数学解题的策略

数学解题的策略南京师范大学耿长松从高考试题谈——认识高考命题的基本思想江苏省高考命题基本成熟江苏省自主命题基本成熟

第一年——平稳过渡，第二年——预期准确难度适中均分难度低:中:高

95.470.634.3:3.1:2.604年——05年——82.920.553:4.3:2.7对数学学习提出三个不同层次的要求全体学生，大多数学生，少数学生受到考生,教师,家长及全社会肯定和欢迎不同层次学生都能获得与其相称的成绩坚持考查基础知识和重点内容试题以课本例习题为主要来源源于课本而不高于课本,源于课本而略高于课本,源于课本之外的不常见新颖题坚持考查基础知识和重点内容

小题重在对基础知识的直接运用，大题重在对重点内容的思维探索能力立意,强调创新意识

小题重在区分思维层次,大题重在解决新问题淡化在知识网络的交汇处设计命题

对综合性有一定要求但不高,设置小题,梯度合理,大多数题起点低、思路宽、方法多,利于施展才华试题不过分追求新颖

新颖而不过分,难度适中,表面容易,得满分也非易事.

具体数据统计选择题(5)三角(9)解几(11)解几(12)排列组合总计均分2.853.463.112.3046.02难度

0.570.690.620.460.77填空题(13)(14)(15)(16)(17)(18)总计均分2.332.582.652.262.610.8713.30难度0.580.650.660.570.650.220.55知识点逻辑切线定义域估值解析式向量解答题(19)(20)(21)(22)(23)总计均分5.348.015.753.321.1933.26难度0.450.670.410.240.090.45知识点解几概率立几最值数列“小题”对能力的考查从不同思维层次上进行考查——解题过程蕴涵不同的思维层次

以简缩思维解题直接抓住本质甚至于无须动笔大大节省时间

模仿训练的套路机械作答花费时间形成简缩思维的最有效途径

勤于反思，善于概括，获得“生成性知识”——自己的知识

大题对能力的考查大题——解决“新问题”的能力“新问题”：情景新题型新设问新方法新

解决新问题——“从无到有”——探索能力和创造意识

怎样在陌生的情境下,从题意的挖掘开始,一步一步找到解决问题的途径,是从不知到知,从不懂到懂,从不会到会,从不明白到明白的“从无到有”的实现过程,这就是探索能力.不是说，只能按照熟悉的题型,习惯的方法,见过的面孔去解决问题,自己完全不知道在陌生的情境下,怎样从条件出发找到问题的解决.数学解题的基本策略策略(1):怎么着手解题1)它是一个什么问题？它要求(证)的是什么？

