线性系统的运动 课件

第2章线性系统的运动分析

定量分析----对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。

定性分析----则着重对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的几个关键性质，如能控性、能观测性和稳定性等

2.1线性系统的自由运动2.2线性系统的一般运动2.3连续系统的状态空间描述的离散化2.4线性离散时间系统的一般运动第2章线性系统的运动分析定量分析----对系统的运动12.1线性系统的自由运动线性系统自由运动分析的数学实质

系统的自由运动反映的是系统内在的固有参数及结构特性，研究分析系统的自由运动是研究分析系统的一般运动的基础。

指在输入向量及初始状态的条件下系统的运动1.齐次状态方程解的一般表达式2.状态转移矩阵2.1线性系统的自由运动线性系统自由运动分析的数学实质2令t=0

（一）齐次状态方程解的一般表达式令t=0（一）齐次状态方程解的一般表达式3因此,齐次状态方程的解为:根据标量指数函数定义式:定义矩阵向量eAt为状态转移矩阵于是齐次状态方程的解为:因此,齐次状态方程的解为:根据标量指数函数定义式:定义矩阵向4另用拉氏变换法求解齐次微分方程:拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:对比另用拉氏变换法求解齐次微分方程:拉氏反变换后得到齐次状态方程5将矩阵指数函数或称为系统的状态转移矩阵，记为状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息，完全表征了系统的动态特性,A的状态矩阵唯一。将矩阵指数函数或称为系统的状态6②包含了自由运动性质的全部信息，完全表征了系统的动态特性。

③当且仅当A的特征值均具有负实部，线性定常系统为渐进稳定。①如果t为某给定常数T，那么零输入响应就是状态空间中由初始状态经线性变换常数阵所致。几点解释：②包含了自由运动性质的全部信息，完全表征了系统的动7（二）状态转移矩阵1.状态转移矩阵的基本性质；2.状态转移矩阵的计算。

a.直接求取；b.拉普拉斯变换；c.化矩阵A为对角型或约当型；d.化矩阵指数为A的有限项。

（二）状态转移矩阵8①证：（1）线性系统状态转移矩阵的基本性质①证：（1）线性系统状态转移矩阵的基本性质9由性质①②推出：②证：式(2.1.14)式逐项对t求导

这个性质表明，状态转移矩阵与系统矩阵A满足交换律。

由性质①②推出：②证：式(2.1.14)式逐项对t求导10③证：根据矩阵指数函数的定义，有表明具有分段组合的性质。③证：根据矩阵指数函数的定义，有表明具有分段组合11④证：根据性质①和③及逆矩阵定义，有⑤证明：可把一个转移分为若干个小的转移来研究。④证：根据性质①和③及逆矩阵定义，有⑤证明：可把12⑥若为的状态转移矩阵，则引入非奇异变换后的状态转移矩阵为：证：式中：⑥若为的状态转移矩阵，则13

1.

直接求取法[例2.1]已知系统矩阵，求系统状态转移矩阵。解：根据定义有：结论：直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机求解。缺点是难以获得解析形式，不适合手工计算。（2）状态转移矩阵的计算

1.

直接求取法[例2.1]已知系统矩阵，求系统状态142.

化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法①矩阵A的特征值互异

2.

化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法15[例2.2]已知系统矩阵，试用化矩阵A为对角规范型方法求系统状态转移矩阵。解：矩阵A的特征方程为[例2.2]已知系统矩阵，试用化矩阵16

②矩阵A有重特征值

设矩阵A为“友”矩阵，且有m1重特征值，m2重特征值，互异特征值②矩阵A有重特征值设矩阵A为“友”矩阵，且有m117第2章线性系统的运动课件18[例2.3]已知系统矩阵，试用化矩阵A为约当规范型方法求系统状态转移矩阵。解：矩阵A的特征方程为：[例2.3]已知系统矩阵，试用化矩阵A19两种常见的状态转移矩阵形式①设②设两种常见的状态转移矩阵形式①设②设20[例2.4]已知系统矩阵试求状态转移矩阵解:[例2.4]已知系统矩阵试求状态转移矩阵解:21③矩阵A有复数特征值，此时需要将A化为模态标准型模态标准形其中：模态标准形矩阵的的状态转移矩阵可由下式计算(证明略)③矩阵A有复数特征值，此时需要将A化为模态标准型模态标准形其22[例2.5]已知系统的系数矩阵求系统状态转移矩阵解：矩阵A的特征值为解得：[例2.5]已知系统的系数矩阵求系统状态转移矩阵解：矩阵A的23[例2.6]已知系统的系数矩阵A,求系统状态转移矩阵解:在第1章知识得到[例2.6]已知系统的系数矩阵A,求系统状态转移矩阵解:在第24结论：化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，并建立其了矩阵A的特征值和状态转移矩阵的直观联系，更便于对系统进行分析，但计算相对复杂，特别适合一些简单系统的计算和分析。结论：化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法步骤相对复杂，但可253.拉普拉斯变换法

