毕业论文例子

大连民族学院本科毕业设计（论文）信号稀疏表示方法设计与实现学院（系）：机电信息工程学院专业：自动化学生姓名：学号：指导教师：评阅教师：完成日期：2014年6月13日大连民族学院-IIAbstractWiththeinformationtechnologydeveloped,peopledemandmoreandmoreroutineinformation,requiredsignalprocessingisalsohigh,whichrequiresabetterchoiceforsignalprocessing,moresubtleways.Dothesamething,ofcourse,themethodusedsimpleaspossible.Inrecentyears,thesparserepresentationisveryimportantinthefieldofsignalprocessingandapplication.Thepurposeofthispaperistodescribethesparserepresentationbyasignal,thatusingasmallamountofbasicsignalshowingmostoralloftheoriginalsignal.Thisarticleusesthematchingpursuit(MatchingPursuit,MP)algorithmforsparsesignaldecomposition.Inthispaper,thesparserepresentationandFourierrepresentationmethodsarecompared,andusingMATLABsimulationconductexperiments.Theresultsshowthatthesparserepresentationofbetterperformanceinthesparsesignalpresentation.KeyWords：MatchingPursuit;Fouriertransform；Sparserepresentation；SignalProcessing目录摘要 IAbstract II1绪论 11.1研究背景和意义 11.2本文的主要工作 12信号的稀疏分解 22.1稀疏表示的概念 22.2信号的表示 22.4稀疏表示的好处 33稀疏表示方法 53.1傅里叶变换 53.2快速傅里叶变换 64信号的稀疏表示方法设计 84.1匹配追踪稀疏分解 84.2信号构造 85实验分析总结 105.1傅里叶变换 105.2实验与数据分析 115.3实验总结 17结论 18参考文献 19附录A傅里叶变换及MP算法 20致谢 24PAGE2––PAGE24–1绪论 1.1研究背景和意义当今社会是一个计算机技术、多媒体技术进步相当的快，可谓是日新月异，随着这些技术的进步和发展，人们对信息的需求也是越来越大，为了满足人们对信息的需求，这样一来，媒体数据日益增多。媒体数据主要以图像和视频为主。这些图像和视频都是以一些简单的信号为基础的，没有简单的信号，这些也难以发展。任何复杂事物都是由简单的事物所构成，如果复杂的事物理解不了，就可以把复杂的事物分细，分成简单的事物，这样就容易理解。这就要求对简单的事物要做全面深入的理解，做到最好。这样复杂的事物就再也不是问题了，就可以解决。这就说明了基本信号的处理是一切其他高端复杂信号处理的基础。近些年来，稀疏表示已经成为信号处理和信号应用领域中处于第一位的概念之一。稀疏表示在很多的科学领域，如编码和信息论，信号采集处理，医学成像，及和地理和航天数据分析等领域中都得到应用。由于信号的数据量极大，如何高效的表示视频信息已经是多媒体技术的关键。所以稀疏表示将发挥了它的重要作用，在很多领域内都是必不可少的。1.2本文的主要工作本文在研究人员的基础上，根据信号处理的基本原理，做一个稀疏表示方法的设计。在这一个过程当中，文章的主要重点是如何实现一个信号的稀疏分解以及怎样把这个信号用几个点稀疏表示出来，并从以下几个方面来说明和研究。