精讲精练因式分解方法分类总结培优含答案

因式分解•提公因式法【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】把下列各式因式分解(1) -a^Xm+2+abxm+l-acxm-aXm+3(2)a(a—b)3+2a2(b—a)2—2ab(b—a)分析：(1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出

“一”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“一”号后,多项式的各项都要变号。解：-a^xm+2+abxm+i-acxm-axm+3=-axm(ax2-bx+c+x^)(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，女口：当n为自然数时(a—b)2n=(b— ;(a—b)2n-l——(b—a)2n-l,是在因式分解过程中常用的因式变换。a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a)利用提公因式法简化计算过程/rri斗丰曾987 987 987 987例：VT#123x +268x +456x +521x 1368 1368 1368 1368分析：算式中每一项都含有兰L,可以把它看成公因式提1368取出来，再算出结果。解：原式=^1x(123+268+456+521)1368在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组囂打二求代数式例：不解方程组囂打二求代数式(2x+y)(2x—3j)+3x(2x+y)的值。分析：不要求解方程组，我们可以把2x+y和5x-3y看成整体，它们的值分别是3和_2,观察代数式，发现每一项都含有2x+y，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x+y和5x-3y的式子’即可求出结果。解 :(2x+j)(2x—3y)+3x(2x+y)二(2x+j)(2x—3y+3x)二(2x+j)(5x—3j)把2x+y和5x-3j分别为3和一2带入上式，求得代数式的值是—6。在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n,3“+2—2“+2+3“-2“一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。©对任意自然数n,10x3“和5x2“都是10的倍数。3"+2-2"+2+3"-2"一定是10的倍数5、 中考点拨：例lo因式分解3x(x-2)-(2-x)解：3x(x-2)-(2-x)说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。例2.分解因式：4q(l-p)3+2(p-1)2解：4q(l-p)3+2(p-1)2说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：例］1.计算：2000x20012001-2001x20002000精析与解答：设2000=0，贝U2001=q+1说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000.2001重复出现，又有2001=2000+1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例2.已知：+bx+c(b、c为整数)是*4+6x2+25及3x4+4x2+28%+5的公因式，求b、c的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比较麻烦。注意到X2+bx+c是30+6口+25)及3x4+4x2+28%+5的因式。因而也是-(3心+4口+28兀+5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。解：0%2+加+c是3(x4+6x2+25)及3x4+4x2+28%+5的公因式也是多项式3(X4+6x2+25)-(3x4+4x2+28x+5)的二次因式rftl3(x4+6x2+25)—(3x4+4x2+28x+5)=14(x2—2兀+5)©b>c为整数得：%2+bx+c= —2x+5说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x2—28x+70‘从而间便求得+bx+c°

例3.设x为整数，试判断10+5x+x(x+2)是质数还是合数，请说明理由。解：10+5x+x(x+2)0x+2,5+兀都是大于1的自然数/.(x+2)(5+x)是合数说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。［实战模拟］分解因式：A.2iooB.—210C._2A.2iooB.—210C._2D.(1)—4肌2^3+12加3〃2—2mn(2)a^xn+2+abxn+\-acxn-adxn-i(n为止整数)(3)a(a一b)3+2°2@—°)2-2ab(b-(2)22.计算：(_2)ii+(—2)io的结果是( )已知x、y都是正整数，且x（x-y）-j（j-x）=12?求x、yo证明：817-279-913能被45整除。化间：1+兀+兀（1+劝+兀（1+兀）2+…兀（1+兀）1995，且当X=0时,求原式的值。试题答案分析与解答:(1)—4加2〃3+12加3〃2—2mn(2)a^xn+2+abxn+i-acxn-adxn-i(3)原式二a(a一b)3+2°2(a一b)2一2ab(a-Z?)2汪忌:结果多项因式要化简，同时要分解彻底。2.B0x(x-j)-y(y—x)=120x.y是正整数.•.12分解成1x12,2x6,3x4又x-y与x+y奇偶性相冋，且x—y<x+y说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。证明：0817-279-913817-279-913能被45整除解：逐次分解：原式=(1+x)(l+X)+X(1+x)2+•••兀(1+X)1995...当X=O时，原式=1因式分解•公式法【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式 Q2-匕2=(a+b)(a-b)完全平方公式 °2±2ab+Z?2=(a±b)2立方和、立方差公式°3±Z?3=(a±b)•(°2jiab+b^)补充：欧拉公式：特别地：(1)当°+b+c=O时，有(23+/?3+c3=3abc(2)当c=0时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】把a2+2a-b2-2b分解因式的结果是( )A.(a-b)(a+2)(Z?+2) B.(a-b)(a+b+2)C.(a-Z?)(a+b)+2 D.(°2—2b)(Zn—2a)分 析 ：ci2+2a—Z?2—2b—°2+2a+1—Z?2—2b—1—(a+1)2—(Z?+1)2°再利用平方差公式进行分解，最后得到(a—方)(°+方+2)，故选择氏说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式2x3-x2+m有一个因式是2兀+1，求观的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出观的值。

