专题10二次函数动点引起的线段最值及图形存在性问题(解析版)

【答案】见解析【答案】见解析专题10二次函数动点引起的线段最值及图形存在性问题二次函数中求解线段最值时通常转化为求解竖直 (垂直于x轴)的线段的最值，即端点的横坐标相等,则线段长度即为二者纵坐标差的绝对值，得到关于横坐标的二次函数，进而求得最值即可 ^面积最值、平行四边形等存在性问题参考之前几个专题的文字说明 ^题型一、利用相似进行线段转化求最值【解答】解:(1)二.抛物线y=x(3)在第四象限的抛物线上任取一点 M,连接MN、MB.【解答】解:(3)在第四象限的抛物线上任取一点 M,连接MN、MB.请问：AMBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.93bc0故抛物线函数关系表达式为y=x2-2x-3;(2)由题意知，AB=OA+OB=1+3=4,在正方形ABCD中，/ABC=90°,PCXBE,・./OPE+/CPB=90°,ZCPB+ZPCB=90°./OPE=/PCB又・./EOP=/PBC=90.△POEs^cbp,,BCOPBPOE?设OP=x,贝UPB=3-x,TOC\o"1-5"\h\z4x 53xOE2- 1 2 1 3 9OE=— x 3x — x -4 4 2 16---0vxv3,当x=3时，线段OE长有最大值，最大值为—.2 16（3）存在.如图，过点M作MH^x轴交BN于点H,以由（1）知，N点坐标为（0,—3）,设直线BN的解析式为y=kx+b,3k「•直线BN的解析式为y=x-3,设M(m,m2—2m—3),则H(m,m—3),MH=a-3-(a2-2a-3)=-a2+3a,2TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 3 27•'S>amnb= —OB MH=— 3m3m — m —2 2 2 2 8・•・当m=3时，AMBN的面积有最大值，最大值是27,此时M点的坐标为(3,15).题型二、利用三角函数进行线段转化求最值2.(2019四川南充中考)如图，抛物线yax2bxc与x轴交于点A(―1,0),点B(—3,0),且OB=OC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，且/POB=/ACB,求点P的坐标；(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.①求DE的最大值.②点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？解：(1)OB=OC,B(—3,0),・•.C(0,—3)abc0可得：9a3bc0c3解得：a1,b 4,c 3.即抛物线解析式为：yx24x3(2)过点A作AG^BC于点G,如下图所示,由题意知：/BAG=/ABG=45°,BG=AG=ABsin45°=，2.•.CG=BC-BG=2<2,AG1，tan/ACG= 一CG22 1设P(t,t4t3),过点P作PQ^x轴于Q,tan/POQ=tan/ACG=—.2①当P在x轴上方时，t0,t即2t27t60即2t27t60解得t1 2,t2•Pi(2,1),F2(则PQ=t24t3,OQtan"=@OQt24t31t2332,4②当点P在第三象限时,t24y3 1t2即2t29t60,解得：t39 33解得：t39 334•P3(9 3349 338•P3(9 3349 3389 33)，P4( 49 338 )③当点P在第四象PM时，/POB>90°,而/ACB<90°,故点P不在第四象限；9 338TOC\o"1-5"\h\z33、 9 33 9 33 9 339 338).综上所述，点P坐标为(2,1),(——)，( ),(——-).2’4 、 4 ’ 8 4(3)①.•M(m,m24m3),N(m4,(m4)24(m4)3)即N(m4,m212m35),设直线MN解析式为ykxn, 2一口kmnm4m3k(m4)n m212m35解得:k2m8nm24m3故MN解析式为：y(m8)x(m24m3)设D(t,t24t3),E(t,(2m8)t(m24m3))TOC\o"1-5"\h\z.DE=(t24t3)[(2m8)t(m24m3)]2 2t22(m2)t(m24m)2 ，t(m2) 4即当tm2时，DE最大值为4.②当DE最大时，点E(m2,m28m19)为线段MN的中点.•・•点E为DF的中点，・•・当DE最大时，四边形MDNF为平行四边形.2 2 2如果DMDNF为矩形，则MNDF4DE,故42(8m32)2442,化简彳导,(m4)2 :,解得：m4—2时，四边形MDNF为矩形.3.(2019甘肃陇南中考)如图，抛物线 y=ax2+bx+4交x轴于A(―3,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点 P的横坐标为m.(1)求此抛物线的表达式；(2)过点P作PM，x轴，垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点P作PNLBC,垂足为点N.请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN【解析】解：(1)抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(—3,0),B(4,0)两点,9a3b40,,，16a4b401a解得：3,1b3 一 1则抛物线的表达式为y -x2—x4；3 3(2)存在，理由:

点A、B、C的坐标分别为（—3,0）、（4,0）、（0,4）,贝UAC=5,AB=7,BC=472,ZOAB=ZOBA=45°,设直线BC的解析式为：y=kx+b,将点B、C的坐标代入，并解得：y=①当AC=AQ时，如下图所示,ZACQ=ZAQC,即/ACO+/OCB=/CBO+/MAQ设直线BC的解析式为：y=kx+b,将点B、C的坐标代入，并解得：y=①当AC=AQ时，如下图所示,ZACQ=ZAQC,即/ACO+/OCB=/CBO+/MAQ,・・./ACO=ZMAQ,—— 1o1设P(m, -m-m4),3 3则点Q（m,m+4),QM=—m+4,AM=m+3,3/口tan/ACO=tan/MAQ=一得:4m43 二一，解得:m34Q(1,3)；②当AC=CQ=5时,得BQ=4.2-5,由/CBO=45°得:2