（1）分析和找出信号用不同的方法来表示的优点和缺点。首先分析信号基于过完备字典的稀疏表示方法的原理是什么，然后再分析实现方法。本文是以匹配追踪为例，来分析信号稀疏分解的算法复杂程度，并且提出MP算法。稀疏分解方法大大降低了算法复杂程度和减少了计算量。（2）用实验的方法来得出结果，然后用实验数据来分析说明稀疏表示的好处。本文是用稀疏的表示方法设计两个信号叠加之后再把它的原始信号用几个经过稀疏之后的点给表示出来，也就是所说的稀疏表示。2信号的稀疏分解在信号处理的研究中，对信号表示方法的研究是一个最根本的研究问题，这将涉及到很多关于信号处理的问题。但是现实的研究当中，世界上的各种自然现象的混合体可以是一个信号，传统的现象用正交变换很难实现对信号的有效表示，给信号的研究造成了很多研究方面的困难。“所以为了使自然信号有效地表示出来，前人在小波分析的基础上，S.Mallat和Z.Zhang最早提出了基于过完备字典可以稀疏分解方法，并介绍了匹配追踪算法，指出了信号处理研究的道路”[1]。2.1稀疏表示的概念“稀疏表示又称压缩感知。也就是用较少的基本信号的线性组合来表达大部分或者全部的原始信号称为原始信号的稀疏表示”[2]。其中，最基本的信号称为原子，是从一个超完备字典当中挑选出来的；而过完备字典则是由个数超过信号维数的原子聚集而来。可见，任一信号在不同的原子组下有不同的稀疏表示。稀疏表示最重要思想是这样的，即在一个非常之大的训练空间样本之内，对于其中一种类别的东西，这样就可以大致的由训练样本中的同类的样本子空间来作线性表示，因此，当对象是整个示例表显示的样本空间的时候，表示的系数是稀疏的。这是稀疏表示一个假设的重要思想，然后再进行具体分析的基础。通过这些对稀疏表示的描述，可以将稀疏表示抽象成一个方程式： （2.1）这个稀疏指的是上述方程的系数向量稀疏，是我们选择的目标样本，A是一个作为训练样本的空间。所以要进行解决上述所说的问题时，就是要求我们把上面所说的方程给求解出来，求解上面方程的要求是x是稀疏的。2.2信号的表示信号研究和处理中，频域表示和时域表示这两种表示形式是信号表示的最基本形式。如果在时域中来描述信号，时域可以直观的分辨出信号的幅值变化，信号的连续性，和信号的变化快慢这些特征。但是在对于信号的处理研究中，我们更多的时候是要借助频域的表示来研究信号。“因为时域内信号的很多特征不能得到清晰的表示出来”[3]。尤其是在人们提出快速傅里叶变换这种变换方法之后，在频域中分析信号变成了一种很重要的工具。2.3信号的稀疏表示在信号的研究和处理中，不仅要关注信号在频域中的不同表示方法，同时也要关注频域信号在频域中的有效表示程度，总是需要需找一种最简洁的方法来表示，这种方法不但要简洁还要灵活、自适应性强，这样对以后的处理工作将会带来很大的方便，同时处理数据的时候也不是太麻烦，处理成本也会降低很多，这样一来效率就会提高了。但是如果要用传统的方法来表示这些信号，可能会遇到很多实际信号不能有效的表示出来。因为这些信号都是自然现象当中的复杂集合体。“就比如说，一个含有正弦波型和锯齿波型的混合信号，无论是采用正弦基还是采用锯齿基都很难有效的表示出来”[4]。这需要人们去寻找一种更加新的信号表示（基于过完备字典的稀疏表示方法）方法。这一则理论最先是由S.Mallat和Z.Zhang提出，并引入了匹配追踪算法。先设定一个集合,中的所有元素为整个Hillbert空间的单位矢量，,集合为原子库，是库中的原子。假如为Hillbert空间的任意信号，在中通过自适应地方式寻找个原子，使得（2.2）其中，为的项逼近，定义逼近误差为 (2.3)这种逼近由于，所以称之为稀疏逼近，当较小或者在实际允许的范围内时，这种逼近过程就可以称为稀疏分解，系数为信号的稀疏表示。2.4稀疏表示的好处信号中包含了很多的数据，所以要从中找到所需的信息堪比大海捞针。“稀疏表示则是通过少量的系数来揭示需要找的信息，所以这是一种快速而简单的信号处理方法，可以通过在一个称为字典的基本波形里对信号进行分解来构造稀疏表示”[5]。熟悉的信号表达方式的种类很多，比如小波变换，傅里叶变换，短时傅里叶变换，离散余弦变换等等。但是这种的变换方式也解决不了不管哪一种信号及其自身在变换域上的表示时固定的，如果某种信号的特征完全不适应这组基函数，那么就不能够得到所想要的稀疏表示。把给那些给定了的信号在我们知道的函数(或矢量)集合上来进行分解,然后在变换域上表达出原始信号这就是所说的信号的稀疏表示。这种在变换域上用尽量少的基函数来(准确地)表示原始信号,就是信号的稀疏表示,而得到信号的稀疏表示过程就是稀疏分解。

