碰撞模型压轴题

PAGEPAGE21动量专项训练1.如图19所示，水平地面上静止放置着物块B和C，相距=1.0m。物块A以速度=10m/s沿水平方向与B正碰。碰撞后A和B牢固地粘在一起向右运动，并再与C发生正碰，碰后瞬间C的速度=2.0m/s。已知A和B的质量均为m，C的质量为A质量的k倍，物块与地面的动摩擦因数=0.45.（设碰撞时间很短，g取10m/s2）（1）计算与C碰撞前瞬间AB的速度；（2）根据AB与C的碰撞过程分析k的取值范围，并讨论与C碰撞后AB的可能运动方向。【解析】⑴设AB碰撞后的速度为v1,AB碰撞过程由动量守恒定律得设与C碰撞前瞬间AB的速度为v2，由动能定理得联立以上各式解得⑵若AB与C发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律得代入数据解得此时AB的运动方向与C相同若AB与C发生弹性碰撞，由动量守恒和能量守恒得联立以上两式解得代入数据解得此时AB的运动方向与C相反若AB与C发生碰撞后AB的速度为0，由动量守恒定律得代入数据解得总上所述得当时，AB的运动方向与C相同当时，AB的速度为0当时，AB的运动方向与C相反2．（18分）如图所示，水平地面上OP段是粗糙的，OP长为L=1.6m，滑块A、B与该段的动摩擦因数都为μ＝0.5，水平地面的其余部分是光滑的。滑块B静止在O点，其质量mB＝2kg．滑块A在O点左侧以v0＝5m/s的水平初速度向右运动，并与B发生碰撞．A的质量是B的K（K取正整数）倍，滑块均可视为质点，取g＝10m/s2．（1）若滑块A与B发生完全非弹性碰撞，求A、B碰撞过程中损失的机械能；ABOPv0左右（2）若滑块A、B构成的系统在碰撞过程中没有机械能损失，试ABOPv0左右解：（1）设滑块A碰B后的共同速度为v，AB碰撞过程中损失的机械能为ΔE由动量守恒定律有mAv0＝(mA＋mB)v①（2分）由能量守恒定律有ΔE=eq\f(1,2)mAv2－eq\f(1,2)(mA＋mB)v2②（2分）联立①②式并代入数据解得J③（2分）（2）设碰撞后A、B速度分别为vA、vB，且设向右为正方向，由于弹性碰撞，有：mAv0＝mAvA＋mBvB④（2分）eq\f(1,2)mAv02＝eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)mBveq\o\al(2,B)⑤（2分）联立④⑤式并代入数据解得m/s⑥（1分）m/s⑦（1分）假设滑块A、B都能在OP段滑动，滑块A、B在OP段的加速度（）相等，由⑥⑦式知在任意时刻，滑块A、B不会再一次发生碰撞.（1分）由题知，当滑块A刚好能够到达P点有⑧（1分）代入数据解得⑨（1分）讨论：（1）当K=1时，，滑块A停在O点，A克服摩擦力所做的功为⑩（1分）（2）当时，滑块A停在OP之间，A克服摩擦力所做的功为Jeq\o\ac(○,11)（1分）（3）当时，滑块A从OP段右侧离开，A克服摩擦力所做的功为Jeq\o\ac(○,12)（1分）3.如图，木板A静止在光滑水平面上，其左端与固定台阶相距x．与滑块B（可视为质点）相连的细线一端固定在O点．水平拉直细线并给B一个竖直向下的初速度，当B到达最低点时，细线恰好被拉断，B从A右端的上表面水平滑入．A与台阶碰撞无机械能损失，不计空气阻力．已知A的质量为2m，B的质量为m，A、B之间动摩擦因数为μ；细线长为L、能承受的最大拉力为B重力的5倍；A足够长，B不会从A表面滑出；重力加速度为g（1）求B的初速度大小v0和细线被拉断瞬间B的速度大小v1（2）A与台阶只发生一次碰撞，求x满足的条件台阶Lv0v1A台阶Lv0v1ABxOB解析：（1）滑块B从释放到最低点，机械能守恒，有：……①在最低点，由牛顿运动定律：……②又：……③联立①②③得：评分说明：①②③以及两个结果正确各给1分，共5分（2）设A与台阶碰撞前瞬间，A、B的速度分别为vA和vB，由动量守恒……④若A与台阶只碰撞一次，碰撞后必须满足：……⑤对A应用动能定理：……⑥联立④⑤⑥解得：，……⑦即A与台阶只能碰撞一次的条件是：评分说明：④⑤⑥⑦以及结果正确各给1分，共5分（3）设x=时，A左端到台阶板前瞬间，A、B恰好达到共同速度，由动量守恒…………⑧对A应用动能定理：……⑨联立⑧⑨得：……⑩(i)当即时，AB共速后A与挡板碰撞．