等比数列与前n项和

PAGEPAGE13环球雅思学科教师辅导学案辅导科目：数学年级：高一学科教师：课时数：3授课类型等比数列与前n项和教学目的掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．教学重、难点1、通项公式求法！教学内容2、等比中项若成等比数列，那么叫做的等比中项。两个实数的等比中项有两个，就是这两个数的算数平均数。等比数列的性质①等比数列的通项公式：②其前项的和公式或③等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项。④等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即成等比数列。⑤若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比数列．4、等比数列性质的判断和证明方法一：定义法，数列是等比数列方法二：an＝cqn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．方法三：中项法，数列是等比数列方法四：Sn＝A·qn－A(A、q为常数且A≠0，q≠0,1)⇔{an}是公比不为1的等比数列．5、知三求二等比数列有5个基本量，，求解它们，多利用方程组的思想，知三求二。注意要弄准它们的值。【分析题型】题型一：等比数列的通项公式(1)在已知等比数列a1和q的前提下，利用通项公式an＝a1qn－1，可求出等比数列中的任意一项．(2)在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an＝amqn－m可求等比数列中任意一项．(3)等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1可改写为an＝eq\f(a1,q)·qn.当q>0，且q≠1时，y＝qx是一个指数函数，而y＝eq\f(a1,q)·qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{an}的图象是函数y＝eq\f(a1,q)·qx的图象上的一群孤立的点．已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且=,,.(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式;1、在等差数列和等比数列中,的前10项和.求和;2、设的公比不为1的等比数列,其前项和为,且成等差数列.(1)求数列的公比;(2)证明:对任意,成等差数列.题型二：等比数列的前n项和公式1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．3．在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn.1、等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝eq\f(32,9)，且公比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．2、已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为()A.eq\f(33,12)B．31C.eq\f(31,4)D．以上都不正题型三：等比数列性质的应用等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握它们，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式an＝f(n)的下标n的大小关系，可简化题目的运算．【典型例题】(1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.(3)已知等比数列前n项的和为2，其后2n项的和为12，求再后面3n项的和．1、已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．5eq\r(2)B．7C．6D．4eq\r(2)2、设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)题型四：等比数列的证明1．定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．2．中项公式法：若数列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．3．通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．4．前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．设数列的前项和满足,其中.(I)求证:是首项为1的等比数列;(II)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(5,4)))是等比数列．2、已知数列{an}中，a1＝eq\f(2,3)，a2＝eq\f(8,9).当n≥2时，3an＋1＝4an－an－1(n∈N*)．(1)证明：{an＋1－an}为等比数列；(2)求数列{an}的通项．2．倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式有：(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋k))；(3)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))；(4)eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)[eq\f(1,nn＋1)－eq\f(1,n＋1n＋2)]；(5)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)；(6)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋k))＝eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))．5．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，.1、已知，求的前n项和.等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____；2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.2、求数列的前n项和：，…求和：3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.3、求的值已知，则＝______；4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.4、求和：………①5、求数列前n项的和.设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；②求数列的通项公式.；5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①；②；③，；④；⑤；⑥. 6、求数列的前n项和.7、在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.求和：；（2）在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____；1、数列，，，…，，…的前项和是（）A．B．C．D．以上均不正确2、若数列的前项和为，则这个数列是（）A．等比数列B．等差数列C．等比或等差数列D．非等差数列3、等比数列的首项为，公比为，前项和为，由原数列各项的倒数组成一个新数列，则的前项之和是（）A． B．C． D．4、已知数列的前项的和是，若，则是（）A．递增的等比数列 B．递减的等比数列C．摆动的等比数列D．常数列5、某工厂去年产值为，计划年内每年比上一年产值增长％，从今年起五年内这个工厂的总产值是（） A． B．C．D．6、等比数列前项和为，前项和为，则前项和为（）A． B．C．D．7、在等比数列中，，，则（）A． B． C． D．8、等比数列中，，，则的前项和为（）A．B．C．D．9、一个等比数列的前项和为，前项和为，则前项和为（）A． B． C． D．10、在与之间插入个数组成等比数列，若各项总和为，则此数列的项数是（）A． B． C． D．11、数列，，，…，（…），…的前项和等于（） A． B． C． D．12、首项为的数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前项和为（）A． B．C． D．13、设等比数列的前项和为，前项的倒数之和为，则的值为（）A．B．C．D．14、某林厂年初有森林木材存量，木材以每年％的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量，为实现经过两年砍伐后的木材的存量增加％，则的值是（）A． B．C．D．15、已知数列的前项和为．若数列是等比数列，则、应满足的条件为（）A． B． C． D．16、在正项等差比数列中，若，，则的值为（）A． B． C． D．17、等比数列的各项均为正数，且，则…（） A． B．C．D．18、等比数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则（）A．B．C．D．19、一个等比数列共有项，奇数项之积为，偶数项之积为，则为（）A．B．C．D．20、已知等比数列的公比为，且…，则…（）A．B．C．D．21、若等比数列的前项之和，则（）A．B．C．D．22、数列，，，…的前项和等于____________________．23、