结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数较少时，可用手工计算，在系统维数较大时，仍要借助计算机来计算。

[P63例2.4]跳转3.拉普拉斯变换法结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以26[P63例2.4]已知系统矩阵，试用拉普拉斯变换法求系统状态转移矩阵。解:返回上页[P63例2.4]已知系统矩阵，试用拉普274.

化矩阵A为有限项法(待定系数法)这种方法是利用凯莱-哈密尔顿定理(Cayley-Hamilton),将的的无穷级数化为矩阵A的有限项之和进行计算。凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足自己的特征多项式。则A满足：4.

化矩阵A为有限项法(待定系数法)这种方法28应用凯莱-哈密尔顿定理应用凯莱-哈密尔顿定理29a.矩阵A有n个互异的特征值下面按A的特征值形态分两种情况讨论a.矩阵A有n个互异的特征值下面按A的特征值形态分两种情况30[例2.6]重做[例2.3]已知系统矩阵，试用凯莱-哈密尔顿定理方法求系统状态转移矩阵。P67

解：在[例2-3]中已求出矩阵A的特征值[例2.6]重做[例2.3]已知系统矩阵31b.矩阵A有n重特征值

A有重特征值时，得不到式（2.23-1）所示的线性独立的n个方程式（2.24-1）对求一次导数，得到一个独立方程，求n-1次导数，就可以得到n-1个独立方程。b.矩阵A有n重特征值A有重特征值时，得不到式（32第2章线性系统的运动课件33如果A的特征值如果A的特征值34[例2.7]试用化矩阵指数为A的有限项法求解[P68]

解:在[例2.4]中已求得矩阵A的特征值[例2.7]试用化矩阵指数为A的有限项法求解[P6835【例2.8】验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。解：利用性质所以该矩阵不是状态转移矩阵。【例2.8】验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。解：利用性质所36[例2.9]根据已知状态转移矩阵，求A解：根据状态转移矩阵性质2[例2.9]根据已知状态转移矩阵，求A解：根据状态转移矩阵37(一)线性系统的零状态强迫运动

系统的运动由两部分组成其中第1项,是初始状态的转移;

第2项是，为控制输入作用的受控项正是由于受控项的存在，提供了通过选取合适的u使x(t)的运动轨迹满足期望的可能性。线性系统的零状态响应就是在求取非齐次状态方程的解。2.2线性系统的一般运动(一)线性系统的零状态强迫运动系统的运动由两部分组成第38两边左乘

