差错控制编码景春国2课件

第9章差错控制编码第9章差错控制编码第9章差错控制编码

9.1引言9.2常用简单分组码9.3线性分组码9.4循环码第9章差错控制编码9.1引言纠错编码的分类

（1）按照信道编码的不同功能，可以将它分为检错码和纠错码。（2）按照信息码元和监督码元之间的检验关系，可以将它分为线性码和非线性码。

（3）按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同，可以将它分为分组码和卷积码。

（4）按照信息码元在编码后是否保持原来的形式，可以将它分为系统码和非系统码。（5）按照纠正错误的类型不同，可以将它分为纠正随机错误码和纠正突发错误码。纠错编码的分类1.分组码分组码一般可用(n,k)表示。其中，k是每组二进制信息码元的数目，n是编码码组的码元总位数，又称为码组长度，简称码长。

n－k＝r为每个码组中的监督码元数目。简单地说，分组码是对每段k位长的信息组以一定的规则增加r个监督元，组成长为n的码字。

在二进制情况下，共有2k个不同的信息组，相应地可得到2k个不同的码字，称为许用码组。其余2n－2k个码字未被选用，称为禁用码组。1.分组码

在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明(Hamming)重量，简称码重。

例如，码字10110，码重w=3。两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码组的汉明(Hamming)距离，简称码距。

例如11000与10011之间的距离d=3。

码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为码的最小距离，用d０表示。最小码距是码的一个重要参数，它是衡量码检错、纠错能力的依据。在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明(H

纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的距离，码的最小距离越大，说明码字间的最小差别越大，抗干扰能力就越强。

分组码的最小汉明距离d0与检错和纠错能力之间满足下列关系：

（1）当码字用于检测错误时，如果要检测e个错误，则d0≥e+1；（2）当码字用于纠正错误时，如果要纠正t个错误，则d0≥2

t+1；纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的距离，码的

（3）若码字用于纠t个错误，同时检e个错误时（e>t），则

d

0≥t+e+1。（3）若码字用于纠t个错误，同时检e个错误时（

2.编码效率

用差错控制编码提高通信系统的可靠性，是以降低有效性为代价换来的。我们定义编码效率来衡量有效性:η

＝

k

/

n

其中,k是信息元的个数，n为码长。对纠错码的基本要求是:检错和纠错能力尽量强；编码效率尽量高；编码规律尽量简单。

实际中要根据具体指标要求，保证有一定纠、检错能力和编码效率，并且易于实现。

2.编码效率对纠错码的基本要求是:检错和纠假设在随机信道中，“1”、“0”发送等概，误码率相同为p，且p«1，则容易证明，在码长为n的码组中正好发生r的错码概率为

。

例如，当码长n=7，p=10－3时，则有

P7(1)≈7p=7×10-3

P7(2)≈21p2=2.1×10-5

P7(3)≈35p3=3.5×10-8可见采用差错控制编码，若能纠正1~2个误码，就可使误码率下降几个数量级。

差错控制的作用（效果）假设在随机信道中，“1”、“0”发送等概，误码率相同为p9.4线性分组码

1基本概念

分组码

将信息码分组，每组由信码附加若干监督码组成。分组码一般用符号（n,k）表示，k为每组信码位数；n为每组编码总位数，又称为码长；r＝n-k为每组中监督码元数。

代数码

建立在代数学基础上的编码称为代数码

线性码码组的信息码和监督码间约束关系按一组线性代数方程组构成。线性码是一种代数码。由此可见，将分组码和线性码的概念结合一起，即为线性分组码。9.4线性分组码1基本概念2线性分组码的编码原理

用特定的代数方程描述信息码

与

监督码之间的约束关系，称该方程为监督方程。

接收端依照监督方程式进行计算，计算结果称“校正子”，或“伴随式”。

编码的每个监督位对应一个监督方程和一个校正子。对（n,k）码，由r＝n－k个监督方程计算得到的校正子有r位码元，可给出2r－1种误码图样。

当出现一位误码时，会有2r－1种错误位置，由r位校正子取值会确定误码的确切位置，从而能纠错。

显然，当2线性分组码的编码原理以（7,4）码讨论线性分组码的构造

即n=7,k=4,r=3，编码后7位码组为A=(a6,a5,a4,a3,a2,a1,a0),其中a6,a5,a4,a3为信息码，a2,a1,a0为监督码，必存在三个

