2007年全国初中数学联合竞赛1

全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正23已知x,y,z满足一=——确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内23已知x,y,z满足一=——5x-y则一二的值为y+2z（A）【答】2解由一=

x2解由一=

x3z=-x,

2所以5x-3x1y+2J3xT3x=3，故选（注：本题也可用特殊值法来判断.2006，20051，2，…，2005,2006,2006，20051，2，…，2005,2006,2007时，1-x2

计算代数式E的值,将所得的结果相加，其和等于（A）－【答】（B）（C）（D）1-（1）1-（1）2解因为一n~十^n1+J”1+n2nn2-11-n2+=0,n2+11+n21即当x分别取值一nn（n为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为1-时，计算所得的代数式的值之和为1-12；而当x二1时,百21=0因此，当x分别取值-,4UU/20062005,…，—20062005,…，—,1,2,

2…，2005,2006,2007时，计算所得各代数式的值之和为故选()bb设a,b,c是^ABC的三边长，二次函数y=(a--)x2—cx—a--在x=1时取最小值—85b，则△ABC是()等腰三角形角形.【答】()锐角三角形—85b，则△ABC是()等腰三角形角形.【答】()锐角三角形()钝角三角形()直角三解由题意可得《^b=1，2(a-2)bba———c—a——228.一5b，b+c=2a,337所以c=_bc=b,554a=5b，因此a2+c2=b2，所以△ABC是直角三角形故选()已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则NA的度数是()(A)(B)45°(C)6°°(D)75°【答】解锐角△ABC的垂心在三角形内部，如图，设^ABC()(A)(B)45°(C)6°°(D)75°【答】解锐角△ABC的垂心在三角形内部，如图，设^ABC的外心为O,为BC的中点，BO的延长线交。O于点E，连CE、AE，则CEAHAE/H，则OB=AH=CE=2OD,°,所以NA=NBOD=0°.故选(.设K是^ABC内任意一点，△KAB、所以NOBD=°,NBOD)△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F，为AB、BC、CA的中点，所以S易证△DEm△△MNP=为AB、BC、CA的中点，所以S易证△DEm△△MNP=4S△ABCMNP，且相似比为2:3，所以S=(2)2S△DEF3△M41N9P4△AB9C△ABC所以S△def：S△ABC1=9故选(A)6．袋中装有5个红球、6个黑球、红球的概率是()7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个则S人:S的值为△DEF△ABC1()9【答】解分别延长KD、KE、KF,与^ABC的三边AB、BC、CA交于点M、N、易知M、N、P分别P,由于D、E、F分别为△KAB、△易知M、N、P分别1(A1(A)10(B)5.3(C)10【答】B.解设摸出的15个球中有X个红球、y个黑球、z个白球，则x,y,z都是正整数，且x<5,y<6,z<7,x+y+z=15.因为y+z<13,所以x可取值2,3,4,5.只有一种可能，即y=6,z=7；有2种可能，有3种可能，y=5,z=7或y=6,有2种可能，有3种可能，y=4,z=7或y=5,z=6或y=6,z=5；y+z=10有4种可能y=3,z=7或y=4,z=6或y=5,z=5或y=6,z=4.因此，共有1+2+3+4=10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结2果有2种，所以所求的概率为—=二、填空题（本题满分28分，15.故选（B）.每小题7分）11一设X=,a是v'2—1x的小数部分，b是-X的小数部分，则a3+b3+3ab=解由x=二一=瓶+1,<2—1而2<<2+1<3一•.a=x—2=%；2—1又•・•一x=—■、/2—1,而一3<一.&—1<—2,・•.b=—X—(—3)=2—、2•a+b=1,a3+b3+3ab=(a+b)(a2—ab+b2)+3ab=a2—ab+b2+3ab=(a+b)2=1对于一切不小于的自然数n，关于x的一元二次方程X2—（n+2）x—2n2=0的两+(a—2)(b—2)(a—2)(b—2)1+…+(a—2)(b—2)2007200710034016解由根与系数的关系得a+b=n+2,a•b=—2n2，所以nnnn(a—2)(b—2)=ab—2(a+b)+4=—2n2—2(n+2)+4=—2n(n+1),nnnnnn11则(a—2)(b—2)nn12n(n+1)1(12n11++(a—2)(b—2)(a—2)(b—2)22331+(a—2)(b—2)20072007-1(1-1)+(1-1)+2’23，34，,1111/11、1003+(-)———(——)——20072008」2220084016已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB—2,BC—CD―10,AD―6，过B、D两点作圆与BA的延长线交于点E,与CB的延长线交于点F,则BE—BF的值为解延长CD交。O于点G,设BE,DG的中点分别为点M,N,易知AM—DN因为BC—CD—10,由割线定理，易证BF―DG所BE—BF—BE—DG―2(BM—DN)―2(BM—AM)―2AB—44.若100a+64和201a+64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是17.解设100a+64—m2,201a+64—n2,则ij32<m,n<100,两式相减得101a=n2—m2=(n+m)(n—m),因为101是质数，且—101<n—m<101,所以n+m―101,故a=n—m—2n—10.1代入201a+64—n2,整理得n2—402n+20237—0,角星得n=59，或n=343(舍去).所以a=2n—101—17.第二试（A）（本题满分20分）设m,n为正整数，且m丰2,如果对一切实数t,二次函数y=x2+（3—mt）x—3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于|2t+n，求m,n的值.解因为一元二次方程x2+（3-mt）x-3mt=0的两根分别为mt和-3,所以二次函数y=x2+（3—mt）x—3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为|mt+3|.由题意，mt+3|川2t+n|(mt+3)2>(21+n)2由题意，mt+3|川2t+n|(mt+3)2>(21+n)2,即(m2—412+m—6n+42—)n复由题意知，m2-4丰0，且上式对一切实数t恒成立所以[m2-4>0,A二(6m-4n)2一4(m2一4)(9一n2)<0,全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共8页）Im>2,\m>2,[4(mn—6)2<0,1mn=6,所以m=3,Im=6,n二2,叫n二1.二、（本题满定5分）如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M,AD交于点N.证明：/AFN=NDME.证明设MN与EF交于点P,•NE//BC,CE的BM与・•.△PNE-△PBC，:PNPEPBPC・•.PB-PE=PN-PC.又•・♦ME//BF，二△PME-△PBF，:PMPEPBPFPB-PE=PM-PF・•.PN•PC・•.PN•PC=PM•PF,故PMPCPNPFAZPNF=ZPMC,Z.NF//MC又NFPN=/MPE,AAPNF^APMCAZPNF=ZPMC,Z.NF//MC又•ME//BF,.'.NFAN=NMED..\ZANF+ZFAN=ZEDM+ZMED,AZAFN=ZDME.（本题满分25分）已知〃是正整数，如果关于x的方程x3+（。+17）x2+（38—a）x—56=0的根都是整数，求a的值及方程的整数根.解观察易知，方程有一个整数根X=1,将方程的左边分解因式，得1(x-1)X2+(a+18)x+561=0因为a是正整数，所以关于X的方程x2+(a+18)x+56=0(1)的判别式A=(a+18)2-224>0，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程(1)的根都是整数，因此它的判别式A=(a+18)2-224应该是一个完全平方数.设(a+18)2-224=k2(其中k为非负整数)，则(a+18)2-k2=224，即(a+18+k)(a+18-k)=224.显然a+18+k与a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k>18，而224=112x2=56x4=28x8，所以/a+18+k=112,、/a+18+k=56,、/a+18+k=28,,/a=39,、/a=12,、：a+18-k=2,或：a+18-k=4,或1a+18-k=8,解得［k=55,或1k=26,或Ja=0,Ik=10,Ja=39,Ja=12,而a是正整数，所以只可能I,uu或I,»|k=55,|k=26.当a=39时，方程(1)即x2+57x+56=0，它的两根分别为-1和-56.此时原方程的三个根为1，-1和-56.当a=12时，方程(1)即X2+30X+56=0，它的两根分别为-2和-28.此时原方程的三个根为1，-2和-28.第二试(B)一、(本题满分20分)设m,n为正整数，且m丰2，二次函数J=X2+(3-mt)x-3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为^，二次函数J=-X2+(2t-n)x+2nt的图象与X轴的两个交点间的距离为d.如果d>d对一切实数t恒成立，求m,n的值.212

