案】抛物线关于点(2,【解析】解：(1)把A(2,1)，B(5,4)代入解析式得：4+2b+c=125+5b+c=4，

解得b=−6c=9，

∴y=x2+bx+c(x≥2)的解析式为y=x2−6x26.【答案】解：(1)∵抛物线C1：y=−x2+bx+c经过点A(2,1)，B(0,1)，

∴−4+2b+c=1c=1，

解得b=2c=1，

∴抛物线C1：y=−x2+2x+1，

∴抛物线C1的对称轴为直线x=−22×(−1)=1；

(2)∵抛物线C2的顶点的横坐标为m，抛物线顶点在直线y=−2x+1上，

∴抛物线顶点纵坐标为−2m+1，

∴抛物线C2的解析式为y=−(x−m)2−2m+1，

将x=0代入y=−(x−m)2−2m+1得y=−m2−2m+1，

∴抛物线与y轴交点的纵坐标为−m2−2【解析】(1)通过待定系数法求解．

(2)由C2的顶点的横坐标为m，顶点在直线y=−2x+1上，可得抛物线C2的顶点式，将x=0代入解析式求出抛物线与y轴交点纵坐标，再通过配方法求解．27.【答案】(1)解：∠ECF=45°，理由如下：

如图1，过点F作FG⊥CB于G，

由旋转得：AE=EF，∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEG=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠ABE=90°，AB=BC，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠FEG，

∵∠ABE=∠EGF=90°，

∴△ABE≌△EGF(AAS)，

∴AB=EG，BE=FG，

∴EG=BC，

∴BE=CG，

∴FG=CG，

∵【解析】(1)如图1，过点F作FG⊥CB于G，证明△ABE≌△EGF(AAS)，可得△CGF是等腰直角三角形，即可解答；

(2)如图2，过点F作FH//28.【答案】解：(1)①如图，当P(−1,0)时，点P关于点A的对称点P′(5,2)，把点P′绕点B逆时针旋转90°得