证券投资学 第11章 3

第三节债券的利率风险：久期与凸性

（一）麦考来久期（二）久期的经济学含义（三）久期的计算（四）久期的缺陷:凸性

(五)投资组合的久期

(六)利率风险管理:免疫

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麦考来久期（duration）

久期是以现金流量的对应现值作为权重，并乘以金融资产每笔现金流量的支付时间，然后加总，再除以金融资产的现价，得到的即为久期，他度量的是金融资产的加权平均到期期限，是利率变化时金融资产价格变化的百分比。如果该资产的久期越大，利率变动会导致该金融资产的价格变化越大；反之，越小。

山东大学经济学院久期公式山东大学经济学院此公式表示收回金融资产价格P的部分需要一期，收回金融资产价格的需要二期收回金融资产价格的需要n期。全部收回金融资产价格P的投资需要的平均时间就是久期。山东大学经济学院

例题

某银行在年初以15%的利率向一家公司提供100元的一年期贷款，同时要求该公司在6个月先偿还半年利息和50%的贷款本金，其余的在年底归还。上述银行在半年之后收到的现金流量等于50元本金加上100×7.5%的利息，等于57.5，一年后到期的现金流=50+50×7.5%=53.75元山东大学经济学院上述2笔现金流的现值分别是：山东大学经济学院在此例中提到的T=1/2年和T=1年这两个时点山东大学经济学院我们现在利用每笔现金流的现值在资产价格中所占的比率作为每笔现金流支付时间的权重，对金融资产每笔现金流的支付时间进行加权平均来计算久期。本题的久期D等于：山东大学经济学院

久期的经济学含义

久期是对金融资产价格的利率敏感程度的直接衡量，金融资产的久期数值越大，该资产的价格对利率变动的敏感程度就越高；反之就越低。以债券为例：债券价格等于与债券相关的现金流现值：山东大学经济学院山东大学经济学院山东大学经济学院等式两边同乘以-（1+R）得：

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久期的计算

步骤：1、将金融资产每期所产生的现金流进行贴现，求出这些现金流的现值。2、将这些现值乘以各自对应的时间T，获得这些现值的加权现值。3、将第二步求出的每期的现金流的加权现值相加，得出的总合去除以资产的现在价格，得出的值即为久期。山东大学经济学院

例题假定某债券的价格为10000元，票面利率为10%，其到期收益率也为10%，偿还期为5年，利息每年偿还一次，本金5年之后一次付清，求债券的久期D；如果到期收益率下降为9%，求该债券的价格变化。山东大学经济学院

麦考来久期变形可得

其中（修正久期）例：息票率为8%、收益率也为8%的6年期欧洲债券，其有效期为4.993年。在利率上升1个基点，也即收益率上升为8.01%时，债券的价格变化率为：dP/P=-4.993×0.0001/1.08=-0.0462%

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久期的缺陷：凸性

根据久期的预测，利率变动与金融资产价格的变动之间的关系同久期的大小成一定比率，它们之间是线形关系。然而，如我们精确地计算金融资产价格的实际变动时就会发现，当利率上升的幅度较大，久期的预测往往高估金融资产价格下跌程度；当利率下跌的幅度较大，久期往往低估金融资产价格上涨程度。同时根据久期，利率上升和下降同样的幅度对金融资产价格的影响是对称的。事实上，利率上升对金融资产价格所产生的资本亏损往往小于利率下降对金融资产价格所产生的资本利得。用数学语言讲，这种金融资产价格与利率之间的关系具有凸性特征，而不是简单的久期所假定的线形关系。山东大学经济学院凸性切线和用久期预测的价格的变动相对应。久期可以在利率变动无限小时精确地衡量价格的变动，但当利率发生大的增加时，凸度的重要性就增大了。凸性=山东大学经济学院举例说明：6年期的债券的面值为1000元，发行价格也为1000元，其息票利率为8%，目前它的市场到期收益率为8%，计算其久期D=4.9927年.现假定债券的收益率由8%上升到10%，根据久期公式，债券价格将下跌dp/p=D×[dR/(1+R)]=4.9927×[0.02/(1+0.08)]=-9.2457%,即债券价格由原来的1000下降到1000-1000×9.2457%=907.543。我们计算一下该债券价格在收益率提高到10%之后，债券的价格P=912.895.(根据下面公式计算),久期高估了5.352元（912.895-907.543）山东大学经济学院山东大学经济学院现假定债券的收益率由8%下降为6%，根据久期债券价格将提高9.2457%，即债券价格由1000元上升至1092.457元。与此相比，按债券现金流的贴现法计算债券的现价为1098.347，久期低估了5.89元（1098.347-1092.457）.从理论上讲，久期代表的是价格-收益率曲线的斜率，凸性代表的是价格-收益率曲线斜率的变化。我们可以把利率变动对债券价格影响的效应分成一系列独立的效应。久期衡量的是利率变动对债券价格影响的一阶效应，凸性衡量是二阶效应山东大学经济学院山东大学经济学院因此，假设债券价格为P，到期收益率为R,修正久期Dm.则：山东大学经济学院例题：10年后到期，息票利率是10%，发行价格与面值均为100的债券，其修正久期和凸度分别为7.44和68.77，假定收益率上升0.5%，求债券价格变化。山东大学经济学院

五投资组合的久期假设某一投资组合由不同到期期限的若干债券组成，这个投资组合债券的久期为多少？假设投资组合中所有债券具有相同到期收益率，则投资组合的久期为为各单一债券久期的加权平均之和，权数为单一债券价格与投资组合价格之比。某一投资组合由n项债券组成，每一债券的久期和价格分别为Di和Pi，I=1,2,…,m,所有债券的到期收益率相同，这一投资组合的价格和久期为：P=P1+P2+…+PnD=w1D1+w2D2+…+wnDn,wi=pi/p.山东大学经济学院

六债券利率风险管理：免疫构建免于利率风险的债券投资组合的过程称为免疫，其实质是构造债券组合以防止利率变动而产生的风险。免疫为投资过程中最广泛运用的分析技术之一。山东大学经济学院构建免疫组合：1、计算负债的久期2、计算资产的久期3、令资产组合的久期等于负债的久期。例如：负债的久期等于6年，资产由久期为2年的零息债券和久期为10年的息票债券组成，则使得2X+10（1-X）