由⑧可得A与台阶碰撞前瞬间的速度：……⑩(ii)当即时，AB共速前A就与台阶碰撞，对A应用动能定理：……eq\o\ac(○,11)A与台阶碰撞前瞬间的速度：……eq\o\ac(○,12)4.如图所示，质量为M的小球用长为R=0.45m的细绳固定于O点，从A（与O点等高）处由静止释放，与O点正下方B点处质量为的物块弹性正碰．重力加速度g=10m/s2(1)求小球碰后能上升的高度h．OABCDEFH(2)已知粗糙水平地面BC及传送带的动摩擦因数均为μ=0.2，传送带长为，顺时针匀速转动，速度大小为υ=2m/s，DE、EF、FH的长度均为S=0.4m．若要保证物块碰后能落入OABCDEFH解：1）小球摆至B点碰前速度为υ0，由机械能守恒得：=1\*GB3①1分代人数据解得：=2\*GB3②1分小球与物块弹性正碰，设碰后速度分别为有υ1、υ2，有：=3\*GB3③2分=4\*GB3④2分联立=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④解得：2分小球碰后上升至高度h的过程机械能守恒，有：=5\*GB3⑤1分代人数据解得：=6\*GB3⑥1分2）设物块从D点以速度υD做平抛落入沙坑，时间为t，有：=7\*GB3⑦1分=8\*GB3⑧1分由题知：可解得：=9\*GB3⑨1分讨论：Ⅰ）当，物块在传送带上一定做匀减速运动，此时C点速度最大为，由得：=10\*GB3⑩1分Ⅱ）当，物块在传送带上一定做匀加速运动，此时C点速度最小为，由得：eq\o\ac(○,11)1分物块要滑上传送带，则，故eq\o\ac(○,12)1分物块从B到C，由动能定理得：eq\o\ac(○,13)1分联立eq\o\ac(○,12)eq\o\ac(○,13)得：eq\o\ac(○,14)1分5.如图所示，地面和半圆轨道面均光滑．质量M=1kg、长L=4m的小车放在地面上，其右端与墙壁的距离为S=3m，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平．现有一质量m=2kg的滑块（不计大小）以v0=6m/s的初速度滑上小车左端，带动小车向右运动．小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的滑动摩擦因数μ=0.2，g取10m/s2．（1）求小车与墙壁碰撞时的速度；（2）要滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，求半圆轨道的半径R的取值．解：（1）滑块与小车的共同速度为v1，滑块与小车相对运动过程中动量守恒，有mv0=(m+M)v1………（2分）代入数据解得v1=4m/s………………（1分）设滑块与小车的相对位移为L1，由系统能量守恒定律，有μmgL1=(2分）代入数据解得L1=3m…（1分）设与滑块相对静止时小车的位移为S1，根据动能定理，有μmgS1=…………（2分）代入数据解得S1=2m…………………（1分）因L1＜L，S1＜S，说明小车与墙壁碰撞前滑块与小车已具有共同速度，且共速时小车与墙壁还未发生碰撞，故小车与碰壁碰撞时的速度即v1=4m/s……（1分）（2）滑块将在小车上继续向右做初速度为v1=4m/s，位移为L2=L－L1=1m的匀减速运动，然后滑上圆轨道的最低点P．若滑块恰能滑过圆的最高点，设滑至最高点的速度为v，临界条件为mg=m……………（1分）根据动能定理，有－μmgL2－………（2分）①②联立并代入数据解得R=0.24m…………………（1分）若滑块恰好滑至圆弧到达T点时就停止，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道．根据动能定理，有－μmgL2－………（2分）代入数据解得R=0.6m………………（1分）综上所述，滑块能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道，半圆轨道的半径必须满足R≤0.24m或R≥0.6m…………………（1分）6.