3稀疏表示方法3.1傅里叶变换傅立叶变换是那些满足一个函数能表示为一个简单的三角函数的某些特定条件下（正弦或余弦函数）的功能点的线性组合。傅里叶变换是信号发展和处理中的里程碑，傅里叶变换使信号分析和处理中的定量分析成为可能。设为一维信号，它的傅里叶变换为（3.1）傅里叶反变换为（3.2）利用傅里叶变换，许多在时域难以分析和处理的问题便可以得到解决。傅里叶变换作为信号描述的第二语言，傅里叶变换在信号时域分析中有很多优点。由于这些优点，傅立叶变换被广泛应用于各个领域。但是，任何事物都有两面性，有好的一面也有不好的一面，这就要看我们需要的部分占的比例了。“傅里叶变换一样，有一定的局限性，傅里叶变换只针对平稳信号起作用，对非平稳信号的处理就无能为力了，它只针对全局性的，对实时发生变换的信号无能为力”[6]。傅里叶变换这个原理的提出可以追溯到19世纪，傅里叶变换最基本的原理是用少量基本的信号来表示大部分信号或者全部的信号，就比如像录音这样的信号，都可以这样表示为一系列频率不相同和波幅不相同的正弦波和余弦波的组合形式。“傅里叶变换就是把有限能量分解到正交基上去（）”[7]。这个有利于它的表示，因为正交基表示比较方便，不像其他表示表示方法那样复杂，难懂，难计算。正交基是一个简单的表示方法，所以把有限能量分解到正交基上式一种大家都热衷的一种形式。傅里叶变换用到的基本形式（，，很容易。不管是计算方面还是分析方面，因为这些基本形式的函数大家都明白，可能从小研究的都是这些基本函数，在我们的脑海里已经把它理解的很透彻了。所以这样分析起来就会相对容易得多，不像那些复杂的函数，要经过很多的研究，还不一定研究得懂。所以这就是傅里叶变换的优势所在了。在频域分析的时候，傅里叶变换的形式很单一，可以从几个方面就可以把它分析好，这种分析简单明了。傅里叶可以把一个复杂的信号，分解成很多的简单信号叠加的形式，这样分析的时候就可以只分析那些简单易懂的信号，这是在频域当中，但是在时域当中就不可以这么做了，因为傅里叶变换只能在频域中有这么方便的作用，也才能发挥它的优势。傅里叶变换之后可以看到幅值，频率，还有相位，用这些参数来分析一个信号，显而易见，这样分析就简单得多，因为这些可以在坐标中清晰的表示出来，不像在时域中，只能看到时间，具体的变换还得我们自己想象，想象的东西往往很抽象，不是太具体明了，有具体明了的表示方法，所以显然要用这种简单具体的方法，就要求用些简单易懂的方法来做，这样才能让用这种方法的人，容易懂，一看就明白。“在频域的分析中拥有唯一的性质，傅里叶变换具有非常好的局部化能力，但是要在时域中傅里叶变换就没有局部化能力了，也就是无法从的傅里叶变换中看出在任意一时间点周围的性质形态”[8]。事实上，是关于频率为的谐波分量的振幅，在傅里叶展开式中，它是由的整体的性态所决定的。“小波变换是傅里叶变换在短的纯数学的发展，理论和实践相结合的完美的代码具有良好的时间分辨率和频率分辨率，它能够不断的聚焦到所研究对象的任意微小细节具有卓越的突变点检测能力”[9]。3.2快速傅里叶变换离散傅里叶变换的一种非常快速的算法，这种方法有效简单，就是所说的快速傅里叶变换，虽然快速傅里叶变换并没有什么创新，也没有什么特殊的作用，而且还有一些缺点，但是在计算系统中它却有很大的作用，因为计算快速，即便可能计算量稍微大了一点，但也可以所在这个领域里面也算是更进了一步。这对以后的发展也很有作用，这对要求计算速度来说，已经很好用了。傅里叶变换的计算量太大了，那么用这种方法来对频谱分析和信号的实时处理是不太合理也不太切实际。所以人们发现了一种很快速的傅里叶变换算法，也就是快速傅里叶变换。