而：

线性系统的零状态响应就是系统对于各个时刻，由输入量在该时刻引起的状态改变的转移对时间的积累

两边左乘而：线性系统的零状态响应就是系统对于各个39（二）线性系统的一般运动

设线性系统的非齐次状态方程和输出方程为：初始状态为的解（二）线性系统的一般运动设线性系统的非齐次状态方程和输出40由拉氏变换的卷积积分定理具体用哪个公式，视求解方便而定。由拉氏变换的卷积积分定理具体用哪个公式，视求解方便而定。41[例2.10]已知系统矩阵，且，输入矩阵单输入u(t)为单位阶跃函数，试求系统的状态响应。P69例2-8解：在[例2.2]中已求得状态转移矩阵：[例2.10]已知系统矩阵，且，输入矩阵42第2章线性系统的运动课件432.5线性离散时间系统的一般运动离散时间系统状态方程有两种解法：迭代法和Z变换法。迭代法：迭代法对于定常系统和时变系统皆适用。设线性离散系统的状态方程为：当k=0，1，2…，k-1时，得到：2.5线性离散时间系统的一般运动离散时间系统状44便于记忆的矩阵形式:便于记忆的矩阵形式:452.Z变换法：Z变换法仅适用于定常系统。对式(2.54)两边进行Z变换,可得:整理得两边进行Z反变换,可得2.Z变换法：Z变换法仅适用于定常系统。对式(2.54)两边46结论1.解的形式与连续系统相似，x(k)也是由两部分构成，第1部分是系统自由运动分量，只与系统结构和初始状态有关；第2部分是系统的受控项，不仅与系统结构和初始状态有关，还与u的大小有关；2.在对控制的转移中，第k时刻的状态与当前的u(k)无关，由其前k-1时刻的u(1),u(2)…u(k-1)的线性组合构成。结论1.解的形式与连续系统相似，x(k)也是由两部分47［例2.12]给定离散系统状态方程为：初始状态，控制u(k)=1，求x(k)。教材P78[例2.11]P81[例2.12][解]:1.迭代法［例2.12]给定离散系统状态方程为：初始状态482.Z变换法先求系统的状态转移矩阵2.Z变换法先求系统的状态转移矩阵49第2章线性系统的运动课件50第2章线性系统的运动课件51第2章线性系统的运动课件52令:k=1,2,3…,可得到与迭代法相同的x(1),x(2),x(3)…。不同的是Z变换法可以得到封闭的解析形式。令:k=1,2,3…,可得到与迭代法相同的x(153补充作业：已知如下离散时间系统，u(k)是从单位斜坡函数t采样得到的，求系统状态解的表达式。补充作业：已知如下离散时间系统，u(k)是从单位斜坡函数t采542.4线性时变系统的解线性时变系统方程为2.4.1齐次状态方程的解（2.43）初始状态为其中，是状态转移矩阵，并且满足以下方程（2.45）满足初始条件（2.46）根据我们对线性定常齐次系统解的知识，可以假设线性时变齐次系统的解应该具有以下形式，然后加以证明（2.44）2.4线性时变系统的解线性时变系统方程为2.4.1齐55证明（2.44）式两边对t求导并且时即2.4.2状态转移矩阵的基本性质1）满足自身的矩阵微分方程及初始条件，即2）可逆性证明（2.44）式两边对t求导并且时即2563）传递性4）2.4.3状态转移矩阵的计算用级数近似法计算计算系统状态转移矩阵例2-9线性时变系统齐次状态方程为（2.53）3）传递性4）2.4.3状态转移矩阵57解将代入（2.53）式其中解将代入（2.53582.4.4线性时变系统非线性齐次状态方程的解（2.49）（2.50）其解为证明[将（2.50）式代入状态方程（2.49）式，等式成立]或2.4.4线性时变系统非线性齐次状态方程的解（2.49）592.4.5系统的输出或2.4.5系统的输出或602.6连续系统的状态空间描述的离散化

保持器采样器D/A数字计算机A/D连续系统u(t)y(t)x(t)u(k)y(k)x(k)离散化模型图2.6.1计算机控制系统2.6连续系统的状态空间描述的离散化保持器采样器D/A数61离散化离散化62式（2.6.2）减式（2.6.1）乘以得：

2.6.3式（2.6.2）减式（2.6.1）乘以得：2.6.63采用零阶保持器，其数学模型为：令：

采用零阶保持器，其数学模型为：令：64［例2.11]给定线性连续定常系统：解：在[例2.2]中已求得状态转移矩阵：且采样周期T=0.1秒，试建立时间离散化模型［例2.11]给定线性连续定常系统：解：在[例2.2]中已65本章小结本章小结66第2章线性系统的运动分析

定量分析----对系统的运动规律进行精确的研究，即定量地确定系统由外部激励作用所引起的响应。

定性分析----则着重对决定系统行为和综合系统结构具有重要意义的几个关键性质，如能控性、能观测性和稳定性等

2.1线性系统的自由运动2.2线性系统的一般运动2.3连续系统的状态空间描述的离散化2.4线性离散时间系统的一般运动第2章线性系统的运动分析定量分析----对系统的运动672.1线性系统的自由运动线性系统自由运动分析的数学实质

系统的自由运动反映的是系统内在的固有参数及结构特性，研究分析系统的自由运动是研究分析系统的一般运动的基础。

指在输入向量及初始状态的条件下系统的运动1.齐次状态方程解的一般表达式2.状态转移矩阵2.1线性系统的自由运动线性系统自由运动分析的数学实质68令t=0

（一）齐次状态方程解的一般表达式令t=0（一）齐次状态方程解的一般表达式69因此,齐次状态方程的解为:根据标量指数函数定义式:定义矩阵向量eAt为状态转移矩阵于是齐次状态方程的解为:因此,齐次状态方程的解为:根据标量指数函数定义式:定义矩阵向70另用拉氏变换法求解齐次微分方程:拉氏反变换后得到齐次状态方程的解:对比另用拉氏变换法求解齐次微分方程:拉氏反变换后得到齐次状态方程71将矩阵指数函数或称为系统的状态转移矩阵，记为状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息，完全表征了系统的动态特性,A的状态矩阵唯一。将矩阵指数函数或称为系统的状态72②包含了自由运动性质的全部信息，完全表征了系统的动态特性。