图18（a）所示的装置中，小物块A、B质量均为m，水平面上PQ段长为，与物块间的动摩擦因数为μ，其余段光滑。初始时，挡板上的轻质弹簧处于原长；长为r的连杆位于图中虚线位置；A紧靠滑杆（A、B间距大于2r）。随后，连杆以角速度ω匀速转动，带动滑杆作水平运动，滑杆的速度-时间图像如图18（b）所示。A在滑杆推动下运动，并在脱离滑杆后与静止的B发生完全非弹性碰撞。（1）求A脱离滑杆时的速度，及A与B碰撞过程的机械能损失。（2）如果AB不能与弹簧相碰，设AB从P点到运动停止所用的时间为，求ω得取值范围，及与ω的关系式。（3）如果AB能与弹簧相碰，但不能返回到P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为，求ω的取值范围，及与ω的关系式（弹簧始终在弹性限度内）。解：（1）由图可知，当连杆第一次运动到竖直方向时，滑杆的速度第一次达到峰值，此后连杆速度减小，A与滑杆脱离，此时：此后，A与B碰撞，由动量守恒：由能量守恒：得（2）若AB不能与弹簧相碰，则必然停在PQ某一位置处，满足以下关系：Ek≤μ2mgl………………eq\o\ac(○,1)而…eq\o\ac(○,2)由eq\o\ac(○,1)eq\o\ac(○,2)得：且由牛顿运动定律有：（3）如果AB能与弹簧相碰，但不能返回到P点左侧，则AB必定反向后停于PQ某处：有μ2mgl<≤2μ2mgl…③由eq\o\ac(○,2)③有：且此时与ω的关系为：=2μmgl7.如图（a）所示,在光滑绝缘水平面的AB区域内存在水平向右的电场,电场强度E随时间的变化如图（b）所示,不带电的绝缘小球P2静止在O点.t=0时,带正电的小球P1以速度v0从A点进入AB区域,随后与P2发生正碰后反弹,反弹速度大小是碰前的倍,P1的质量为m1,带电荷量为q,P2的质量m2=5m1,A、O间距为L0,O、B间距L=.已知,T=.(1)求碰撞后小球P1向左运动的最大距离及所需时间.（2）讨论两球能否在OB区间内再次发生碰撞.解：（1）因为T= ①所以0～T时间内P1做匀速直线运动,Ts末恰好到达O点,与P2发生正碰.假设碰撞后P1向左移动时始终处在匀强电场中,向左运动的最大距离为s,时间为t.根据动能定理得-qE0s=0-m1(v0)2 ②s=L0<L0 ③根据匀变速直线运动的规律知s=·v0·t ④t==T<4T ⑤由③⑤知,题意假设正确,P1向左运动的最大距离为L0,所需时间为T.（2）设P1、P2碰撞后P2的速度为v,以向右为正方向,根据动量守恒定律得m1v0=m1(-v0)+5m1v ⑥则v=v0 ⑦假设两球能在OB区间内再次发生碰撞,设P1、P2从第一次碰撞到再次碰撞的时间为t′(碰后P2做匀速直线运动)-v0t′+·t′2=v0t′ ⑧则t′==3T<4T ⑨P1、P2从O点出发到再次碰撞时的位移s1=v0t′=v0·=L0<L ⑩由⑨⑩知,题意假设正确,即两球在OB区间内能再次发生碰撞.8.如图所示，两个完全相同的质量为m的木板A、B置于水平地面上，它们的间距s=2.88m.质量为2m、大小可忽略的物块C置于A板的左端.C与A之间的动摩擦因数为μ1=0.22，A、B与水平地面之间的动摩擦因数为μ2=0.10，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力.开始时，三个物体处于静止状态.现给C施加一个水平向右，大小为mg的恒力F，假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起.要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少？