这种算法大大提高了运算效力，还减少了运算量。快速傅立叶变换是傅立叶变换的长序列的傅立叶变换的几种简单的系列，然后利用对称的周期性因素和因子降低傅立叶变换计算。“还有就是傅里叶变换运算比较节省存储空间，这样就降低了设备成本”[10]。3.3稀疏分解的种类SparseCoding（稀疏编码或稀疏分解）是找出很少一部分重要的系数来表示原始信号的技术，称为稀疏分解；为原始信号从任意一个字典中寻找最稀疏的表示最常用的方法有：（1）贪婪算法，比如阈值方法、匹配追踪（MP）、弱匹配追踪（WMP）、正交匹配追踪（OMP）等；（2）松弛算法。他们当中各有各自的特点，先说松弛算法的特点，即是精度高，但速度慢；然后贪婪算法的特点是速度快，精度相对较低。

4信号的稀疏表示方法设计4.1匹配追踪稀疏分解经过科学计算的一步一步的发展，信号处理方面也有了很大进步，发展到现在为止，已经有很多种信号稀疏分解的算法了，现在列举一下比较常见的方法，小波变换、傅里叶变换、正交匹配追踪、阀值方法、弱匹配追踪快速傅里叶变换、匹配追踪等等。匹配追踪就是本文所重点描述的方法了，也是本文的核心内容。匹配追踪与傅里叶变换相比，虽然计算量相对要大一点，但是它计算的精度很高，而且显示的东西都是在频域当中，这个时候匹配追踪在信号当中的表示更明确，更接近真实的信号，所以选用了匹配追踪来对信号进行稀疏分解。但是这种计算依然很繁琐，所以就要有能够求解局部最优解来代替求全局最优解的贪婪算法，这种算法可以减少计算的复杂程度。“贪心算法MP算法是一种迭代算法，在每次迭代过程中MP算法，是选择一个最佳匹配原子从完整的字典形成原子近似处理的信号结构”[11]。匹配追踪是现在已有的稀疏分解算法中复杂度比较低的算法，尽管他是贪婪算法。“尽管使用了一些线性规划方法，基追踪法因为要在它的所有字典向量的不同的组合当中寻找满足成立的最优解，但是这些算法还是很复杂，所以采用能够求解局部的最优的贪婪算法来取代全局最优解”[12]。这样就可以减少很多计算量了。4.2信号构造设一原始时间信号为，设一组基本函数为，则可以由线性表示（4.1）其中为变换系数。“式（3.2）是信号在频域当中的一种普通的表达方式，不相同的频域表达方式也只需要选择不同的基本函数”[12]。“对信号的研究，根据研究的要求和目的，选择基本函数很重要”[13]。通常说，根据基本函数的选择，可以将频域表示分为两种方式，第一种是基于完备正交基的正交线性变换，另一种是基于过完备原子库的稀疏变换。“要使的分解过程为正交分解，就必须是基本函数为一组两两正交的函数“[14]。假如我们设为维的向量空间，空间向量中的任意个线性不相关的向量为，那么也就是说空间向量中的任意一个向量都可以用基函数来作线性表示，但是这种表示仅有的。（4.2）用矩阵表示时为(4.3)A为展开系数，因为P是可逆的，因此（4.4）正交变换主要包括傅里叶变换、短时傅里叶变换、小波变换等。在信号处理中得到了广泛的应用。这个就不多说了，我下面以实验的方式来说明这个问题。

5实验分析总结5.1傅里叶变换函数的傅立叶变换就是它能够把一个信号经过变换之后，最后变换到频域。因为有一些信号在时域上表示的时候很难看出它的具体的特征，也许你根本就看不出它的特征，特征是什么样都不知道，这就很难对它进行研究了。但是把它变换到频域之后，这样一来，该信号有什么特征将很明显的看出来了，这样对我们的研究就非常方便简洁了。刚好傅里叶变换就是把在时域上表示的信号变换到频域上面来，这就容易看出给信号的特征了，这样对信号的研究就会变得更加简洁方便了，也就节省了研究的时间。所以都喜欢在处理信号的时候把需要处理的信号经过傅里叶变换，把它变换到频域上来处理。

现在就用一个实际的例子来说明一下傅里叶变换的重要意义，在实际当中是怎么用的，看看上述的观点是否正确。采样定理告诉，采样的频率要大于信号频率的两倍，这些就是不常说的耐克斯为采样定理。在此就不作详细的解释了。数字信号采样后，可以做傅里叶变换。“选取N个采样点之后，经过傅里叶变换之后，这样就能够得到N个采样点的傅里叶变换的结果了”[15]。“为了计算方便，一般情况是用N取2的整数次方”[16]。