校正子S2,S1,S0。

校正子码组(S2,S1,S0)与

误码位置如表9-4所示由表可得出如下结论时，有可能构造出纠正一位甚至一位以上误码的线性分组码。

以（7,4）码讨论线性分组码的构造

即n=7,k=4,①当a0、a3、a4或a6位置误码时，S2=1，否则S2=0；②当a1、a3、a5或a6位置误码时，S1=1，否则S1=0；③当a2、a4、a5或a6位置误码时，S0=1，否则S0=0；④表中共列出23－1＝7种误码位置，而当S2,S1,S0均为0时，表示无误码。由上述结论可得三个校正子计算方程：

S2S1S0误码位置S2S1S0误码位置100a0101a4010a101

1a5001a21

1

1a61

10a3000无误码表9-4①当a0、a3、a4或a6位置误码时，S2=1，否则S0=a6+a5+a4+a2,S1=a6+a5+a3+a1,S2=a6+a4+a3+a0

进而得到下面的方程组形式：(9.4-7)式为监督码生成方程组，在发端可利用该方程组构造(7,4)码。接收端收到每个码组后，计算出S3、S2和S1，如不全为0，则无误码。否则，可按表9-4确定误码的位置，并予以纠正。(9.4-7)S0=a6+a5+a4+a2,S1=a6+3监督矩阵H和生成矩阵G

将（7,4）码的三个监督方程式可重新改写为如下形式：上式可以记作：HAT＝0

T

或AH

T

＝0，其中3监督矩阵H和生成矩阵G上式可以记作：HAT＝0也可用

矩阵形式

来表示：或

表示为：监督矩阵

H也可用矩阵形式来表示：或表示为：监督矩阵H这里G称为生成矩阵，利用它可产生整个码组：这时Q

＝

P

T，如果在Q矩阵的左边再加上一个k×k的单位矩阵，就形成了一个新矩阵G：

这里G称为生成矩阵，利用它可产生整个码组：4校正子S

设发送组码A，在传输过程中有可能出现误码，这时接收到的码组为B。则收发码组之差为：则接收端利用接收到的

码组B计算校正子：

S=B

H

T=(A+E)

H

T=A

H

T+E

H

T=E

H

T

因此，校正子仅与E有关，即错误图样与校正子之间有确定的关系。

其中：4校正子S则接收端利用接收到的码组B计算6线性分组码的主要性质如下：

（1）任意两

许用码

之和仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性；（2）码组间的

最小码距等于非零码

的

最小码重

奇偶校验

时

的

监督关系，在接收端解码时，实际上就是在计算：

S=bn-1+bn-2+…+b1+b0

若S＝0，则无错；若S＝1就认为

有错。6线性分组码的主要性质如下：奇偶校验时的监例设一线性码生成矩阵确定(

n

,

k

)码

中

的n和k值，并求出监督矩阵H写出监督码位

的

关系式，以及该

(

n

,

k

)

码

的所有

可用码组

。确定该

线性码

的最小码距。例设一线性码生成矩阵确定(n,k)解：1从已知的生成矩阵的行列数可知：n

=

6，k

=

3；将生成矩阵化成典型矩阵监督矩阵为：解：1从已知的生成矩阵的行列数可知：n=6，k=2

由H

矩阵可确定监督关系：2

由H矩阵可确定监督关系：由3由于线性码的最小码距就是非0码的

最小码重，所以该分组码的最小码距为d0=3。

可得许用码组为：由3由于线性码的最小码距就是非0码的最小码重，所以该9.5循环码

循环码仍然是一种线性分组码

。是研究最成熟的一种编码；是建立在严密代数编码理论基础上；纠、检错能力强；编、译码方法和电路都不太复杂。

循环码除有线性分组码一般性质外，还有两个主要特征。1．封闭性循环码的码组中任意两个

码组之和（模2和）仍为一准用码组。2．循环性设一个（n,k）循环码为

（an-1，an-2，…a1，a0），

在n

次左移

或

右移

的

循环

中形成的编码，仍然是准用循环码。9.5循环码循环码仍然是一种在代数理论中，为了便于计算，常用码多项式

表示

码字。(n

,

k)循环码的码字，其

码多项式以

降幂顺序排列

为在代数理论中，为了便于计算，常用码多项式表示码循环码T=（an-1，an-2，…a1，a0）左移一位，变成T(1)=（an-2，an-3，…a0，an-1），用多项式表示有

T(1)

(x)

