高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件

第九章专题第九章专题1A、充分但不必要条件B、充分必要条件C、必要但不充分条件D、既非充分也非必要条件1.函数在点

沿任意方向导数存在，是函数在点可微的：选择题A、充分但不必要条件1.函数22.函数在点的偏导数连续，是函数在点A、充分条件B、充要条件C、必要条件D、既非充分也非必要条件可微的：2.函数33.函数在点可微，则函数在点A、连续B、偏导数存在C、偏导数连续D、有定义处结论不一定成立的是：3.函数在4A、无定义B、无极限C、有极限但不连续D、连续A、无定义B、无极限C、有极限但不连续D、连续5高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件6高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件71.曲线

在点（2，4，5）处的切线与x轴所夹锐角=

填空题–1/61.曲线8–5–598.设u=x+xy+xyz在点(1,2,0)的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向

.9.曲面xy+yz+xz=1在点(3,-1,2)处的法线方程为

.(3,1,2)8.设u=x+xy+xyz在点(1,2,0)的所有方向导数10解:解:11解:解:12解:解:13

x.x.14练习.已知f(s,t)具有连续的偏导数，且,方程

确定z是x,y的函数，试求。z练习.已知f(s,t)具有连续的偏导数，且15解:方程组两边对x求导,得(2)式–xy(1)式,得即(2)式–xz(1)式,得即解:方程组两边对x求导,得(2)式–xy(1)式,得16高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件17高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件18高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件199.写出椭球面在椭球面上的点(x0,y0,z0)处的切平面方程。10.写出球面

在球面上的点(x0,y0,z0)处的切平面方程。9.写出椭球面20第十章专题第十章专题21高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件22高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件233.交换积分次序，3.交换积分次序，24242425高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件26解:区域D可表示为:y/2xy,0y2.则解:区域D可表示为:y/2xy,0y2.则27解:积分区域D(见图):1x2,所以,解:积分区域D(见图):1x2,所以,28解:所求立体的体积V为:其中D为由直线x=0,y=0,x+y=1所围成的平面区域.解:所求立体的体积V为:其中D为由直线x=0,y=0,29高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件30解:由极坐标得,则F(t)=2ecostt所以,解:由极坐标得,则F(t)=2ecos3110.计算10.计算32解:用柱坐标,则为:02,0r1,rz1.所以解:用柱坐标,则为:02,0r1,33

解:两曲面的交线为x2+y2=4,故空间区域在柱面坐标系中表示为:02,0r2,rz解:两曲面的交线为x2+y2=4,故空间区34解:用球坐标计算.积分区域V:所以,解:用球坐标计算.积分区域V:所以,35解:用球坐标.:02,0

,

r

4.=42=8.解:用球坐标.:02,036第十一章专题第十一章专题37高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件38高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件391.设L为圆周x2+y2=4,则对弧长的曲线积分001.设L为圆周x2+y2=4,则对弧长的曲线积分0040高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件412V7.设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中部分，曲线积分2V7.设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中部分，曲线42解:由于P=exsiny–my,Q=excosy–m,则(常数).补曲线L0:y=0,从点O(0,0)到A(a,0)一段,与曲线L一起构成封闭曲线L+L0,所围成区域D为半径为a/2的半圆,其由格林公式得:面积为a2/8.而所以A(a,0)O解:由于P=exsiny–my,Q=excosy–m,432、

解:由于P

=

ax+by,Q

=

mx+ny在xoy平面内的一阶偏导数连续,且则由格林公式得:=(m–b)t2.(其中D为圆周x2+y2=t2

围成的区域)从而,所证极限式成立.2、解:由于P=ax+by,Q=44A(2,0)O-L解:由于P=x–3y+4,Q=3y+x–5,则=1–(–3)=4(常数).补曲线L0:y=0,从点O(0,0)到A(2,0)一段,与曲线–L一起构成封闭曲线–L+L0,所围成区域D为半径为1的半圆,其面积由格林公式得:为/2.而所以A(2,0)O-L解:由于P=x–3y+4,Q=3y45证明:由于简单闭曲线L不通过y轴,则

此式就是由逆时针方向的简单闭曲线L围成的区域的面积.因此结论得证.证明:由于简单闭曲线L不通过y轴,则46解:曲线L的参数方程为:所以解:曲线L的参数方程为:所以47解:x

