102无界函数的反常积分课件

10.2无界函数的反常积分一、无界函数的反常积分二、无界函数敛散性判别法三、反常积分的主值10.2无界函数的反常积分一、无界函数的反常积分二、无界1一、无界函数的广义积分定义:设函数

f(x)在区间(a,b]上连续,而在点

a

的右邻域内无界,取>0.如果极限存在,则称此极限为函数

f(x)在(a,b]上的广义积分.

这时也称广义积分

收敛.如果上述极限不存在,就称广义积分

发散.一、无界函数的广义积分定义:设函数f(x)在区间(a2类似地,设函数

f(x)在区间[a,b)上连续,而在点

b

的左邻域内无界,取>0.存在,则定义如果极限否则,就称广义积分

发散.类似地,设函数f(x)在区间[a,b)上连续,而在3设函数

f(x)在区间[a,b]上除点c(a<c<b)外连续,而在点

c

的邻域内无界,如果两个广义积分

都收敛,则定义否则,就称广义积分

发散.设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a<c4所以,x=a为被积函数的无穷间断点.

于是:oyxaa

图10-2)0(

:1022>-òaxadxa计算广义积分例所以,x=a为被积函数的无穷间断点.于是:oyxaa5且由于

.

:2112ò-的收敛性讨论广义积分例xdx且由于.:2112ò-的收敛性讨论广义积分例xdx6当q<1时,收敛;当q1时,发散.

证:当q=1时

)(

:3ò-baqaxdx证明广义积分例当q<1时,收敛;当q1时,发散.7当q1时,

因此,当q<1时,广义积分

收敛,其值为当q1时,

广义积分

发散.

当q1时,因此,当q<1时,广义积分8例4计算广义积分解故原广义积分发散.例4计算广义积分解故原广义积分发散.9例5.解:

被积函数f在(0,1]上连续,x=0是瑕点.由于.例5.解:被积函数f在(0,1]上连续,x=0是10解

例6计算广义积分解例6计算广义积分11注意

广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。

广义积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。注意广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定12102无界函数的反常积分课件13

例7证明证例7证明证14102无界函数的反常积分课件15二.无界函数积分收敛的判别法１、柯西准则二.无界函数积分收敛的判别法１、柯西准则162、柯西判别法推论2、柯西判别法推论17102无界函数的反常积分课件184、狄利克雷判别法3、阿贝尔判别法4、狄利克雷判别法3、阿贝尔判别法19三、两类反常积分的关系三、两类反常积分的关系20四、反常积分的主值四、反常积分的主值21102无界函数的反常积分课件2210.2无界函数的反常积分一、无界函数的反常积分二、无界函数敛散性判别法三、反常积分的主值10.2无界函数的反常积分一、无界函数的反常积分二、无界23一、无界函数的广义积分定义:设函数

f(x)在区间(a,b]上连续,而在点

a

的右邻域内无界,取>0.如果极限存在,则称此极限为函数

f(x)在(a,b]上的广义积分.

这时也称广义积分

收敛.如果上述极限不存在,就称广义积分

发散.一、无界函数的广义积分定义:设函数f(x)在区间(a24类似地,设函数

f(x)在区间[a,b)上连续,而在点

b

的左邻域内无界,取>0.存在,则定义如果极限否则,就称广义积分

发散.类似地,设函数f(x)在区间[a,b)上连续,而在25设函数

f(x)在区间[a,b]上除点c(a<c<b)外连续,而在点

c

的邻域内无界,如果两个广义积分

都收敛,则定义否则,就称广义积分

发散.设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(a<c26所以,x=a为被积函数的无穷间断点.

于是:oyxaa

图10-2)0(

:1022>-òaxadxa计算广义积分例所以,x=a为被积函数的无穷间断点.于是:oyxaa27且由于

.

:2112ò-的收敛性讨论广义积分例xdx且由于.:2112ò-的收敛性讨论广义积分例xdx28当q<1时,收敛;当q1时,发散.

证:当q=1时

)(

:3ò-baqaxdx证明广义积分例当q<1时,收敛;当q1时,发散.29当q1时,

因此,当q<1时,广义积分

收敛,其值为当q1时,

广义积分

发散.

当q1时,因此,当q<1时,广义积分30例4计算广义积分解故原广义积分发散.例4计算广义积分解故原广义积分发散.31例5.解:

被积函数f在(0,1]上连续,x=0是瑕点.由于.例5.解:被积函数f在(0,1]上连续,x=0是32解

例6计算广义积分解例6计算广义积分33注意

广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。

广义积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。注意广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定34102无界函数的反常积分课件35

例7证明证例7证明证36102无界函数的反常积分课件37二.无界函数积分收敛的判别法１、柯西准则二.