先构造一个信号，让这个信号的采样频率为Fs，这个信号的频率为F，对这个信号采集N个点。则该信号的傅里叶变换就是一个为N点的复数。每个点对应一个频率点。例如某点n所表示的频率为：。那么由这个公式就可以看出，Fs/N就是Fn所分辨到的频率了。对这个函数进行匹配追踪计算。“先构造一个函数，其中是给出来的已知函数，是建立的一个过完备字典，是一系列采集的点的集合”[17]。对于采样数列则称（5.1）即为列数，的离散傅里叶变换，为了方便表示，零，则可以写成矩阵形式：(5.2)如果设为的傅里叶变换，则(5.3)求出说有的的值，从其中选择几个不为零的数，这几个说就能表示出这个信号了。这就是所说的稀疏表示，即用少量的信号就可以表示大部分或者全部原始信号。这就是本论文的宗旨，本文的主题了。5.2实验与数据分析下面以实验的方式做一个实际的信号来做说明。假设有一个正弦信号，这个信号的频率为100Hz，信号的振幅为1、信号的相位为0度，那用数学表达式来表示它。信号的数学表达式如下：QUOTE。要以10000Hz的采样频率对这个信号进行采样，这个信号总共采样1024个点。按照上面的分析，就能够知道，n-1为第n个点的频率，也就是1024点频率。我们正弦信号当频率为100时，它的信号图像如图5.1所示。图5.1频率为100Hz的正弦信号另外假设另外一个信号，该信号的频率为300Hz，幅度为1，相位为0度，信号的表达式如下：。从图中可以看到，该信号在同一个周期内变换明显要快得多。

图5.2频率为300Hz的正弦信号把频率为100Hz的信号和频率为300Hz的信号叠加起来，叠加起来就是把这些信号变成一个混合的信号。这个信号的表达式为，也就是。相同频率的正弦波，相位固定不变，叠加结果取决于初始相位差，相位差为180°时，叠加结果达到最小值，为有效值相减；相位差为0°时，叠加结果达到最大值，为有效值相加；其它相位差时，结果介于差与和两者之间。两个信号叠加的仿真如图5.3所示。图5.3两个信号叠加把这两个正弦信号的叠加信号进行傅里叶变换。所叠加的信号有3个频率：0Hz、100Hz、300Hz，这些频率应该分别在第1个点、第101个点、第301个点上出现峰值，其它各点应该接近0。那么实际情况如何呢？变换结果如图5.4所示。图5.4叠加信号傅里的叶变换对这个叠加的函数先进行傅里叶变换，得到一个傅里叶变换函数，使这个函数变形成的形式，，，这里是字典矩阵，为一个向量的线性组合，是一组向量，如图5.5所示：左边矩阵是字典矩阵，又K个N维的列向量组成。根据K与N的关系的不同，可以化为不同的矩阵。第一步，用贪婪算法先找到最接近X的原子，这个原子等效于向量，然后再把这个最接近的原子保留下来，第二步，计算误差满不满足要求，要是满足的话就可以停止算法了，要是不满足的话，我们计算出残差，和第一步的步骤一样，找到最接近残差的向量原子，然后把它保留下来。最后，调整已选择的向量的系数，使得最接近X，重复第二步的操作。遍历更新矩阵字典D中的每一列，如果满足要求，则停止迭代。图5.5字典矩阵的这里就不详细的列出来了。先将原始信号变换成公式（5.2）的形式，然后将规定的采样点2048，采样频率为10000，然后将这数代入公式（5.2）中，然后经过一系列变换之后，在MATLAB中仿真得到如图5.6所示结果。图5.6MP算法的原始信号5.3实验总结假设的采样频率为Fs，采样点数为N，那么在经过傅里叶变换之后，任何一点n（n从1开始）表示的频率就是：；在仿真图像中选择几个比较大的值，就可以表示整个信号的全部或者大部分值了，但是，傅里叶变换得出的仿真图像，能量不是太集中，这就说明它有一定的误差，只能用稀疏逼近法来对这些误差进行特殊处理，得出一个大致等于所需要求的值，这样也可以表示的原始信号，但是误差还是比较大，表示不够准确。所以选用另外一种表示方法来表示了，就是用匹配追踪算法对信号进行处理，这种算法进行仿真得出的能量图，相对傅里叶变换得到的能量要集中一点，就是除了少部分不为零之外，其他的都为零，这个不为零的数据，就是所要求的，所需要的数据了。这样匹配追踪算法来表示原始信号，会比傅里叶变换来表示的误差更小，更准确，更有效。如果需要提高精确度的话，则需要增加采样的点数，点数越多越好，就越精确。但是要考虑计算量，所以合适就好。增加采样点数算出来的值更接近理想的值，这个误差会更小，更精确。这样少量的几个非零数值来表示整个信号，就是的稀疏表示，这样表示可以达到更高效率的表达。