＝

an－2

xn－1+an－3xn－2+，…+a0

x

1+a

n－1x

0

表中N＝6码组可表示为

x6+x5+x2+1左移i

位

后的码多项式有

循环码T=（an-1，an-2，…a1，a0）左移一位码多项式的按模运算性质整数运算中，若一整数m表示为

则在模n运算下，有m≡p（模n）。

任一多项式F(x)除以一个n次多项式N(x)，可得到商式Q(x)，和一个阶数

小于n

的余式R(x)，即：F(x)/N(x)=Q(x)+R(x)/N(x)

记为：F

(x)≡

R

(x)[模N

(x)]

码多项式的按模运算性质则在模n运算下，有m≡p（模n码多项式T(x)左移i位后的结果。实际上，利用码多项式的

xi

T(x)≡T(i)(x)[模(xn+1)]该式说明，欲使码多项式左移i位，可将被移码多项式T(x)左乘xi，对其取模(xn+1)即可。现以简单地左移一位为例

xT(x)=an-1xn+an-2xn-1+，…+a1x2+a0x≡an-2xn-1+an-3xn-2+，…+a1x2+a0x+an-1x0=T(1)(x)[模(xn+1)]长度为n的许用码组，必是按模(xn+1)运算的余式。

码多项式T(x)左移i位后的结果。实际上例

某循环码T=（1100101），将其表示为码多项式，并写出左移2位后的码多项式。

解：T(x)=x6+x5+x2+1x2T(x)=x8+x7+x4+x2=Q(x)(x7+1)+T(2)(x)则Q(x)=x+1

T(2)(x)=x4+x2+x+1即T(2)=（0010111）

利用带余除法例某循环码T=（1100101），将其表示为码多项式，并循环码的生成多项式和生成矩阵

循环码中次数最低的码多项式称为生成多项式，用g(x)表示。可以证明生成多项式g(x)具有以下特性：（1）g(x)是一个常数项为1的次多项式；（2）g(x)是的一个因式；（3）该循环码中其它码多项式都是g(x)的倍式。

g(x)是前k－1位为“0”的码组。循环码中，除全“0”码外，连续“0”最多是k－1位，否则循环将得到k位为“0”；g(x)是（n，k）码中次数为n－k的唯一多项式，否则，两个相加会出现连续“0”多于k位；

g(x)称为码生成多项式。

循环码的生成多项式和生成矩阵g(x)是前k－1一旦

生成多项式g(x)确定

后，该循环码的生成矩阵就可以确定。显然，上式不符合形式，所以此生成矩阵不是

典型形式。一旦生成多项式g(x)确定后，该循环码的生成矩阵就当n=7,k=3,r=4,g(x)=x4+x2+x+1.可以得到整个码组.T(x)可以被

g(x)整除.当n=7,k=3,r=4,g(x)=循环码的编、译码方法

1、编码过程首先需要根据给定循环码的参数确定生成多项式g(x)，然后，利用循环码的编码特点，即所有循环码多项式T(x)都可以被g(x)整除，来定义码多项式T(x)。下面就将以上各步处理加以解释：

（1）用x

n－k乘m(x)。这一运算实际上是把信息码后附加上（n－k）个“0”。

（2）用g(x)除x

n－k.m(x),求商Q(x)和余式r(x)，也就是循环码的编、译码方法这样我们就得到了余式r(x)。（3）编码输出循环码多项式T(x)为：

这是由于循环码多项式T(x)都可以被g(x)整除这样我们就得到了余式r(x)。（3）编码输出循例如，（7，3）若选定g(x)=x4+x2+x+1，m(x)=x2+x,则

上式相当于

T(x)=1100000+101=1100101编码输出为

例如，（7，3）若选定g(x)=x4+x2+x+1，m2、译码过程接收端译码要求有二:检错和纠错。检错为目的，译码较简单,纠错较复杂.

检错译码任一码组多项式T(x)都应能被生成多项式g(x)整除。

故只需对接收码组R(x)用原生成多项式g(x)去除，若能整除（余数为0），接收码无误码，R(x)=T(x)；若不能整除（余数不为0），接收码有误码，R(x)≠T(x)。2、译码过程检错译码任一码组多项式T(x)都应能纠错译码为了纠错要求每个可纠正的错误图样必须与一个特定余式有一一对应关系。因此，纠错可按如下步骤进行：(1)

用生成多项式g(x)除接收码组R(x)=T(x)+E(x)，得出余式r(x)，这一步与检错译码相同；(2)