QM=BM=——BQ25.2.•.OM=--2,即Q点坐标为（殳巨，2③当CQ=AQ时，由A(—3,0),C(0,4),Q(m,—m+4),2525m=一2由勾股定理得：cq2=aq2,2 2 2••2mm3m4,解得:

一>4,••・不符合题意，舍去，2综上所述，点Q的坐标为：(1,3),(逑，4返);TOC\o"1-5"\h\z2 212 1 一(3)设点P(m, -m-m4),则点Q(m,—m+4),\o"CurrentDocument"3 3•.OB=OC,/ABC=/OCB=45°=/PQN,PN=PQsin/PQN2 1m2 32 1m2 321m4m322=一m62

一m6J<0,

672 m6c2 222''当m=2时,当m=2时,PN的最大值为:题型三、利用三角函数将周长转化为线段最值问题3 (2019河南焦作二模)如图1,在平面直角坐标系xOy中，直线l:y-xm与x轴、y轴分别12交于点A和点B(0,-1),抛物线y-xbxc经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).2(1)求n的值和抛物线的解析式；(2)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0t4).DE//y轴交直线l于点巳点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形(如图2)且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值；图1 图2【答案】见解析3【斛析】斛：(1)将B(0,-1)代入y—xm得：m=-14即直线l的解析式为：y3x1,4将C(4,n)代入直线l解析式得：n=2,即C(4,2),1C将B、C坐标代入y-x2bxc得:284bc2_rb—解得：b4，c1即直线l的解析式为：y3x1,4将C(4,n)代入直线l解析式得：n=2,即C(4,2),1C将B、C坐标代入y-x2bxc得:284bc2_rb—解得：b4，c15即抛物线的解析式为： y1x25x1.4. . . 4(2)在y-x1中，当y=0时，x=一,3即A(4,0),OA=4,3 3在RtAAOB中，由勾股定理得：AB=\OA2OB212•••DE//y轴,・./ABO=/DEF,OB在矩形DFEG中，EF=DEcosZDEF=DE——AB3DE5OADF=DEsin/DEF=DE——AB4DE5p=2(EF+DF)14「=DE5由点D的横坐标为t(0<t<4)得:D(t,-t225t41),E(t,3t41)DE=3t1-41)22t,•l-P=14DE5=7t528"5,・•・当t=2时,p有最大值285题型四、利用特殊角的直角三角形中三边关系转化线段求最值问题(2019河南新乡一模)如图，抛物线 y=ax2+bx+2与直线y=-x交第二象限于点E,与x轴交于A(-3,0),B两点，与y轴交于点C,EC//x轴.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线y=-x上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点G,作PHXEO,垂足为H.设PH的长为1,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围)，并求出1的最大值；(3)如果点N是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点 M,若以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点 M的坐标.【答案】见解析【解析】解:(1)由题意知A(―3,0),C(0,2)且【答案】见解析【解析】解:(1)由题意知A(―3,0),C(0,2)且EC//x轴.••点E的纵坐标为2又,一点E在直线y=-x上，x=-y=—2,，点EL2,2),•・•点A(―3,0)、E(―2,2)在抛物线y=ax2+bx+2上,9a3b20,,,4a2b22a解得：b2 42343・•・所求抛物线的解析式为： y-x24x2.3 3(2)•••PG^x轴，PH^EO,点G在y=-x±,224・•.△PHG为等腰直角三角形，且G(m,—m),・•.△PHG为等腰直角三角形，且G(m,3 3设PH的长为设PH的长为l设P(m,2m23,・l=-^2PG4am2)，33m23m2- 2 —2 1 492=—m- 3 4 48- 1，当- 1，当m=一时,4l取最大值臂•••所求l与m•••所求l与m的函数关系式为：l22 2——m——m3 6Y2,l的最大值为:(3)点N是抛物线对称轴x=-1上的一个动点，抛物线上存在一动点49.W.48M,若以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形，存在点 四边形是平行四边形，存在点 M,理由如下:①以AC理由如下:①以AC为平行四边形的一边时，则有MN//AC且MN=AC,如图，过M作对称轴的垂线，垂足为如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F,设AC交对称轴于点L则/ALF=/ACO=ZFNM・•・在4MFN与AAOC中，/MFN=/AOC,/FNM=/ACO,MN=AC・.△MFN^AAOCMF=AO=3，点M到对称轴x=-1的距离为3,设点M(x,y),则|x+1|=3解得x=2或，点M到对称轴x=-1的距离为3,设点M(x,y),则|x+1|=3解得x=2或x=-4,一，10当x=2时，y=一当x=—34时，y=10万・•.M点坐标为（2, ”） （—34,10与）②当AC为对角线时，高AC的中点为K,-A(-3,0),C(0,2)3-K(2,1),丁点N在对称轴x=-1上,，点N横坐标丁点N在对称轴x=-1上,，点N横坐标为—1,设点M的横坐标为x,则有：x=-2,此时y=2,(-2,2)综上所述，M(-2,2)综上所述，M点的坐标可能是（2, 1°）,（—4310三)，・2,2).3题型五、线段最值及直角三角形存在性问题6.（20196.（2019河南南阳模拟）如图，在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形，/ACB=90°,AC=BC,OA=1,OC=4,抛物线y=x2+bx+c经过A,B两点，抛物线的顶点为D(1)求b,c的值;（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F当线段EF的长度最大时，求点E的坐标;（3）在（2）的条件下:①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;②在抛物线上是否存在一点 P,使4EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在， 求出所有点P的坐标;【答案】见解析.【解析】解：(1)由已知得：A(―1,0),B(4,5),•・二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(4,5),.1—b+c=0,16+4b+c=5,解得：b=-2,c=-3；(2)如图：二•直线AB经过点A(-1,0),B(4,5),•・直线AB的