则2X3解：根据已知条件'设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b)-X2+m-2x3+(2a+1)x2+(°+2b)x+则2X3TOC\o"1-5"\h\z2a+1=-1 (1)由此可得＜a+2b=0 (2)m=b (3)由(1)得a=_1把°=—1代入(2),得方=J_2把方=J_代入(3),得加=J_22在几何题中的应用。例：已知a、b、c是AABC的二条边，且满足+c2—ab—bc—ac=Q?试判断AABC的形状。分析：因为题中有02、加、一血，考虑到要用完全平方公解:式，首先要把―“转成-2"。所以两边同乘以2,然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。解:0(22+b2+c2-ab-bc-ac=Qs.AABC为等边三角形。在代数证明题中应用

例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为2〃+1,2〃+3（斤为整数）贝U（2〃+3）2—（2〃+1）2由此可见，（2〃+3）2-（2〃+1）2—定是8的倍数。5、中考点拨：例1：因式分解：X3-4厂2二 。角军：X3一4xy2=x（x2一4y2）=x（x+2y）（x一2y）说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例2:分解因式：2%3y+8x2^2+8xy3=角军：2x^y+8兀2y2+8xy3=2xy{x^+4-xy+4y2)=2xy{x+2y)2说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示:例1.例1.已知：a=1—m+Lb=—m+2,c=—m+3?2 2 2

求。2+2ab+Z?2—2ac+C2—2bc的值。用牛：。2+2ab+加—lac+C2-2bc:.原式=(a+b-c)2说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。例2.已矢|3a+b+c=0,a3+Z?3+c3=0,证明:求证：°5+b5+C5=0证明:°3+/?3+C3—3abc=(a+b+c)(a2+加+c2-ab-be-ca)扌巴a+Z?+c=0,q3+/?3+c3=0代入上式,冃T得1abc=0，即a=0或《b=0或《c=0右a=0，贝UZ?=-c‘若b=0或c=0，同理也有05+b5+C5=0说明：利用补充公式确定。，b,c的值，命题得证。例3.若X3+『3=27,Xi-xy+ =9求兀2+y2的值。角军：0X3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=27且兀2-xy+尸=9又兀2-%y+y2=9 (2)两式相减得小=0所以兀2+y2=9说明：按常规需求出兀，y的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。[实战模拟]1. (1)(0+2)2—(3d-1)2解：原式=[@+2)+(3。-r)][(a+2)-(3°-1)]说明：把°+2,3a-1看成整体，利用平方差公式分解。(2)(2) X5(x-2y)+X2(2y-x)解：原式(x-2y)-x2(x-2y)(3)(3)°2(x-y)2+2a(x-y)3+(x-y)4解：原式二(兀一y)2[°2+2a(x-y)+(x—y"]2.已知:x+l=-3，求X4+1的值。X X4解：0(X+1)2=X2+2+—X X23.右a,b,c是二角形的二条边，求证：Q2—tn—c2—2bc<0分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边,因此要证明结论就需要把问题转化为两边差小于第三边求得证明。证明：◎Q2—b2—C2—2bc0a,b,c是三角形三边即a2—b2—C2—2bc<0已知:CD2+CD+l=0，求®2001的值。解®(02+CD+1=0(CD+l)(CD2+CD+1)=0，即w3-1=0已知b,c是不全相等的实数，且abc工0,+Zn+c3=3°bc，试求(1)o+Z?+c的值；(2)a(-+-)+b(-+-)+c(-+-)的值。bccaab分析与解答：(1)由因式分解可知故需考虑°2+b2+c2—ab—be—ca值的情况，(2)所求代数式较复杂，考虑恒等变形。解：(1)0a3+b3+C3二3abc又(E)+/?3+c3—3abc而°2+Z?2+c2-ab-be-ca=^-[(a-Z?)2+(Z?-c)2+(c-a)2]0a,方，c不全相等(2)0abc丰0