按余式r(x)用查表法或某种运算得到错误图样E(x)，例如，通过计算校正子S，确定误码位置。这是较复杂的一步，需要把接收码组R(x)暂时缓存起来，对纠正突发错误和单个错误较简单，但对纠正多个随机错误的编码确十分复杂。（3）从R(x)中减去E(x)便得到已纠正错误的原发送码组T(x)。

纠错译码为了纠错要求每个可纠正的错误图样必须与一9.6卷积码

9.6.1基本概念

卷积码中编码后的n个码元不仅

与

当前段的k

个信息

有关

，而且也

与

前面(N－1)段

的

信息有关

，编码过程中相互关联

的

码元为n

N个。

因此，这N段时间内的码元数目

n

N

通常被称为这种码的约束长度

。

也常称N为约束长度，它以码组个数为单位，并用（n，k，N）表示卷积码。9.6卷积码9.6.1基本概念卷积码中编图9-8卷积码(3,1,3)编码器

起始状态

，各级移位寄存器清零

，即M3M2M1为000。

M3等于当前输入数据

，而移位寄存器状态M2M1存储以前的数据；

输出码字

C

由下式确定图9-8卷积码(3,1,3)编码器9.6.2卷积码的描述1.树图图9-10(3,1,3)码的树图9.6.2卷积码的描述1.树图图9-10(3,2.网格图

图9-11(3,1,3)码的格图2.网格图图9-11(3,1,3)码的格图3.状态图

图9-12(3,1,3)码的状态图

3.状态图图9-12(3,1,3)码的状态图

思考题P318

9-1，9-5，9-6，9-10，9-11习题P319-320

9-5，9-7，9-8，9-12思考题P318第9章差错控制编码第9章差错控制编码第9章差错控制编码

9.1引言9.2常用简单分组码9.3线性分组码9.4循环码第9章差错控制编码9.1引言纠错编码的分类

（1）按照信道编码的不同功能，可以将它分为检错码和纠错码。（2）按照信息码元和监督码元之间的检验关系，可以将它分为线性码和非线性码。

（3）按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同，可以将它分为分组码和卷积码。

（4）按照信息码元在编码后是否保持原来的形式，可以将它分为系统码和非系统码。（5）按照纠正错误的类型不同，可以将它分为纠正随机错误码和纠正突发错误码。纠错编码的分类1.分组码分组码一般可用(n,k)表示。其中，k是每组二进制信息码元的数目，n是编码码组的码元总位数，又称为码组长度，简称码长。

n－k＝r为每个码组中的监督码元数目。简单地说，分组码是对每段k位长的信息组以一定的规则增加r个监督元，组成长为n的码字。

在二进制情况下，共有2k个不同的信息组，相应地可得到2k个不同的码字，称为许用码组。其余2n－2k个码字未被选用，称为禁用码组。1.分组码

在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明(Hamming)重量，简称码重。

例如，码字10110，码重w=3。两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码组的汉明(Hamming)距离，简称码距。

例如11000与10011之间的距离d=3。

码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为码的最小距离，用d０表示。最小码距是码的一个重要参数，它是衡量码检错、纠错能力的依据。在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明(H

纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的距离，码的最小距离越大，说明码字间的最小差别越大，抗干扰能力就越强。

分组码的最小汉明距离d0与检错和纠错能力之间满足下列关系：

（1）当码字用于检测错误时，如果要检测e个错误，则d0≥e+1；（2）当码字用于纠正错误时，如果要纠正t个错误，则d0≥2

t+1；纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的距离，码的

（3）若码字用于纠t个错误，同时检e个错误时（e>t），则

d

0≥t+e+1。（3）若码字用于纠t个错误，同时检e个错误时（

2.编码效率

用差错控制编码提高通信系统的可靠性，是以降低有效性为代价换来的。我们定义编码效率来衡量有效性:η

＝

k

/

n

其中,k是信息元的个数，n为码长。对纠错码的基本要求是:检错和纠错能力尽量强；编码效率尽量高；编码规律尽量简单。

实际中要根据具体指标要求，保证有一定纠、检错能力和编码效率，并且易于实现。

2.编码效率对纠错码的基本要求是:检错和纠假设在随机信道中，“1”、“0”发送等概，误码率相同为p，且p«1，则容易证明，在码长为n的码组中正好发生r的错码概率为