③当且仅当A的特征值均具有负实部，线性定常系统为渐进稳定。①如果t为某给定常数T，那么零输入响应就是状态空间中由初始状态经线性变换常数阵所致。几点解释：②包含了自由运动性质的全部信息，完全表征了系统的动73（二）状态转移矩阵1.状态转移矩阵的基本性质；2.状态转移矩阵的计算。

a.直接求取；b.拉普拉斯变换；c.化矩阵A为对角型或约当型；d.化矩阵指数为A的有限项。

（二）状态转移矩阵74①证：（1）线性系统状态转移矩阵的基本性质①证：（1）线性系统状态转移矩阵的基本性质75由性质①②推出：②证：式(2.1.14)式逐项对t求导

这个性质表明，状态转移矩阵与系统矩阵A满足交换律。

由性质①②推出：②证：式(2.1.14)式逐项对t求导76③证：根据矩阵指数函数的定义，有表明具有分段组合的性质。③证：根据矩阵指数函数的定义，有表明具有分段组合77④证：根据性质①和③及逆矩阵定义，有⑤证明：可把一个转移分为若干个小的转移来研究。④证：根据性质①和③及逆矩阵定义，有⑤证明：可把78⑥若为的状态转移矩阵，则引入非奇异变换后的状态转移矩阵为：证：式中：⑥若为的状态转移矩阵，则79

1.

直接求取法[例2.1]已知系统矩阵，求系统状态转移矩阵。解：根据定义有：结论：直接求取法步骤简便、编程简单、易于计算机求解。缺点是难以获得解析形式，不适合手工计算。（2）状态转移矩阵的计算

1.

直接求取法[例2.1]已知系统矩阵，求系统状态802.

化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法①矩阵A的特征值互异

2.

化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法81[例2.2]已知系统矩阵，试用化矩阵A为对角规范型方法求系统状态转移矩阵。解：矩阵A的特征方程为[例2.2]已知系统矩阵，试用化矩阵82

②矩阵A有重特征值

设矩阵A为“友”矩阵，且有m1重特征值，m2重特征值，互异特征值②矩阵A有重特征值设矩阵A为“友”矩阵，且有m183第2章线性系统的运动课件84[例2.3]已知系统矩阵，试用化矩阵A为约当规范型方法求系统状态转移矩阵。解：矩阵A的特征方程为：[例2.3]已知系统矩阵，试用化矩阵A85两种常见的状态转移矩阵形式①设②设两种常见的状态转移矩阵形式①设②设86[例2.4]已知系统矩阵试求状态转移矩阵解:[例2.4]已知系统矩阵试求状态转移矩阵解:87③矩阵A有复数特征值，此时需要将A化为模态标准型模态标准形其中：模态标准形矩阵的的状态转移矩阵可由下式计算(证明略)③矩阵A有复数特征值，此时需要将A化为模态标准型模态标准形其88[例2.5]已知系统的系数矩阵求系统状态转移矩阵解：矩阵A的特征值为解得：[例2.5]已知系统的系数矩阵求系统状态转移矩阵解：矩阵A的89[例2.6]已知系统的系数矩阵A,求系统状态转移矩阵解:在第1章知识得到[例2.6]已知系统的系数矩阵A,求系统状态转移矩阵解:在第90结论：化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，并建立其了矩阵A的特征值和状态转移矩阵的直观联系，更便于对系统进行分析，但计算相对复杂，特别适合一些简单系统的计算和分析。结论：化矩阵A为对角规范型或约当规范型方法步骤相对复杂，但可913.拉普拉斯变换法

结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以获得解析形式，便于对系统进行分析，在系统维数较少时，可用手工计算，在系统维数较大时，仍要借助计算机来计算。

[P63例2.4]跳转3.拉普拉斯变换法结论：拉普拉斯变换法步骤相对复杂，但可以92[P63例2.4]已知系统矩阵，试用拉普拉斯变换法求系统状态转移矩阵。解:返回上页[P63例2.4]已知系统矩阵，试用拉普934.

