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平面向量的数量积高考考点分析（怎么考：两向量的夹角19年全国三卷19年全国一卷根据两向量位置关系求参数值17年全国三卷18年北京卷两向量的数量积18年全国二卷18年天津卷一、基本概念定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为则数叫做a与b数量积或内记作a即ab＝ 规定零向量与任一向量的数量积为即0·a＝0.注意：①两向量的夹角必须共起点。②设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.③向量的数量积是一个数量，数乘向量是一个向量。aba|a|ba|b|cosθ的乘积．注意：数量积ab也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cosθ的乘积，这两个投影是不同的．向量数量积的性质θa，bcosθ＝ab.②|ab|≤|a||b|.

|a||b|③(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2ab＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；④a⊥b ab＝0.a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与bθ.结论结论几何表示坐标表示模|a|＝aa|a|＝ab夹角cosθ＝|a||b|cosθ＝a⊥b的充要条件ab＝0二、典型例题例一（1）已知两个单位向量ab满a＋b＝3，则ab的夹角 ．（2）（19年一卷）a，ba=2b，且（a-b）b，ab的夹角为π π 2πA．6 B．3 C．3

5πD．6变式：已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为6，则a＋b等于( )710A. B.71013C. D．413变式2：已知向量1 3 3 1

ABC＝( )A．30°C．60°

BA＝2，

2，BC＝2，2，则∠B.45°D．120°31 3

13BA

2，

＝ ，，则∠ABC＝( )2 2 例二已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝ .变式1：向量a＝(1,2)，b＝(－1,1)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值为 a＋b与am＝ .变式3：已知向量a＝(－2，m)，b＝(1,2)，若向量a在向量b方向上的投影为2，则实数m＝( )－4C．4

－6D．5＋1例三：已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( )A．6 B.5C．1 D．－6变式1：(2018·全国卷已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )A．4 B.3C．2 D．0变式2：已知是边长为1的等边三角形，则(AB－2BC)·(3BC＋4CA)＝( )A 13 11．－23C．－6－23

B.－23D．－6＋233a＝(2sin13°，2sin77°)，|a－b|＝1，aa－b

π的夹角为3，则

ab＝( )A．2 B.3C．4 D．54：在如图的平面图形中，已知OM2,MON120,三、课后练习1.若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角( )2πA.34πC.3

πB.33D．－2π32.已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )－4C．－2

－3D．－1已知1的等边三角形，点DEABBC的中点，连接D

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