=

a(–sint

+

sint

+

t

cost)=at

cost,y

=

a(cost

–

cost

+

t

sint)=at

sint,x2+y2=a2(1

+

t2).所以,解:x=a(–sint+sint+tcos48

证明:由条件知P=xf(x2+y2),Q=yf(x2+y2)的一阶偏导连续,且=yf(x2+y2)2x–xf(x2+y2)2y=0.此曲线积分与路径无关,因此证明:由条件知P=xf(x2+y2),Q4911、解:设由于曲线积分与路径无关,则因此(x)满足一阶线性微分方程,=12、设f(1)=0,确定f(x),使为某二元函数u(x,y)的全微分。11、解:设由于曲线积分与路径无关,则因此(x)5013、解:设由于曲线积分与路径无关,则因此f(x)满足一阶线性微分方程,=13、解:设由于曲线积分与路径无关,则因此f(x)51高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件5217、

证明:由两类曲线积分的联系及对弧长曲线积分的性质,得而|(P,Q)||(cos,cos)|=1,所以17、证明:由两类曲线积分的联系及对弧长曲53解:把分成上半1和下半2两部分,即则1,2在xoy面上的投影区域Dxy:x2+y21,x0,y0.令1–r2=u,则1–u=r2,

–du=2rdr.r=0时,u=1,

r=1时,u=0.解:把分成上半1和下半2两部分,即则1,54

解:曲面在xoy面上的投影区域D为:x2+y2R2.由于曲面取下侧,所以解:曲面在xoy面上的投影区域D为:x255解:设P=x,Q=y,R=z,则由高斯公式得:用球坐标.:02,0

,0

r

R.所以解:设P=x,Q=y,R=z,则由高斯公式得:用球5622.(理工做)计算曲面积分

，其中为下半球面的上侧。22.(理工做)计算曲面积分57第十二章专题第十二章专题58高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件59高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件605.设a为常数，则级数A、发散B、绝对收敛C、条件收敛D、收敛性与a的取值有关6.设幂级数的收敛半径（A）2（B）1/3（C）1/2（D）15.设a为常数，则级数A、发散B、绝对收敛6.614.设幂级数

的和函数为

。21/24.设幂级数625.设周期函数在一个周期内的表达式为则它的傅立叶级数在x=处收敛于

.1/25.设周期函数在一个周期内的表达式为1/263高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件641、解:由则该幂级数的收敛半径为2.当x=2时,发散;当x=–2时,收敛.则该幂级数的收敛域为[–2,2).1、解:由则该幂级数的收敛半径为2.当x=2时,发散;65设注意到s(0)=0,所以x[–2,2).设注意到s(0)=0,所以x[–2,2).662、解:|

3x

|<1.故该幂级数收敛域为:其和函数为:3、2、解:|3x|<1.故该幂级数收敛域为:其和函数674、5.设幂级数的收敛半径、收敛域及和函数4、5.设幂级数的收敛半径、688、8、69第七章专题第七章专题701.微分方程2.微分方程1.微分方程2.微分方程71高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件72高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件73

y=c1x2+c2ex+3y=c1x2+c2ex+3746.已知y=C1e2x+C2e-x是某个微分方程的通解，则该微分方程为

。y=c1e2x+c2e3xy=C1e2x+C2e-x6.已知y=C1e2x+C2e-x是某个微分方程的通解，75高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件762、求微分方程y+4y=cos2x的通解.解:

特征方程为:r2+

4

=

0,特征根为r1,2=

2i,所以,对应齐次方程的通解为:Y

=

c1cos

2x

+

c2sin

2x,

由f(x)=cos2x,得=0,=2,即+i

=

2i是单特征根,Pl(x)

=

1,Pn(x)

=

0,所以原方程有特解:y*=

x[Acos

2x

+

Bsin

2x]而y*=

[Acos

2x

+

Bsin

2x]

+

x[–2Asin

2x

+

2Bcos

2x],y*=

4[–Asin

2x

+

Bcos

2x]

+

4x[–Acos

2x

–

Bsin

2x]代入原方程得:所以,比较得–4A

=

0,4B

=

1,从而,原方程的特解为:y*=

xsin2x,原非齐次方程通解为:

y

=

c1cos

2x

+

c2sin

2x+

xsin2x

.2、求微分方程y+4y=cos2x的通解.解:特征方773、解:

特征方程为:r2+

9

=

0,特征根为r1,2=

3i,所以,对应齐次方程的通解为:Y

=

c1cos

3x

+

c2sin

3x,

由f(x)=18cos3x–30sin3x,得=0,=3,即+i

=

3i是单特征根,Pl(x)

=

18,Pn(x)

=

–30,所以原方程有特解:y*=

x[Acos

3x

+

Bsin

3x]而y*=

[Acos

3x

+

Bsin

3x]

+

x[–3Asin

3x

+

3Bcos

3x],y*=

6[–Asin

3x

+

Bcos

3x]

+

9x[–Acos

3x

–

Bsin

3x]代入原方程得比较得A

=

5,B

=

3,从而,原方程的特解为:y*=5xcos3x+3xsin3x,原非齐次方程通解为:

y

=

c1cos

3x

+

c2sin

3x+5xcos3x+3xsin3x

.3、解:特征方程为:r2+9=0,特征根为r78高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件79高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件80第九章专题第九章专题81A、充分但不必要条件B、充分必要条件C、必要但不充分条件D、既非充分也非必要条件1.函数在点

沿任意方向导数存在，是函数在点可微的：选择题A、充分但不必要条件1.函数822.函数在点的偏导数连续，是函数在点A、充分条件B、充要条件C、必要条件D、既非充分也非必要条件可微的：2.函数833.函数在点可微，则函数在点A、连续B、偏导数存在C、偏导数连续D、有定义处结论不一定成立的是：3.函数在84A、无定义B、无极限C、有极限但不连续D、连续A、无定义B、无极限C、有极限但不连续D、连续85高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件86高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件871.曲线

在点（2，4，5）处的切线与x轴所夹锐角=

填空题–1/61.曲线88–5–5898.设u=x+xy+xyz在点(1,2,0)的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向

.9.曲面xy+yz+xz=1在点(3,-1,2)处的法线方程为

.(3,1,2)8.设u=x+xy+xyz在点(1,2,0)的所有方向导数90解:解:91解:解:92解:解:93

x.x.94练习.已知f(s,t)具有连续的偏导数，且,方程

确定z是x,y的函数，试求。z练习.已知f(s,t)具有连续的偏导数，且95解:方程组两边对x求导,得(2)式–xy(1)式,得即(2)式–xz(1)式,得即解:方程组两边对x求导,得(2)式–xy(1)式,得96高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件97高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件98高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件999.写出椭球面在椭球面上的点(x0,y0,z0)处的切平面方程。10.写出球面

在球面上的点(x0,y0,z0)处的切平面方程。9.写出椭球面100第十章专题第十章专题101高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件102高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件1033.交换积分次序，3.交换积分次序，1042424105高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件106解:区域D可表示为:y/2xy,0y2.则解:区域D可表示为:y/2xy,0y2.则107解:积分区域D(见图):1x2,所以,解:积分区域D(见图):1x2,所以,108解:所求立体的体积V为:其中D为由直线x=0,y=0,x+y=1所围成的平面区域.解:所求立体的体积V为:其中D为由直线x=0,y=0,109高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件110解:由极坐标得,则F(t)=2ecostt所以,解:由极坐标得,则F(t)=2ecos11110.计算10.计算112解:用柱坐标,则为:02,0r1,rz1.所以解:用柱坐标,则为:02,0r1,113

解:两曲面的交线为x2+y2=4,故空间区域在柱面坐标系中表示为:02,0r2,rz解:两曲面的交线为x2+y2=4,故空间区114解:用球坐标计算.积分区域V:所以,解:用球坐标计算.积分区域V:所以,115解:用球坐标.:02,0

,

r

4.=42=8.解:用球坐标.:02,0116第十一章专题第十一章专题117高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件118高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件1191.设L为圆周x2+y2=4,则对弧长的曲线积分001.设L为圆周x2+y2=4,则对弧长的曲线积分00120高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件1212V7.设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中部分，曲线积分2V7.设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中部分，曲线122解:由于P=exsiny–my,Q=excosy–m,则(常数).补曲线L0:y=0,从点O(0,0)到A(a,0)一段,与曲线L一起构成封闭曲线L+L0,所围成区域D为半径为a/2的半圆,其由格林公式得:面积为a2/8.而所以A(a,0)O解:由于P=exsiny–my,Q=excosy–m,1232、