化矩阵A为有限项法(待定系数法)这种方法是利用凯莱-哈密尔顿定理(Cayley-Hamilton),将的的无穷级数化为矩阵A的有限项之和进行计算。凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足自己的特征多项式。则A满足：4.

化矩阵A为有限项法(待定系数法)这种方法94应用凯莱-哈密尔顿定理应用凯莱-哈密尔顿定理95a.矩阵A有n个互异的特征值下面按A的特征值形态分两种情况讨论a.矩阵A有n个互异的特征值下面按A的特征值形态分两种情况96[例2.6]重做[例2.3]已知系统矩阵，试用凯莱-哈密尔顿定理方法求系统状态转移矩阵。P67

解：在[例2-3]中已求出矩阵A的特征值[例2.6]重做[例2.3]已知系统矩阵97b.矩阵A有n重特征值

A有重特征值时，得不到式（2.23-1）所示的线性独立的n个方程式（2.24-1）对求一次导数，得到一个独立方程，求n-1次导数，就可以得到n-1个独立方程。b.矩阵A有n重特征值A有重特征值时，得不到式（98第2章线性系统的运动课件99如果A的特征值如果A的特征值100[例2.7]试用化矩阵指数为A的有限项法求解[P68]

解:在[例2.4]中已求得矩阵A的特征值[例2.7]试用化矩阵指数为A的有限项法求解[P68101【例2.8】验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。解：利用性质所以该矩阵不是状态转移矩阵。【例2.8】验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。解：利用性质所102[例2.9]根据已知状态转移矩阵，求A解：根据状态转移矩阵性质2[例2.9]根据已知状态转移矩阵，求A解：根据状态转移矩阵103(一)线性系统的零状态强迫运动

系统的运动由两部分组成其中第1项,是初始状态的转移;

第2项是，为控制输入作用的受控项正是由于受控项的存在，提供了通过选取合适的u使x(t)的运动轨迹满足期望的可能性。线性系统的零状态响应就是在求取非齐次状态方程的解。2.2线性系统的一般运动(一)线性系统的零状态强迫运动系统的运动由两部分组成第104两边左乘

而：

线性系统的零状态响应就是系统对于各个时刻，由输入量在该时刻引起的状态改变的转移对时间的积累

两边左乘而：线性系统的零状态响应就是系统对于各个105（二）线性系统的一般运动

设线性系统的非齐次状态方程和输出方程为：初始状态为的解（二）线性系统的一般运动设线性系统的非齐次状态方程和输出106由拉氏变换的卷积积分定理具体用哪个公式，视求解方便而定。由拉氏变换的卷积积分定理具体用哪个公式，视求解方便而定。107[例2.10]已知系统矩阵，且，输入矩阵单输入u(t)为单位阶跃函数，试求系统的状态响应。P69例2-8解：在[例2.2]中已求得状态转移矩阵：[例2.10]已知系统矩阵，且，输入矩阵108第2章线性系统的运动课件1092.5线性离散时间系统的一般运动离散时间系统状态方程有两种解法：迭代法和Z变换法。迭代法：迭代法对于定常系统和时变系统皆适用。设线性离散系统的状态方程为：当k=0，1，2…，k-1时，得到：2.5线性离散时间系统的一般运动离散时间系统状110便于记忆的矩阵形式:便于记忆的矩阵形式:1112.Z变换法：Z变换法仅适用于定常系统。对式(2.54)两边进行Z变换,可得:整理得两边进行Z反变换,可得2.Z变换法：Z变换法仅适用于定常系统。对式(2.54)两边112结论1.解的形式与连续系统相似，x(k)也是由两部分构成，第1部分是系统自由运动分量，只与系统结构和初始状态有关；第2部分是系统的受控项，不仅与系统结构和初始状态有关，还与u的大小有关；2.在对控制的转移中，第k时刻的状态与当前的u(k)无关，由其前k-1时刻的u(1),u(2)…u(k-1)的线性组合构成。结论1.解的形式与连续系统相似，x(k)也是由两部分113［例2.12]给定离散系统状态方程为：初始状态，控制u(k)=1，求x(k)。教材P78[例2.11]P81[例2.12][解]:1.迭代法［例2.12]给定离散系统状态方程为：初始状态1142.Z变换法先求系统的状态转移矩阵2.Z变换法先求系统的状态转移矩阵115第2章线性系统的运动课件116第2章线性系统的运动课件117第2章线性系统的运动课件118令:k=1,2,