高考数学二轮专题讲座专题四 三角函数与复数

专题四三角函数与复数【考点聚焦】考点1：函数y=Asin(的图象与函数y=sinx图象的关系以及根据图象写出函数的解析式考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；考点4：和、差、倍、半、、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式；考点5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理；考点6、复数的基本概念及运算.【自我检测】同角三角函数基本关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿.诱导公式是指α的三角函数与－α，180º,90º,270º,360º－α，k360º+α(k∈Z)三角函数之间关系：奇变偶不变，符号看象限.两角和与差的三角函数：sin(αβ)=_______________________;cos(αβ)=________________________;tan(αβ)=_________________________.二倍角公式：sin2α=__________;cos2α=_________=__________=___________tan2α=_____________.半角公式：sin=_______，cos=_______,tan=________=________=______.万能公式sinα=_____________,cosα=_____________,tanα=_____________.三角函数的图象与性质：y=sinxy=cosxy=tanx定义域值域图象单调性奇偶性周期性【重点难点热点】问题1：三角函数的图象问题关于三角函数的图象问题，要掌握函数图象的平移变化、压缩变化，重点要掌握函数y=Asin(的图象与函数y=sinx图象的关系，注意先平移后伸缩与先伸缩后平移是不同的，要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式.例1．（05天津理）要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点的A、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度B、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度思路点拨：将化为，再进行变换.解答：变换1：先将的图象向左平移个单位，得到的图象，再将的图象的横坐标缩短到原来的2倍得到.变换2：先将的图象的横坐标缩短到原来的2倍，得到的图象，再将的图象向左平移个单位，得到.由上可得，应选C.演变1：函数的部分图象如图，则（） A． B． C．D．点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,10坐标代入即可.问题2：三角函数的求值问题关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,合理选择公式,正确选择所求三角函数值的符号例2：已知.（I）求sinx－cosx的值；（Ⅱ）求的值.思路分析：将sinx-cosx=平方，求出sinxcosx的值，进而求出（sinx-cosx）2，然后由角的范围确定sinx-cosx的符号.解法一：（Ⅰ）由即又故（Ⅱ）①②解法二：（Ⅰ）联立方程①②由①得将其代入②，整理得故（Ⅱ）点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.演变1：已知.点拨与提示：用已知中的角表示所求的角.问题3：三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题有关三角函数的单调性、周期性等问题，通常需要先变形化简，然后求解.例3：设函数图像的一条对称轴是直线.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；（Ⅲ）画出函数在区间上的图像.思路点拨：正弦y=sinx的图象的对称轴为直线，其对称轴与x轴交点的横坐标即是使函数取得最值的x值.解：（Ⅰ）的图像的对称轴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知由题意得所以函数（Ⅲ）由x0y－1010故函数点评：本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.演变3：已知向量.求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.问题4：“拆项”与“添项”的问题“拆项”与“添项”是指在作三角变换时，对角或三角函数可以分别进行面或添项处理.例4：（1）求的值；（2）已知：，求：的值.思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如（1）中的含有角7º、15º、8º，发现它们之间的关系是15º＝7º＋8º，故可将7º拆成15º－8º；同理在第（2）题中可以拆成两角差，即.解：（1）＝＝＝tan15º==(2)∵=∴tan()=tan[]＝＝＝点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量.演变4：求的值.点拨与提示：10º＝30º－20º.问题五：复数方程和共轭复数复数方程常见解法是将复数方程转化为实数方程组；关于共轭复数有两个充要条件：①Z∈R，②非零复数y为纯虚数，这两个充要条件是用整体观点处理复数的生要工具.例5：求实数k的值，使方程至少有一个实根.思路分析：已知方程是一元二次方程，系数含有参数，并且方程有一个实根，设出实根，利用复数相等可得出实数方程组，从而得解.解：设是方程的实根，则，即根据复数相等的充要条件得：，消去得k2=8，∴k=点评：如果利用一元二次方程的判别式△＝（k+2i）2－4(2+ki)＝k2－12，要使方程至少有一个实根，只需△≥0，即k≤,k≥，这样的解法是错误的.错误的原因在于：一元二次方程的判别式△＝b2-4ac≥0是实系数一元二次方程有实根的充要条件，不适合于复系数一元二次方程.对于这类虚数系数一元二次方程有实根的常见解法是设实根为，将x＝代入方程，根据复数相等的条件来解.演变5：解复数集中的方程：点拨与提示：整理成关于x的一元二次方程，用求根公式求解.例6：设z是虚数，是实数，，求证：u为纯虚数.