分布列 新高考 数学一轮复习专项提升精讲精练 （含答案解析）

8.3分布列（精练）（提升版）题组一题组一超几何分布1.（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）.【解析】（1）由条件可知，，，，所以的分布列，如下表，（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.2.（2022·广东汕头·二模）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）【解析】（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则．（II）由题意所有可能的取值为：，，，.；；；．所以随机变量的分布列为1234随机变量的均值为．3．（2022·湖南永州·三模）某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：摸取到的红球个数234中奖等级三等奖二等奖一等奖(1)求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；(2)若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金20元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】(1)解：设一次摸球有奖活动中中奖为事件，则事件包含的基本事件有：,

基本事件总数为：，∴∴游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率为.(2)解：设游客在一次摸球有奖活动中获得的奖金为，可以取0，15，20，200，故的分布列为01520200的数学期望由于一次摸球有奖活动中支付给游客奖金的均值，所以游乐场可获利，故此次摸球有奖活动合理.题组二题组二二项分布1．（2022·广东汕头·一模）足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望.(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为，乙队每名球员射进点球的概率为.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.【答案】(1)分布列见解析，期望为；(2).【解析】(1)依题意，，的可能取值为：0,1,2,3，；.X的分布列为：X0123P.(2)记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A.依题意知：在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数比为:“甲VS乙：3:0”记为事件，或“甲VS乙：3:1”记为事件，则，且与互斥.依题意有：，，.2．（2022·广东茂名·一模）为了增强学生体质，茂名某中学的体育部计划开展乒乓球比赛，为了解学生对乒乓球运动的兴趣，从该校一年级学生中随机抽取了200人进行调查，男女人数相同，其中女生对乒乓球运动有兴趣的占80%，而男生有15人表示对乒乓球运动没有兴趣．(1)完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男女合计(2)为了提高同学们对比赛的参与度，比赛分两个阶段进行.第一阶段的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛采取三局二胜制，然后由积分的多少选出进入第二阶段比赛的同学，每场积分规则如下：比赛中以取胜的同学积3分，负的同学积0分；以取胜的同学积2分，负的同学积1分.其中，小强同学和小明同学的比赛倍受关注，设每局小强同学取胜的概率为，记小强同学所得积分为，求的分布列和期望.附表：P（K2≥k0）0.500.400.250.1500.1000.050k00.4550.7801.3232.0722.7063.841【答案】(1)表格见解析，没有；分布列见解析，.【解析】(1)由题意得到如下的2×2列联表，有兴趣没兴趣合计男8515100女8020100合计16535200，由表格得到，所以没有90%的把握认为“对乒乓球运动是否有兴趣与性别有关”.(2)由题意，知，；；；，所以的分布为0123所以期望.题组三题组三独立事件1．（2022·广东·一模）小王每天17：00—18：00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球、游泳三种.已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表：前一天当天篮球羽毛球游泳篮球0.50.20.3羽毛球0.30.10.6游泳0.30.60.1(1)已知小王第一天打羽毛球，则他第三天做哪项运动的可能性最大？(2)已知小王参加三种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：运动项目篮球羽毛球游泳能量消耗/卡500400600求小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数的分布列和期望.【答案】(1)第三天打羽毛球的可能性最大(2)分布列见解析，期望为1428卡【解析】(1)用A，B，C分别表示篮球，羽毛球，游泳三种运动项目，用，，分别表示第n天小王进行A，B，C三种运动项目的概率.因为小王第一天打羽毛球，所以第2天小王做三项运动的概率分别为，，.第3天小王做三项运动的概率分别为，，，所以小王第三天打羽毛球的可能性最大.(2)小王从第一天打羽毛球开始，前三天的运动项目安排有：BAA，BAB，BAC，BBA，BBB、BBC、BCA，BCB、BCC共9种，运动能量消耗总数用X表示，有1200，1300，1400，1500，1600共5种可能，，，，，，所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的分布列为X12001300140015001600P0.010.090.570.270.06能量消耗总数X的期望（卡）所以小王从第一天打羽毛球开始，前三天参加体育运动能量消耗总数X的期望为1428卡.2（2022·广东韶关·一模）在某校开展的知识竞赛活动中，共有三道题，答对分别得2分､2分､4分，答错不得分.