——是什么范畴的问题？——“盯着目标”——求(证)什么？2)现有哪些材料——题设中的条件3)有哪些工具——已经学过的相关知识和方法4)还缺少什么材料？

能否从现有的材料和工具中找到它们？5)如何利用这些材料和工具？6)是否还有条件没有利用？如何利用？

策略(2):运用“提示语”理解题意运用提示语理解题意——提高探索能力的要诀

它是什么？如何表示？它有什么性质？这些性质如何表示？它们之间有什么关系?这些关系如何表示?它是否与其它问题,方法,信息相联系?理解题意——解题最重要的环节

波利亚：理解了题意，相当于解决了问题的一半.理解了题意，往往能直接找到问题的解法“它”——名词、句子、概念、关系、符号、表达式、上下标、图形、图中的点线面，等还可以如何表示6.抛抛物物线线y=4x2上的的一一点点M到焦焦点点的的距距离离为为1,则则点点M的纵坐坐标标是()(A)(B)(C)(D)0y0=1-M与F距离离为为1,准线线““是什什么么”———画图图———MF=MG=1,(B)———走走弯弯路路常规规方方法法,两点点距距离离抛物物线线““是什什么么”————定定义义.策略略(3):画画一一张张图图纵坐坐标标是是什什么么?16.若若3a=0.618,a∈[k,k+1],k∈Z.则k=.3-1=0.33a∈[-1,0]k=-1.☆3a函数数图象象y=3xa∈[k,k+1]是什什么么?3a=0.618是什什么么?是什什么么?3a———a是什什么么?问题题数学学符符号号怎么么表表示示？？还可可以以怎么么表表示示？？———用“函函数数思思想想””＜3a=0.618＜30=1抽象象符符号号具具体体化化0.618→→3a→a3-1＜3a＜30-1＜＜a＜0观察察f(x)=(x∈R)，，区区间间M=[a,b](a<b)，，集集合合N={y︱y=f(x)，，x∈M}，，使使M=N成立立的的实实数数对对(a,b)有().(A)0个个(B)1个个(C)2个个(D)无无数数个个1.它它是是什什么么?————每每个个对对象象的的意意义义(数学表示?)2.它有何性性质?——每每个对象的性性质(数学表示?)3.它们有什什么关系?(数学表示?)它有什么性质质?它们有有什么关系?它是什么?———M,N,(a,b)…每个对象的意意义是什么？？M与N不可能相相等.选A.③[a,b]数集;(a,b)数对①M,N都是数集,表表示不同.理解题意理解什么②MM的象集合f(x)N—①f(x)与对应x反号(“反号性”)f(x):(+)(-),或(-)(+)f(x):M(跨原点区间)→N,缩小②|f(x)|＜1|f(x)|＜|x|(“收缩性”)④问题是什么么？策略(5)：生成知识迁迁移方法简简缩思维虽然,通法法是基本的,但随着解解题的深入,不断形成新的的概括,从从而不断生生成新知识,新新方法,新新认识,新新体验,思思维层次也也应随之提高高.如果知识和方方法不具有生成力,迁迁移力,始终停留在最最初的层面,那么思维层次就只能停留在较低的的水平上,达达不到提高能能力的作用立几题:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,O是上底面中心心,P在CC1上,CC1=4CP.(2)点O在面APD1上的射影是H,求证HD1⊥AP.H是点O的射影D1H是D1O的射影.D1O⊥面AC1D1O⊥APO,H是什么?射影有什么性性质？三垂线定理D1H,D1O,AP有什么关系?D1H⊥AP(2)Q是已知椭圆上一点,过过Q点和焦点F的直线l交y轴于点M,,求直线l的斜率M(0,km),图形语言文字语言有|x|=2|-m-x|,得x=±2(m+x).x1=-2my1=-km将(x1,y1),(x2,y2)代入已知椭圆方程得k=0,画图(0,km)(x,y),(-m,0)解析几何语言言解此方程得图形语言符号语言设Q(x,y),向量语言焦点F(-m,0),直线l:y=k(x+m)还可怎么表示示是什么?怎么表示?几何对象性质质表示22．已知a∈R，函数f(x)=x2|x-a|

(ⅡⅡ)求函数y=f(x)在区间[1，2]上的最小值.首先脱去绝对值号,a<11≤a≤2a>2(分类特点:按a与x所在区间分类关系)a<xa在[1,2]左a=xa在[1,2]内a>x→(≥0)怎么脱?画图a在[1,2]右策略(9)：解题回顾解题回顾是数数学学习最重重要的环节新问题的解决决往往在“一一念之间””回顾思考的过程问题的理解涉及的知识联联系的问问题数学学的思想方方法与与策略简简缩与优化元元认知体体验策略(10)：提高悟性是根根本①学之道在于““悟”,教教之道在于““度”达到熟练的程程度需要也正正常.但““熟能生巧””多指操作而而言,熟练只能培养养解决已知问题题的能力,而不是解决新问题能能力.培养解决新问题能力,最好好的办法就是是自己感悟.②要独立地学学习一点新东东西独立地去读点点书,独立立做题和独独立地研究所做的题题,要学会自己思思考和感悟.③“师傅领领进门，修行行在个人”教师不能包办办代替，教师师只能引导，，领悟必须也只只能靠学生自自己祝同学学们