。

例如，当码长n=7，p=10－3时，则有

P7(1)≈7p=7×10-3

P7(2)≈21p2=2.1×10-5

P7(3)≈35p3=3.5×10-8可见采用差错控制编码，若能纠正1~2个误码，就可使误码率下降几个数量级。

差错控制的作用（效果）假设在随机信道中，“1”、“0”发送等概，误码率相同为p9.4线性分组码

1基本概念

分组码

将信息码分组，每组由信码附加若干监督码组成。分组码一般用符号（n,k）表示，k为每组信码位数；n为每组编码总位数，又称为码长；r＝n-k为每组中监督码元数。

代数码

建立在代数学基础上的编码称为代数码

线性码码组的信息码和监督码间约束关系按一组线性代数方程组构成。线性码是一种代数码。由此可见，将分组码和线性码的概念结合一起，即为线性分组码。9.4线性分组码1基本概念2线性分组码的编码原理

用特定的代数方程描述信息码

与

监督码之间的约束关系，称该方程为监督方程。

接收端依照监督方程式进行计算，计算结果称“校正子”，或“伴随式”。

编码的每个监督位对应一个监督方程和一个校正子。对（n,k）码，由r＝n－k个监督方程计算得到的校正子有r位码元，可给出2r－1种误码图样。

当出现一位误码时，会有2r－1种错误位置，由r位校正子取值会确定误码的确切位置，从而能纠错。

显然，当2线性分组码的编码原理以（7,4）码讨论线性分组码的构造

即n=7,k=4,r=3，编码后7位码组为A=(a6,a5,a4,a3,a2,a1,a0),其中a6,a5,a4,a3为信息码，a2,a1,a0为监督码，必存在三个

校正子S2,S1,S0。

校正子码组(S2,S1,S0)与

误码位置如表9-4所示由表可得出如下结论时，有可能构造出纠正一位甚至一位以上误码的线性分组码。

以（7,4）码讨论线性分组码的构造

即n=7,k=4,①当a0、a3、a4或a6位置误码时，S2=1，否则S2=0；②当a1、a3、a5或a6位置误码时，S1=1，否则S1=0；③当a2、a4、a5或a6位置误码时，S0=1，否则S0=0；④表中共列出23－1＝7种误码位置，而当S2,S1,S0均为0时，表示无误码。由上述结论可得三个校正子计算方程：

S2S1S0误码位置S2S1S0误码位置100a0101a4010a101

1a5001a21

1

1a61

10a3000无误码表9-4①当a0、a3、a4或a6位置误码时，S2=1，否则S0=a6+a5+a4+a2,S1=a6+a5+a3+a1,S2=a6+a4+a3+a0

进而得到下面的方程组形式：(9.4-7)式为监督码生成方程组，在发端可利用该方程组构造(7,4)码。接收端收到每个码组后，计算出S3、S2和S1，如不全为0，则无误码。否则，可按表9-4确定误码的位置，并予以纠正。(9.4-7)S0=a6+a5+a4+a2,S1=a6+3监督矩阵H和生成矩阵G

将（7,4）码的三个监督方程式可重新改写为如下形式：上式可以记作：HAT＝0

T

或AH

T

＝0，其中3监督矩阵H和生成矩阵G上式可以记作：HAT＝0也可用

矩阵形式

来表示：或

表示为：监督矩阵

H也可用矩阵形式来表示：或表示为：监督矩阵H这里G称为生成矩阵，利用它可产生整个码组：这时Q

＝

P

T，如果在Q矩阵的左边再加上一个k×k的单位矩阵，就形成了一个新矩阵G：

这里G称为生成矩阵，利用它可产生整个码组：4校正子S

设发送组码A，在传输过程中有可能出现误码，这时接收到的码组为B。则收发码组之差为：则接收端利用接收到的

码组B计算校正子：

S=B

H

T=(A+E)

H

T=A

H

T+E

H

T=E

H

T

因此，校正子仅与E有关，即错误图样与校正子之间有确定的关系。

其中：4校正子S则接收端利用接收到的码组B计算6线性分组码的主要性质如下：

（1）任意两

许用码

之和仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性；（2）码组间的

最小码距等于非零码

的

最小码重

奇偶校验

时

的

监督关系，在接收端解码时，实际上就是在计算：

S=bn-1+bn-2+…+b1+b0

若S＝0，则无错；若S＝1就认为

有错。6线性分组码的主要性质如下：奇偶校验时的监例设一线性码生成矩阵确定(

n

,

k

)码

中

的n和k值，并求出监督矩阵H写出监督码位

的

关系式，以及该

(

n

,

k

)