思路分析：本题证法很多，可以从共轭复数运算的角度给出证明.证明：∵∈R，∴，∴∴，∵z是纯虚数，∴，∴|z|＝1，∴∵.∴.∵z是虚数，∴，∴，∴u为纯虚数.点评：用整体观点处理复数问题时，应注意利用前面提到的充要条件.演变6：设z1,z2为两个非零复数，且｜z1+z2｜=|z1－z2|，求证：为负数.点拨与提示：利用复数加、减法的几何意义求解.专题小结1．三角变换常用的方法技巧有切割化弦法，升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法等．对于三角公式要记忆准确（在理解基础上），并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．2．三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点．最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．三角函数图象各种变换的实质要熟练掌握，不能从形式上简单判断．3．解三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式．要充分发挥图形的作用，注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能【临阵磨枪】一、选择题1．已知f(cosx)=cos3x，则f(sin30º)的值为（）A0B1C－1D2．（2006年辽宁卷）的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为(A)(B)(C)(D)3．（2006年安徽卷）将函数的图象按向量平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（）A．B．C．D．4．把函数的图象适当变动，就可得到y=－sin3x的图象，这种变动可以是（）A沿x轴向右平移B沿x轴向左平移C沿x轴向右平移D沿x轴向左平移5．已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别是A，B，O为坐标原点，当z1=2（cos60º+isin60º）•z2,|z2|=2，则△AOB的面积为（）ABCD26．复数z＝1－cosθ－isinθ（3＜θ＜4π）的辐角主值是（）ABCD7．函数y=3sin(x+20º)+5sin(x+80º)的最大值为（）ABC7D88．在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时，（）A． B． C． D．9．在△ABC中，若，其中a,b分别是∠A，∠B的对边，则△ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形10．函数y=的最小正周期为（）A2πBπCD二、填空题11已知sinα=，α∈(，π)，tan(π－β)=，则tan(α－2β)=______12设α∈()，β∈(0，)，cos(α－)=，sin(+β)=，则sin(α+β)=_________13．已知复数：，复数满足，则复数14．设函数f(x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sin（nx）在[0，]上的面积为（n∈N*），（i）y＝sin3x在[0,]上的面积为；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为.三、解答题15不查表求值：16（2006年安徽卷）已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.17．在复数范围内解方程：(i为虚数单位).18．（2006年四川卷）已知是三角形三内角，向量，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求.19已知cosα+sinβ=，sinα+cosβ的取值范围是D，x∈D，求函数y=的最小值，并求取得最小值时x的值参考答案1．C提示：2B提示：，利用余弦定理可得，即，故选择答案B.3．C提示：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为，由图象知，，所以.4．D提示：5．B提示∠AOB＝60º，｜z2|=2|z1|=4，6．B提示：，∵，7．C提示：y=3sin(x+20º)+5sin(x+80º)＝3sin(x+20º)+5sin[(x+20º)＋60º]＝8．D提示：，当即时，面积最大.9．D提示：由正弦定理得：＝，∴或∴或∴A＝B或A＋B＝90º10．D提示：，则11．提示∵sinα=,α∈(,π),∴cosα=－则tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－,12提示α∈(),α－∈(0,),又cos(α－)=13．1-i提示：设z=a+bi,由(3+2i)(a+bi)=3(a+bi)+3+2i,得3a-2b=3a+3,2a+3b=3b+2,∴a=1,b=.14．提示：由题意得：为一个半周期结合图象分析其面积为.15答案216．解：(Ⅰ)由得，即，又，所以为所求.（Ⅱ）====17．解：原方程化简为,设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1－i，∴x2+y2=1且2x=－1,解得x=－且y=±,∴原方程的解是z=-±i.18．解：（Ⅰ）∵∴即,∵∴∴（Ⅱ）由题知，整理得∴∴∴或而使，舍去∴∴19解设u=sinα+cosβ则u2+()2=(sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=2+2sin(α+β)≤4∴u2≤1,－1≤u≤1即D=［－1,1］,设t=,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤x=【挑战自我】设a,b,c为△ABC的三边，a≤b≤c，R是△ABC的外接圆半径，令f=a+b－2R-8R，试用C的大小来判定f的符号.解：f=2R（sinA+sinB－1－4）＝2R[]＝4R＝4R＝2R由a≤b≤c，得A≤B≤C，所以0＜B－A＜B＋A，因此，，所以故当f>0时，，则0＜C＜当f＝0时，，则C＝当f＜0时，，则C＞【答案及点拨】演变1：由图得,由T=,得,在y=sin()中令x=1,y=1,得,,得,选(C)演变2：（解法一）由题设条件，应用两角差的正弦公式得，即①由题设条件，应用二倍角余弦公式得故