已知甲同学答对问题的概率分别为，乙同学答对问题的概率均为，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.【答案】(1)(2)乙【解析】(1)设甲同学三道题都答对的事件为,则，所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.(2)设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，则,,,,,所以的概率分布列为：02468所以设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分,,,,,所以的概率分布列为：02468所以,所以，所以乙的得分能力更强.3．（2022·广东茂名·二模）某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为．乙答对每道题目的概率为，且两人各道题目是否回答正确相互独立．(1)求乙同学得100分的概率；(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)；(2)分布列见解析，.【解析】(1)由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，所以乙同学得100分的概率为.(2)由题意，甲同学的累计得分可能值为，；；；；；分布列如下：050100150200所以期望.题组四题组四条件概率1．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，再从乙罐中随机取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则下列说法错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为甲罐中有3个红球、2个黑球，所以，故选项A正确；因为，所以，故选项B正确；因为，故选项C错误；因为，所以，故选项D正确.故选：C.2．（2022·东城模拟）若某地区60岁及以上人群的新冠疫苗全程（两针）接种率为60%，加强免疫接种（第三针）的接种率为36%，则在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为（）A．0.6 B．0.375 C．0.36 D．0.216【答案】A【解析】设事件为抽取的一人完成新冠疫苗全程接种，事件为抽取的一人完成加强免疫接种，所以，，所以在该地区完成新冠疫苗全程接种的60岁及以上人群中随机抽取一人，此人完成了加强免疫接种的概率为.故答案为：A3．（2022·宁德模拟）从0，1，2，…，9这十个数字中随机抽取3个不同的数字，记A为事件：“恰好抽的是2，4，6”，记B为事件：“恰好抽取的是6，7，8”，记C为事件：“抽取的数字里含有6”.则下列说法正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题知，从10个数中随机的抽取3个数，共有种可能情况，对于A选项，“恰好抽的是2，4，6”和“恰好抽取的是6，7，8”为互斥事件，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，由于，故由条件概率公式得，D选项正确.故答案为：D4．（2022·凉山模拟）设A，是两个事件，且发生A必定发生，，给出下列各式，其中正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】发生必定发生，（A），（B），A，D不符合题意，，B不符合题意，，C符合题意．故答案为：C．5．（2022·淄博模拟）（多选）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（）A．事件与事件相互独立B．C．D．【答案】B,D【解析】由题意，，，先发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则，先发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则，先发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则，所以，B符合题意；，，，C不符合题意；则，，，A不符合题意；，D符合题意.故答案为：BD6．（2022·江阴模拟）已知随机事件M，N，，则的值为．【答案】【解析】依题意得，所以故．故答案为：．7．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知随机事件M，N，，则的值为________．【答案】【解析】依题意得，所以故．故答案为：．8．（2022·甘肃·高台县第一中学高三开学考试（理））甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.①事件，相互独立；②；③；④；⑤．【答案】③④⑤【解析】依题意，，和是两两互斥事件，，，又，①②错误；又，，，③④正确；，⑤正确；故答案为：③④⑤.题组五题组五正态分布1．（2022·滨州二模）设随机变量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，根据正态曲线的对称性可知，故不是的充分条件；反之，若，由对称性可知，故是的必要条件；故是的必要不充分条件，故答案为：B2．（2022·东北三省模拟）已知随机变量，下列表达式正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，因此，，因此B、D不正确，C符合题意，又因为，所以A不正确，故答案为：C3．（2022·厦门模拟）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（）（附：若，则，，）A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014【答案】B【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则，所以，，由题意，，且，，因为，所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为，故答案为：B.4．（2021·河南模拟）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（）参考数据：若，则