码

的所有

可用码组

。确定该

线性码

的最小码距。例设一线性码生成矩阵确定(n,k)解：1从已知的生成矩阵的行列数可知：n

=

6，k

=

3；将生成矩阵化成典型矩阵监督矩阵为：解：1从已知的生成矩阵的行列数可知：n=6，k=2

由H

矩阵可确定监督关系：2

由H矩阵可确定监督关系：由3由于线性码的最小码距就是非0码的

最小码重，所以该分组码的最小码距为d0=3。

可得许用码组为：由3由于线性码的最小码距就是非0码的最小码重，所以该9.5循环码

循环码仍然是一种线性分组码

。是研究最成熟的一种编码；是建立在严密代数编码理论基础上；纠、检错能力强；编、译码方法和电路都不太复杂。

循环码除有线性分组码一般性质外，还有两个主要特征。1．封闭性循环码的码组中任意两个

码组之和（模2和）仍为一准用码组。2．循环性设一个（n,k）循环码为

（an-1，an-2，…a1，a0），

在n

次左移

或

右移

的

循环

中形成的编码，仍然是准用循环码。9.5循环码循环码仍然是一种在代数理论中，为了便于计算，常用码多项式

表示

码字。(n

,

k)循环码的码字，其

码多项式以

降幂顺序排列

为在代数理论中，为了便于计算，常用码多项式表示码循环码T=（an-1，an-2，…a1，a0）左移一位，变成T(1)=（an-2，an-3，…a0，an-1），用多项式表示有

T(1)

(x)

＝

an－2

xn－1+an－3xn－2+，…+a0

x

1+a

n－1x

0

表中N＝6码组可表示为

x6+x5+x2+1左移i

位

后的码多项式有

循环码T=（an-1，an-2，…a1，a0）左移一位码多项式的按模运算性质整数运算中，若一整数m表示为

则在模n运算下，有m≡p（模n）。

任一多项式F(x)除以一个n次多项式N(x)，可得到商式Q(x)，和一个阶数

小于n

的余式R(x)，即：F(x)/N(x)=Q(x)+R(x)/N(x)

记为：F

(x)≡

R

(x)[模N

(x)]

码多项式的按模运算性质则在模n运算下，有m≡p（模n码多项式T(x)左移i位后的结果。实际上，利用码多项式的

xi

T(x)≡T(i)(x)[模(xn+1)]该式说明，欲使码多项式左移i位，可将被移码多项式T(x)左乘xi，对其取模(xn+1)即可。现以简单地左移一位为例

xT(x)=an-1xn+an-2xn-1+，…+a1x2+a0x≡an-2xn-1+an-3xn-2+，…+a1x2+a0x+an-1x0=T(1)(x)[模(xn+1)]长度为n的许用码组，必是按模(xn+1)运算的余式。

码多项式T(x)左移i位后的结果。实际上例

某循环码T=（1100101），将其表示为码多项式，并写出左移2位后的码多项式。

解：T(x)=x6+x5+x2+1x2T(x)=x8+x7+x4+x2=Q(x)(x7+1)+T(2)(x)则Q(x)=x+1

T(2)(x)=x4+x2+x+1即T(2)=（0010111）

利用带余除法例某循环码T=（1100101），将其表示为码多项式，并循环码的生成多项式和生成矩阵

循环码中次数最低的码多项式称为生成多项式，用g(x)表示。可以证明生成多项式g(x)具有以下特性：（1）g(x)是一个常数项为1的次多项式；（2）g(x)是的一个因式；（3）该循环码中其它码多项式都是g(x)的倍式。

g(x)是前k－1位为“0”的码组。循环码中，除全“0”码外，连续“0”最多是k－1位，否则循环将得到k位为“0”；g(x)是（n，k）码中次数为n－k的唯一多项式，否则，两个相加会出现连续“0”多于k位；

g(x)称为码生成多项式。

循环码的生成多项式和生成矩阵g(x)是前k－1一旦

生成多项式g(x)确定

后，该循环码的生成矩阵就可以确定。显然，上式不符合形式，所以此生成矩阵不是

典型形式。一旦生成多项式g(x)确定后，该循环码的生成矩阵就当n=7,k=3,r=4,g(x)=x4+x2+x+1.可以得到整个码组.T(x)可以被

g(x)整除.当n=7,k=3,r=4,g(x)=循环码的编、译码方法

1、编码过程首先需要根据给定循环码的参数确定生成多项式g(x)，然后，利用循环码的编码特点，即所有循环码多项式T(x)都可以被g(