解因为一元二次方程X2+（3—mt）x—3mt=0的两根分别为mt和-3,所以d=mt+1元二次方程—x2+（21-n）x+2nt=0的两根分别为2t和一n，所以d2=|2t+no|mt+3|即2t+n|o(mt+3)2>(2t+n)2o(m2-4)12+(6m-4n)t+9-n2>0(1)由题意知，m2-4丰0，且（1）式对一切实数t恒成立，所以\m2-4>0,A二（6m-4n）2一4（m2一4）（9一n2）<0,Im>Im>2,An14(mn—6)2<0,m>2,fm=3,mn=6所以［n:2,m=6,n=1.、（本题满分5分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设a是正整数，二次函数J=x2+（a+17）x+38-a，反比例函全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第6页（共8页）数J=56，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a的x值.J=x2+(a+17)x+38-a,解联立方程组156消去J得J二—,〔xx2+(a+17)x+38-a--，即xx3+(a+17)x2+(38-a)x-56=0，分解因式得(x-1)x2+(a+18)x+56—=0(1)显然x-1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.1因为a是正整数，所以关于x的方程（2）x2+(a+18)x+56-0的判别式、=（〃+18）2—224>0（2）而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式A=（a+18）2—224应该是一个完全平方数.设（a+18）2—224=k2（其中k为非负整数），则（a+18）2—k2=224，即（a+18+k）（a+18—k）=224.显然a+18+k与a+18—k的奇偶性相同，且a+18+k>18，而224=112x2=56x4=28x8，所以/a+18+k=112,、/a+18+k=56,、/a+18+k=28,,/a=39,、/a=12,、：a+18—k=2,或：a+18—k=4,或1a+18—k=8,解得［k=55,或1k=26,或Ja-0,Ik-10,Ja-39,Ja-12,而a是正整数，所以只可能I,uu或I,»|k-55,1k-26.当a-39时，方程（2）即x2+57x+56-0，它的两根分别为"1和—56，此时两个函数的图象还有两个交点（-1，-56）和（-56，-1）.当a-12时，方程（2）即x2+30x+56-0，它的两根分别为-2和-28，此时两个函数的图象还有两个交点（一2，-28）和（一28，-2）.第二试(C)一、(本题满分25分)题目和解答与(B)卷第一题相同.二、(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.三、(本题满分25分)设a是正整数，如果二次函数J=2x2+(2a+23)x+10—7a和反比例函数y=匕3a的图象有公共整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)，求a的值和对x应的公共整点.、=2x2+(2a+23)x+10-7a,解联立方程组］11-3a消去y得y二,〔x2x2+(2a+23)x+10-7a=11-3a_一一—一、一……,即2x3+(2a+23)x2+(10-7a)x+3a-11=