结论本文主要用匹配追踪算法对信号进行稀疏分解，然后再把信号通过稀疏表示方法表示出来。经过匹配追踪算法与傅里叶变换对信号稀疏表示结果精确度的比较，得出了匹配追踪算法的表示更加准确。对各个概念进行了一定的介绍。稀疏表示有很多种类，但是匹配追踪算法是所以算法当中比较简单的一种算法了。信号一般都是在时域当中表示，虽然用这种方法方便表示，但是对对信号性质的分析不太方便，有好多性质在时域当中是很难看出来的，所以还得把这种表示方式变换到频域当中来，在频域当中就容易分析信号的特性了。所以一般情况对信号进行分析的时候都是经过一定的变换把在时域当中的表示的信号变换到频域当中来，也就是这个道理。把信号由时域当中变换到频域的方法有好多种，但是为了后续的计算方便，选择了匹配追踪算法。这种算法是目前为止最为简单的算法。要对信号进行稀疏分解，然后才能把信号进行稀疏表示。信号稀疏分解的方法也同样有很多种，比如傅里叶变换、小波变换、快速傅里叶变换、匹配追踪等等，本文用了匹配追踪算法对信号进行了稀疏分解，还有傅里叶变换。经过这两种方法的比较，这两种方法相比较而言，匹配追踪算法相对要简单一点，残差比较小，也就是说，匹配追踪算法的精确度比较高，得出的信号稀疏表示更为准确。匹配追踪算法的能量分配是这样的，除了几个非零的值以外，其他值都为零，用这些非零值来表示的信号，就要更加准确明了。

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附录A傅里叶变换及MP算法closeall;%先关闭之前的信息fs=10000;%设定采样频率N=1024;%采样点数n=0:N-1;t=n/fs;f1=100;f2=300;%设定正弦信号频率x1=sin(2*pi*f1*t);%生成正弦信号x1x2=sin(2*pi*f2*t);%生成正弦信号x2figure(1);plot(t,x1);%显示信号1xlabel('时间t');ylabel('x1');title('频率为100的正弦函数x1=sin(x)');figure(2);plot(t,x2);xlabel('时间t');ylabel('x2');title('频率为300的正弦函数x2=sin(x)');x=x1+x2;figure(3);plot(t,x);xlabel('时间t');ylabel('x1');title('y=sin(x),x=x1+x2');figure(4);x3=fft(x,N);plot(t,abs(x3))xlabel('时间t');ylabel('x1');title('叠加信号傅里叶变换结果');figure(5);N=1000*N;x4=fft(x,N);plot(abs(x4))MP算法function[sols,iters,activationHist]=SolveMP(A,y,N,maxIters,lambdaStop,solFreq,verbose,OptTol)%SolveMP:MatchingPursuitifnargin<8,OptTol=1e-5;endifnargin<7,verbose=0;endifnargin<6,solFreq=0;endifnargin<5,lambdaStop=0;endifnargin<4,maxIters=100*length(y);endexplicitA=~(ischar(A)||isa(A,'function_handle'));n=length(y);%Initializex=zeros(N,1);k=1;activeSet=[];sols=[];res=y;normy=norm(y);resnorm=normy;done=0;while~doneif(explicitA)corr=A