陕西省咸阳市武功县普集2021届高三数学上学期第3次月考试题理【含答案】

陕西省咸阳市武功县普集2021届高三数学上学期第3次月考试题理出题范围：集合，函数，导数，三角函数，平面向量，数列，不等式，立体几何考试试题分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则中元素的个数为（）A. B. C. D.————C分析：联立，解方程组，即可求出与的交点个数，即中元素的个数.解答：联立，解得或.即与相交于两点，，故中有两个元素.故选：C．点拨：本题考查集合的元素个数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2.复数满足，则（）A. B. C. D.2————C分析：先由条件有，求出复数，再求复数模.解答：由，则所以故选：C点拨：本题考查复数的运算，复数的模，是基础题.3.已知，则的值是（）A. B. C. D.————D分析：利用同角三角函数的基本关系可得，进而可求解.解答：由，得，，，，则.故选：D点拨：本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了基本运算能力，属于基础题.4.在等差数列中，已知，则该数列前2019项的和等于（）A.2019 B.2020 C.4040 D.4042————A分析：直接利用等差数列的前n项和公式求.解答：由题得.故选：A5.已知，则A. B. C. D.————B分析：运用中间量比较，运用中间量比较解答：则．故选B．点拨：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．6.已知非零向量满足，且，则与的夹角为A. B. C. D.————B分析：本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．解答：因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．点拨：对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．7.若变量满足约束条件则的最大值为（）A.1 B.3 C. D.5————C分析：直接根据约束条件表示的平面区域为以为顶点的三角形区域(包含边界)，将三个顶点与原点连线的斜率求出，进行比较即可得到答案。解答：不等式组表示平面区域是以为顶点的三角形区域(包含边界).表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点与原点的连线斜率最大，即的最大值为故选：C点拨：本题考查线性约束条件下，求斜率型目标函数的最值，考查数形结合思想和运算求解能力。8.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图，其中O′A′=6，O′C′=2，则原图形是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形————C解答：将直观图还原得平行四边形OABC，则O′D′＝O′C′＝2(cm)，OD＝2O′D′＝4(cm)，C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，OC＝＝＝6(cm)，OA＝O′A′＝6(cm)＝OC，故原图形为菱形．9.若关于x的不等式的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是()A.(3,4) B.(－2,－1)∪(3,4) C.(3,4] D.[－2,－1)∪(3,4]————D分析：把不等式化为,讨论时，分别求出不等式的解集,再根据不等式的解集中恰有两个整数，求出的取值范围.解答：原不等式可化为.当时，由可得，若原不等式的解集中恰有两个整数，则这两个整数为2，3，此时；当时，原不等式的解集为空集，不合题意；当时，由可得，若原不等式的解集中恰有两个整数，则这两个整数为0，，此时.综上，实数的取值范围是，故选D.点拨：本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想的应用，属于中档题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.10.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A.π B. C. D.————B分析：依题意画出直观图，求出外接球的直径，即可得解；解答：解：如图所示，该几何体为四棱锥．底面为矩形，其中底面．，，．则该阳马的外接球的直径为．该阳马的外接球的体积：．故选：．11.形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（）(参考数据:lg2≈0.3010)A.9 B.10 C.11 D.12————B分析：,设,两边取常用对数估算的位数即可.解答：,设，则两边取常用对数得.，故的位数是10，故选：B．点拨：解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的简化计算.12.已知函数，则（）的图象上关于坐标原点对称的点共有（）A.0对 B.1对 C.2对 D.3对————C分析：把问题转化为两个函数图像交点的个数问题.解答：由题意得的图象上关于原点对称的点的对数等价于函数与的图像在上的交点的个数，在平面直角坐标系内画出两函数在上的图像如图所示：由图得两函数图象有两个不同的交点，的图像上关于原点对称的点共有2对故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数（）在处取得最小值，则a等于____________.————3分析：将化成，使，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出的值．解答：解：当时，即时等号成立．处取最小值，故3点拨：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14.________————解答：因，而，，应填答案．15.