甘肃省兰州市2010年高三第一次诊断考试理科数学试卷

甘肃省兰州市2010年高三诊断考试试卷数学（理科）注意事项：1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。2．本卷满分150分，考试用时120分钟。3．答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么球的表面积公式其中R表示球的半径球的体积公式其中R表示球的半径如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生K次的概率第1卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合，A．B.{O)c.{-1)D.2-当O<a<l时，在同一坐标系中，函数的图象是3．已知，向量与向量的夹角是，则x的值为A．±3B．C．±9D．34．己知直线，平面，有以下命题:①.且，则②且则③则④若平面a内不共线的三点到平面的距离相等，则则正确命题有A.O个B．1个C．2个D．3个5．“p或q是假命题”是“非p为真命题”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件6．若称为n个正数，则的“均倒数”，数列的各项均为正，且其前n项的“均倒数”为，则数列的通项公式为A.2n-1B．4n-3C．4n-1D．4n-57．某位高三学生要参加高校自主招生考试，现从6所高校中选择3所报考，其中两所学校的考试时间相同．则该学生不同的报名方法种数是A.12B.15C.16D.208．把一枚骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b．设事件A“方程组只有一组解”，则事件A发生的概率等于A．B．c．D．9．己知在函数图像上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆上，则，的最小正周期为A.IB.2C.3D.410.己知奇函数在为减函数，且，则不等式的解集为A.B．C．D．11．已经点P（-3,1）在双曲线的左准线上，过点P且方向向量为的光线，经直线y=-2反射后通过双曲线的左焦点，则该双曲线的离心率为A．B.C.D.12．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M.若曲线总经过区域M，则实数m的取值范围是A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13。（i为虚数单位）的展开式中含项的系数等于-28，则n=______14．为了解高三学生的数学学习情况，现抽取某班60名学生的数学成绩进行分析，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图（如图）．已知从左到右各长方形高的比为2：3：5：6：3：1，则该班学生数学成绩在(80，100)之间的学生人数是____15．在半径为R的球面上有不同的三点A、B、C，已知A、B、C三点中任意两点的球面距离均为.O为球心，则三棱锥。O一ABC的体积为_______16．如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元∕km、2a万元／km，那么修建这两条公路的总费用最低是_______万元三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分lO分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，已知向量且．(I)若，求实数m的值。(II)若，求△ABC面积的最大值．18．（本小题满分12分）已知在各项不为零的数列中，(I)求数列的通项；(Ⅱ)若数列满足，数列的前n项和为，求．19．（本小题满分12分）在美化校园的植树活动中，某同学共种了6棵树，各棵树的成活与否是相互独立的每棵树成活的概率均为p．已知该同学所种树中有3棵成活的概率为．(I)求p的值；(II)若有3棵或3棵以上的树未成活，则需要补种，求需要补种的概率；(Ⅲ)设为成活树的棵数，求．20．（本小题满分12分）如图．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD上的点，AM与BC所成的角为，AN⊥SC，垂足为点N．(I)求证：SB∥平面ACM；(II)求直线AC与平面SDC所成的角；(Ⅲ)求二面角N-AM-C的大小．21。（本小题满分12分）己知椭圆的离心率，过点A(O,-b)和B（a，o）的直线到原点的距离为．(I)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线y=kx+2(k≠o)与椭圆交于C、D两点．问：是否存在常数k，使得以CD为直径的圆过坐标原点？若存在，求出k，若不存在，请说明理由．22。（本小题满分12分）已知(I)求函数的单调区间；(Ⅱ)求函数上的最小值；(Ⅲ)对一切的恒成立，求实数a的取值范围2010高三诊断试题数学（理科）参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。）题号123456789101112答案CCDBABCCDDAD12．解析：当且时，曲线为椭圆，则不经过区域；当时，曲线为以原点为圆心，1为半径的圆，不经过区域当时，，不经过区域x=2y=1(4,1)x=2y=1(4,1)x+2y-6=0(2,2)总经过区域，则有解得故离心率和解得故离心率根据双曲线的性质可得：即有所以二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13．814．3315．16．．解析：依题意知曲线是以、为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线为轴、的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为，点的坐标为（3，）．则修建这条公路的总费用=,设点、在双曲线右准线上射影分别为点、，根据双曲线的定义有，所以当且仅当点为曲线与线段的交点时取等号，故的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．解:(Ⅰ)由∥得，所以又为锐角∴，…………3分而可以变形为即，所以 ……………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知,又所以即故当且仅当时，面积的最大值是……………10分18．解：（Ⅰ）依题意，，故可将整理得：………３分所以即…５分,上式也成立，所以…６分（Ⅱ）∵∴…９分∴…10分∴…12分19．解：（Ⅰ）∵各棵树成活与否是相互独立的，每棵树成活的概率均为∴ …………2分解得…………4分（Ⅱ）记“需要补种”为事件，则包括有：颗未成活、：有颗未成活、：有颗未成活、：有颗未成活共四种情况…………5分，，…………7分∴…………8分（Ⅲ）由题意知，服从二项分布…………10分∴…………12分或的分布列为0123456∴20．解法一：依题意有∥，所以所以点是的中点，且…………３分（Ⅰ）证明：连结交于，连结…………４分是正方形，∴是的中点是的中点，∴是的中位线∴…………５分又∵平面，平面，∴平面．…………６分（Ⅱ）由题可得，平面，所以有，又∴平面，∴为直线与平面所成的角…………８分在中，，∴，即直线于平面所成的角为…………９分（Ⅲ）∵平面∴为二面角的一个平面角…10分且，又∴平面∴.在中，∽∴∴∴二面角的大小为…………12分解法二：依题意有∥，所以所以点是的中点，且如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由故设则…………3分DSABCDSABCMN ∵∴∴∥∴平面…………6分（Ⅱ）由题可得，平面，所以有又∴平面∴为平面的一个法向量∴∴∴直线于平面所成的角为…………９分（Ⅲ）∵平面∴，又∴平面∴为平面的一个法向量。设平面的一个法向量为，则即，令，则即∴∴二面角的大小为…………１２分21．解：（Ⅰ）直线方程为：依题意解得…………5分∴椭圆方程为…………6分（Ⅱ）假设存在这样的，由得…………8分则①设，、，，则②当且仅当，即时，以为直径的圆过原点，即…………10分而．∴．③将②式代入③整理解得经验证，，使①成立综上