•••原式= [«2(Z?+c)+Z?2(c+a)+c2•••原式=Wa+Z?+c=0?艮卩a=-(b+c)原式= [(Z?+C)3-Z?3-C3]原式=说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。因式分解-分组分解法【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】在数学计算、化简、证明题中的应用例1.把多项式2a(a2+a+1)+a4+a2+1分解因式，所得的结果为( )分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解:原式=解:原式=2a((a2+a+1)+a4+a2+1故选择c例2.分解因式x5_x4+x3-x2+X-1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把X5_X4+x3和-X2+X-l分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把X5-X4'X3-x2^Dx-1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解法1:解法2：在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、b、c,且满足a>b,a2+c2<b2+2ac证明：以Q、b、C为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明:0证明:0a2+c2<b2+2ac在方程中的应用例：求方程x_y=xy的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y,故可考虑借助因式分解求解用牛：0x-y=xy4、中考点拨例1.分解因式：1-m2-n2+2mn= °解：1-m2-n2+2mn说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例2.分解因式：x2—y2—x+y-解:x2-y2-x+y=(x2-y2)-(x-y)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例3.分解因式：X3+3x2-4x-12= 解:x3+3x2-4x-12=x3-4x+3x2-12说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示：例1.分解因式：m2(n2-1)+4mn-n2+1解：m2(n2-1)+4mn一n2+1说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4nm分成加n和加n,配成完全平方和平方差公式。例2.已矢口：a2+b2=l,c2+d2=l,且ac+bd=0?求&b+cd的值。；^牛：3,b+cd—abx1+cdx1说明：首先要充分利用已知条件a2+b2=Lc2+d2=l中的1(任何数乘以1，其值不变)，其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=O可算出结果。例3.分解因式：x3+2x-3分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当X=1时，它的值为0,这就意味着X—1是X3+2X—3的一个因式，因此变形的目的是凑-1这个因式。解一(拆项)：解二(添项)：说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？［实战模拟】填空题：(1)角牛：原式二(a2-b2)-3(a-b)(2)角牛：原式=(x2-4xy+4y2)-2(x-2y)(3)角牛：原式=1一mn+m2n2一m3n32.已知：a+b+c=O,求a3+a2c—abc+b2c+b3的值。解：原式=(a+b)(a2一ab+b2)+c(a2一ab+b?)说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。3.分解因式：Q5+Q+1解：a5+a+14.已知：X2-y2-Z2=0,A是一个关ix,y,Z的一次多项式，JSP—y3—z3=(x—y)(X—Z)A'试求A的表达式解：0X2_y2_Z2=05.证明：(a+b-2ab)(a+b-2)+(1-ab)2=(a-l)2(b-l)2证明：(a+b-2ab)(a+b-2)+(1-ab)2因式分解•十字相乘法【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式xl+{a+b)x+ab=(x+a)^+b)进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项ax^+bx+c b、c都是整数，且°乂o)来说，如果存在四个整数a,c,a,c满足aa=a,cc=c，并11221212且ac+ac=b那么二次三项式ax+bx+c即1221aa+{ac+ac}x+cc可以分解为(ax+c)Qx+c)。这里要确121221121122定四个常数。，c,。，c，分析和尝试都要比首项系数是1的1122类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】1.在方程、不等式中的应用例1.已知：口―llx+24>0，求x的取值范围。分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解：0%2-11%+24>0例2.如果x4-x3+mx2-2mx-2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求H1的值，并把这个多项式分解因式。分析：应当把□分成X2.X2,而对于常数项-2,可能分解成(-1)x2,或者分解成(-2)x1，由此分为两种情况进行讨论。解：(1)设原式分解为C2+OT—1)C+加+2)，其中&、b为整数，去括号，得：将它与原式的各项系数进行对比，得：角军得：a=—1,b=0,m=1此时，原式=(2+2)(2—X—1)(2)设原式分解为C2+CX-2)C+心+1)，其中C、d为整数，去括号，得：将它与原式的各项系数进行对比，得：角军得：c=0,d=—1,m=—1此时，原式=。2—2)C—X+1)在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为X、y,周长为16cm,且满足x-y-X2+2xy一y2+2=0，求长方形的面积。分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解：0x-y-X2+2xy-y2+2=0x-y-2=0或x-y+l=O又(E)x+y=S解得：=5或卩=35b=3b二4.5・••长方形的面积为15cni2或里cm243、 在代数证明题中的应用例.证明：若4x-j是7的倍数，其中x,y都是整数，则8x2+10xy-3y2是49的倍数。分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。证明一：8x2+10xy一3y2=（2x+一y）V4x-j是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）2（2x+3y）是7的倍数而2与7互质,因此，2x+3y是7的倍数，所以8x2+10xy-3戶是49的倍数。证明二・・・4x-y是7的倍数，设4x-y=7m（Hl是整数）贝Uy=4x—7m又•8x2+lQxy-3y2=（2x+3y）（4x一y）*«*x,Hl是整数，•：屁兀―3%）也是整数所以，8x2+10xy-3y2是49的倍数。4、中考点拨例1.把4兀4戶—5兀2戶—9y2分解因式的结果是: 4x4^2-5x2^2-9y2说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。例2.:因式分解：6x2—7x—5二 解：6x2—7x—5——(2兀+1)6兀一5)说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。5、题型展示例1.若口—戶+mx+5y-6能分解为两个一次因式的积，则m的值为( )A.1B.-1C.+1D.2解：X2-y2+mx+5y-6-(x+y)Q-y)+mx+5y-6-6可分解成(_2)x3或(-3)x2，因此，存在两种情况：由(1)可得：加=1，由(1)可得：m=_l故选择Co说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，

这是一种常用的方法。例2.已知：a>b、c为互不相等的数，且满足G-c）2=4（Z?-a）（c-b）°求证：a—b=b—c证明：&（a-c）2=4（Z?-a）（c-b）说明：抓住已知条件，应用