解:由于P

=

ax+by,Q

=

mx+ny在xoy平面内的一阶偏导数连续,且则由格林公式得:=(m–b)t2.(其中D为圆周x2+y2=t2

围成的区域)从而,所证极限式成立.2、解:由于P=ax+by,Q=124A(2,0)O-L解:由于P=x–3y+4,Q=3y+x–5,则=1–(–3)=4(常数).补曲线L0:y=0,从点O(0,0)到A(2,0)一段,与曲线–L一起构成封闭曲线–L+L0,所围成区域D为半径为1的半圆,其面积由格林公式得:为/2.而所以A(2,0)O-L解:由于P=x–3y+4,Q=3y125证明:由于简单闭曲线L不通过y轴,则

此式就是由逆时针方向的简单闭曲线L围成的区域的面积.因此结论得证.证明:由于简单闭曲线L不通过y轴,则126解:曲线L的参数方程为:所以解:曲线L的参数方程为:所以127解:x

=

a(–sint

+

sint

+

t

cost)=at

cost,y

=

a(cost

–

cost

+

t

sint)=at

sint,x2+y2=a2(1

+

t2).所以,解:x=a(–sint+sint+tcos128

证明:由条件知P=xf(x2+y2),Q=yf(x2+y2)的一阶偏导连续,且=yf(x2+y2)2x–xf(x2+y2)2y=0.此曲线积分与路径无关,因此证明:由条件知P=xf(x2+y2),Q12911、解:设由于曲线积分与路径无关,则因此(x)满足一阶线性微分方程,=12、设f(1)=0,确定f(x),使为某二元函数u(x,y)的全微分。11、解:设由于曲线积分与路径无关,则因此(x)13013、解:设由于曲线积分与路径无关,则因此f(x)满足一阶线性微分方程,=13、解:设由于曲线积分与路径无关,则因此f(x)131高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件13217、

证明:由两类曲线积分的联系及对弧长曲线积分的性质,得而|(P,Q)||(cos,cos)|=1,所以17、证明:由两类曲线积分的联系及对弧长曲133解:把分成上半1和下半2两部分,即则1,2在xoy面上的投影区域Dxy:x2+y21,x0,y0.令1–r2=u,则1–u=r2,

–du=2rdr.r=0时,u=1,

r=1时,u=0.解:把分成上半1和下半2两部分,即则1,134

解:曲面在xoy面上的投影区域D为:x2+y2R2.由于曲面取下侧,所以解:曲面在xoy面上的投影区域D为:x2135解:设P=x,Q=y,R=z,则由高斯公式得:用球坐标.:02,0

,0

r

R.所以解:设P=x,Q=y,R=z,则由高斯公式得:用球13622.(理工做)计算曲面积分

，其中为下半球面的上侧。22.(理工做)计算曲面积分137第十二章专题第十二章专题138高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件139高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件1405.设a为常数，则级数A、发散B、绝对收敛C、条件收敛D、收敛性与a的取值有关6.设幂级数的收敛半径（A）2（B）1/3（C）1/2（D）15.设a为常数，则级数A、发散B、绝对收敛6.1414.设幂级数

的和函数为

。21/24.设幂级数1425.设周期函数在一个周期内的表达式为则它的傅立叶级数在x=处收敛于

.1/25.设周期函数在一个周期内的表达式为1/2143高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件1441、解:由则该幂级数的收敛半径为2.当x=2时,发散;当x=–2时,收敛.则该幂级数的收敛域为[–2,2).1、解:由则该幂级数的收敛半径为2.当x=2时,发散;145设注意到s(0)=0,所以x[–2,2).设注意到s(0)=0,所以x[–2,2).1462、解:|

3x

|<1.故该幂级数收敛域为:其和函数为:3、2、解:|3x|<1.故该幂级数收敛域为:其和函数1474、5.设幂级数的收敛半径、收敛域及和函数4、5.设幂级数的收敛半径、1488、8、149第七章专题第七章专题1501.微分方程2.微分方程1.微分方程2.微分方程151高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件152高数下册复习专题-(带答案)教学内容课件153

y=c1x2+c2ex+3y=c1x2+c2ex+31546.已知y=C1e2x+C2e-x是某个微分方程的通解，则该微分方程为

。y=c1e2x+c2e3xy=C1e2x+C2e-x6.已知y=C1e2x+C2e-x是某个微分方程的通解，155高数下册复习专题-(