已知数列的前n项和，，其中，则__________.————分析：在中令得到，再由，得到，进一步说明是等比数列，再由等比数列的通项公式运算即可.解答：由题意得，所以，又，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是．故点拨：关键点睛：已知与的关系求通项时要注意与的下标及n的范围区别.16.以下命题中（1）若a，b是两条直线，且，那么a平行于经过b的任何平面（2）若直线a和平面满足，那么a与内的任何直线平行（3）平行于同一条直线的两个平面平行（4）若直线a，b和平面满足，，，则正确的是__________.————（4）分析：由线面平行的判断和平面的基本性质可判断；由线面平行的定义可判断；由面面的位置关系可判断；由线面平行的性质和判定，可判断．解答：解：若，是两条直线，且，那么平行于经过的平面或，在一个平面内，故（1）错；若直线和平面满足，那么与内的直线平行或异面，故（2）错；平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故（3）错；若直线，和平面满足，，过的平面与的交线，可得，又，则，故（4）对．故（4）．三、解答题：共70分.17题分值为10分，18--22分值为12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.中，角A，B,C的对边分别是且满足（1）求角B的大小；（2）若的面积为为且，求的值；————(1).⑵a＋c＝．解答：试题分析：（1）又A+B+C=π，即C+B=π-A，∴sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，将（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB=，又0＜B＜π，则；（2）∵△ABC的面积为，sinB=sin=，∴S=acsinB=ac=，∴ac=3，又b=，cosB=cos=，∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-9=3，∴（a+c）2=12，则a+c=．考点：考查主要考查正弦、余弦定理的应用，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值．点评：中档题，本题综合考查了正弦、余弦定理的应用，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值．其中（2）将sinB及已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2-2accosB，再利用完全平方公式整理后，按整体思想求出a+c的值．18.已知等差数列的公差为2，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列前项和，求使成立的最大正整数的值.————⑴，；⑵分析：（1）利用得到，解出可得通项公式．（2）利用裂项相消法求后解不等式可得最大正整数的值．解答：（1）由题意知，，即，解得，故，．（2）由，得，，由，解得．故所求的最大正整数为5．点拨：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.19.设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.————(Ⅰ)(Ⅱ)，.解答：试题分析：（1）本小题中的函数是常考的一种形式，先用降幂公式把化为一次形式，但角变为，再运用辅助角公式化为形式，又由对称中心到最近的对称轴距离为，可知此函数的周期为，从而利用周期公式易求出；（2）本小题在前小题的函数的基础上进行完成，因此用换元法只需令，利用求出u的范围，结合正弦函数图像即可找到函数的最值.试题解析：（1）．因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距离为，又，所以，因此.（2）由（1）知．当时，所以，因此．故在区间上的最大值和最小值分别为．考点：降幂公式，辅助角公式，周期公式，换元法，正弦函数图像，化归思想.20.已知函数，（）．（1）若函数的值域为，求x的取值范围；（2）若函数在上单调递减，求a的取值范围．————（1）；（2）．分析】（1）由，解不等式即可；（2）由h(x)在[1，4]上单调递减，可得当x∈[1，4]时，恒成立，则恒成立，构造函数，求出其最大值即可．解答：（1）因为函数值域为，所以，得；（2）h(x)＝lnx－ax2－2x，x>0.∴h′(x)＝－ax－2，由h(x)在[1，4]上单调递减，∴当x∈[1，4]时，恒成立，则恒成立，设，所以a≥G(x)max又，x∈[1，4]，因为x∈[1，4]，所以，所以G(x)max＝(此时x＝4)，所以a≥，又当a＝时，，∵x∈[1，4]，∴，当且仅当x＝4时等号成立，∴h(x)在[1，4]上为减函数，故实数a的取值范围是．点拨：方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．21.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且，.求证：（1）直线DE平面A1C1（2）平面B1DE⊥平面A1C————（1）详见解析（2）详见解析解答：试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.试题解析：证明：（1）在直三棱柱中，在三角形ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以，于是，又因为DE平面平面，所以直线DE//平面.（2）在直三棱柱中，因为平面，所以，又因为，所以平面.因为平面，所以.又因为，所以.因为直线，所以【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.22.设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.————（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.解答：试题分析：（