在学习习中取得更大大进步

在高高考中获得满满意成绩已知i,m,n是正整数,且1＜i≤m＜n.求证：niAim＜miAin它是什么?———抽象符符号具体化，m,n,i用具体数代换换。niAim<miAin←→………….策略(4)抽抽象符号具体体化(i项)(i项)03’(5)O是定点,A,B,C是不共线三点点,点P满足,则P点轨迹通过过△ABC的(A)外心(B)内心(C)重重心(D)垂心心(0.2)这涉及对向量夹角公公式的理解①夹角公式应该被看成单位向量的乘乘积不清楚是是单位向量,①③③由此迁移“×”变变为“＋”，，且是单位向量运算②正是单位向量乘积，结果才与向量长度无无关②☆①②③都是一种“生成性知识识”策略(6):深入研究和把把握空间基本本图形研究特殊点性性质及其构成成的线和面.策略(8):熟练掌握曲线或图象草图画法定位,定性,定形,定量量,四者具其其二.达到自自动化总结,概括自自己画图的方方法和规律——生成性知识识数学的语语言按性质分类文字语言符号语言图形语言数表语言逻辑语言按学科分类几何语言代数语言三角语言向量语言解几语言策略(7)：：不断进行数数学语言转换换通过“语义的转换”(语文的和数学的阅读能力)从题意中提取信息——概念,对对象,关系系的信息学习策略(7):利利用生活的常常识棱柱底面是菱菱形,当值值为为多少时,使使A1C⊥面C1BD学习策略(8)：逆向思考剪拼问题(正三角形剪拼拼成正三棱锥锥、正三棱柱柱)数学的悟性和和灵性很难通过应试试复习做准备备善于多向思考考比较机智的的人却能做出出来逆向思考，很很容易解决学数学,学解解题——学习思考的策策略,思路路的寻找不能被动记忆忆解法,套套用解法考察2＜a＜3时,f(x)单调性令f’(x)=0,解得x=0,∈[1,2](f(x)极值点).x=[1,2]分为1＜x＜,f’(x)=＞0,fmin=f(1)=1-a(左端点)＜x＜2,f’(x)=＜0,fmin=f(2)=4a-8(右端点)先何时相等?再对不等等比较大小.f(1)=f(2),有有a-1=4a-8,得a=,2＜a≤,f(1)和f(2)哪个更更小?f(1)≥f(2),取取右;＜a≤2,f(2)≥f(1),取取左;结论1-a(a＜1)0(1≤a≤2)a-1(1≤a≤2)4a-8(2＜a＜)10.若sin(-α)=，，则cos(+2α)=(A)(A)-(B)-(C)(D)cos(+2α)sin(-α)=-cos(π-+2α)]=-cos[π-(-2α)]=cos[2(-α)]=2×()2-1=-。选选A.★=cos[-(-α)]=cos(+α)=,cos(+2α)=cos[2(+α)]=2cos2(+α)-1=2×()2-1=-。选A.(★互余)’01(19)抛物线y2=2px(p>0)焦焦点为F,一直线过焦点F,交抛物线于A,B.BC∥x轴,且点点C在抛物线准线线上。证明直直线AC经过原点O。焦点坐标F(,0)(2分)AB方程y=k(x-)(2分)用代数符号表表示几何对象———点,直线,几何性质———平行,垂垂直,斜率率,基本量11.点P(-3,1)在椭圆圆=1(a>b>0)的的左准线线上.过点P且方向为为=(2,-5)的的光线线,经经直线y=-2反射后通过过椭圆圆的左焦点点,则这个个椭圆圆的离心率率是(A)(B)(C)(D)P作AB=e==经y=-2反射交x轴点C,OC=1,c=1=3,选A.BD=DC=AC=2,画图DF平分BC椭圆,P左准线线上,光线方方向直线y=-2,反反射射,离离心心率(求)是什么平行线线有什么么性质质左准线线方程程x=-3a=.交x轴B；设数列列{an}的前n项和为为Sn,已已知a1=1,a2=6,a3=