收敛数列的性质课件

§1.2收敛数列的性质§1.2收敛数列的性质定理2.1(唯一性)

若数列收敛,则其极限唯一.证由定义,一、收敛数列的基本性质故极限唯一.教材P7反证法定理2.1(唯一性)若数列收敛,则其极限唯一.证由定相应的,可以给出有下界的定义定义2.1(数列有界的定义)若存在一个实数M，对数列所有的项都满足,

相应的,可以给出有下界的定义定义2.1(数列有界的定义)例如,有界无界一个数列即有上界又有下界,则称为有界数列.例如,有界无界一个数列即有上界又有下界,则称为有界数列.定理2.2

收敛的数列必定有界.证由定义,注：有界未必一定收敛。（有界性是收敛的必要条件）推论

无界数列必定发散.定理2.2收敛的数列必定有界.证由定义,注：有界未必一定定理2.3

见教材P8图形定理2.3见教材P8图形证明

证明注注定理2.4二、极限的四则运算定理2.4二、极限的四则运算证证第2节收敛数列的性质课件第2节收敛数列的性质课件说明1有+无=无，无+无=不定；2数学分析巩固与指导说明1有+无=无，无+无=不定；2数学分析巩固与指例1:解例1:解例2解例2解三、夹逼定理证定理2.5三、夹逼定理证定理2.5上两式同时成立,上两式同时成立,例3-1解由夹逼定理得例3-1解由夹逼定理得证例4证例4第2节收敛数列的性质课件例5.则证明：由夹逼定理，由不等式例5.则证明：由夹逼定理，由不等式定义2.2数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列，简称子列.(教材P12)四、子列极限定义2.2数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数取则当，证设是数列的任一子列，由故对于任意给定的正数存在着正整数当时，成立。一子数列也收敛于.定理2.6如果数列收敛于，那么它的任取则当，证设是数列的任一子列，由故对于任意给定的正数存在着正若数列的一个子列发散或有两个子列收敛于不同的极限,一定发散.(教材P12)若数列的一个子列发散一定发散.(教材P12)数列收敛于的奇数项子列和偶数项子列都收敛于a。

对于单调数列,有一收敛子列则原数列收敛.对于单调数列,数列收敛的充分必要条件是有一收敛子列.(证明在单调有界定理)或结论1结论2数列收敛于的奇数项子列和偶数项子列都收敛于a。对于单调数列五、无穷小定义2.3

定理2.7五、无穷小定义2.3定理2.7分析：则所证结论转化为分析：则所证结论转化为证明：证明：第2节收敛数列的性质课件（练习）（夹逼定理，调和平均≤几何平均≤算术平均）（练习）P147.证明证明：由例6P147.证明证明：由例6应记住的结果：应记住的结果：六、小结1、收敛数列的性质:唯一性、有界性、不等式性质2、极限的四则运算5、无穷小3、夹逼准则(两边夹法则)4、子列极限六、小结1、收敛数列的性质:2、极限的四则运算5、无第2节收敛数列的性质课件§1.2收敛数列的性质§1.2收敛数列的性质定理2.1(唯一性)

若数列收敛,则其极限唯一.证由定义,一、收敛数列的基本性质故极限唯一.教材P7反证法定理2.1(唯一性)若数列收敛,则其极限唯一.证由定相应的,可以给出有下界的定义定义2.1(数列有界的定义)若存在一个实数M，对数列所有的项都满足,

相应的,可以给出有下界的定义定义2.1(数列有界的定义)例如,有界无界一个数列即有上界又有下界,则称为有界数列.例如,有界无界一个数列即有上界又有下界,则称为有界数列.定理2.2

收敛的数列必定有界.证由定义,注：有界未必一定收敛。（有界性是收敛的必要条件）推论

无界数列必定发散.定理2.2收敛的数列必定有界.证由定义,注：有界未必一定定理2.3

见教材P8图形定理2.3见教材P8图形证明

证明注注定理2.4二、极限的四则运算定理2.4二、极限的四则运算证证第2节收敛数列的性质课件第2节收敛数列的性质课件说明1有+无=无，无+无=不定；2数学分析巩固与指导说明1有+无=无，无+无=不定；2数学分析巩固与指例1:解例1:解例2解例2解三、夹逼定理证定理2.5三、夹逼定理证定理2.5上两式同时成立,上两式同时成立,例3-1解由夹逼定理得例3-1解由夹逼定理得证例4证例4第2节收敛数列的性质课件例5.则证明：由夹逼定理，由不等式例5.则证明：由夹逼定理，由不等式定义2.2数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列的子数列，简称子列.(教材P12)四、子列极限定义2.2数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数取则当，证设是数列的任一子列，由故对于任意给定的正数存在着正整数当时，成立。一子数列也收敛于.定理2.6如果数列收敛于，那么它的任取则当，证设是数列的任一子列，由故对于任意给定的正数存在着正若数列的一个子列发散或有两个子列收敛于不同的极限,一定发散.(教材P12)若数列的一个子列发散一定发散.(教材P12)数列收敛于的奇数项子列和偶数项子列都收敛于a。

对于单调数列,有一收敛子列则原数列收敛.对于单调数列,数列收敛的充分必要条件是有一收敛子列.(证明在单调有界定理)或结论1结论2数列收敛于的奇数项子列和偶数项子列都收敛于a。对于单调数列五、无穷小定义2.3

定理2.7五、无穷小定义2.3定理2.7分析：则所证结论转化为分析：则所证结论转化为证明：证明：第2节收敛数列的性质课件（练习）（夹逼定理，调和平均≤几何平均≤算术平均）（练习）P147.证明证明：由例6P147.证明证明：