解：设A、C之间的滑动摩擦力大小为f1，A与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f2∵μ1=0.22,μ2=0.10∴F=mg＜f1=2μ1mg且F=mg＞f2=μ2(2m+m)g∴一开始A和C保持相对静止，在F的作用下向右加速运动，有（F-f2）·s=(2m+m)v12A、B两木板的碰撞瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量，A、B组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得：mv1=(m+m)v2碰撞结束后三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为x1，选三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则2mv1+(m+m)v2=(2m+m+m)v3设A、B系统与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f3，对A、B系统，由动能定理f1·s1-f3·s1=·2mv32-·2mv22f3=μ2(2m+m+m)g对C物体，由动能定理F·（2l+x1）-f1·(2l+x1)=·2mv32-·2mv12由以上各式、再代入数据可得l=0.3m9.如图所示，两物块A、B并排静置于高h=0.80m的光滑水平桌面上，物块的质量均为M=0.60kg。一颗质量m=0.10kg的子弹C以v0=100m/s的水平速度从左面射入A，子弹射穿A后接着射入B并留在B中，此时A、B都没有离开桌面。已知物块A的长度为0.27m，A离开桌面后，落地点到桌边的水平距离s=2.0m。设子弹在物块A、B中穿行时受到的阻力保持不变，g取10m/s2。vvABhs（1）物块A和物块B离开桌面时速度的大小分别是多少；（2）求子弹在物块B中穿行的距离；（3）为了使子弹在物块B中穿行时物块B未离开桌面，求物块B到桌边的最小距离。解：(1)子弹射穿物块A后，A以速度vA沿桌面水平向右匀速运动，离开桌面后做平抛运动t=0.40sA离开桌边的速度=5.0m/s设子弹射入物块B后，子弹与B的共同速度为vB，子弹与两物块作用过程系统动量守恒：B离开桌边的速度=10m/s（2）设子弹离开A时的速度为，子弹与物块A作用过程系统动量守恒：m/s子弹在物块B中穿行的过程中，由能量守恒①子弹在物块A中穿行的过程中，由能量守恒②由①②解得m（3）子弹在物块A中穿行的过程中，物块A在水平桌面上的位移为s1,根据动能定理③子弹在物块B中穿行的过程中，物块B在水平桌面上的位移为s2，根据动能定理④由②③④解得物块B到桌边的最小距离smin=2.5×10-210．（18分）如图所示，五块完全相同的长木板依次紧挨着放在水平地面上，每块木板的长度L=0.5m，质量m=0.6kg。在第一块长木板的最左端放置一质量M=0.98kg的小物块。已知小物块与长木板间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。一颗质量为的子弹以水平速度击中小物块并立即与小物块一起在长木板表面滑行，重力加速度g取。求：(1)小物块滑至哪块长木板时，长木板才开始在地面上滑动。(2)物块在整个运动过程中相对出发点滑行的最大距离。10解：(1)设子弹的初速度为，子弹击中小物块后二者的共同速度为，由动量守恒定律……（2分）………（1分）刚开始时，木板与地面的摩擦力大于小物块与木板的摩擦力，木板不动。小物块滑过一块木板，木板与地面的摩擦力减小一个值。设当物块滑至第n块木板时，木板与地面的摩擦力小于小物块与木板的摩擦力，即………（2分）解得>4.3设物块刚滑上第五块木板时的速度为，每块木板的长度为L，由动能定理解得所以物块滑上第五块木板时，木板才开始在地面上滑动。(2)物块在第五块木板表面做匀减速直线运动，木板做匀加速直线运动，设经历时间t，物块与木板能获得相同的速度，………（1分）………（1分）……（1分）…（1分）解得……（1分）在此过程中，物块发生的位移为，由动能定理……（1分）解得……（1分）即物块与木板获得的共同速度，之后整体向前匀减速运动后静止．由动能定理……（1分）解得…（1分）所以物块总共发生的位移……（1分）11．如图所示，水平桌面的右端有一质量为m的物块B，用长为L=0.3m的不可伸长的细线悬挂，B对水平桌面压力刚好为零，水平桌面离地面的高度为h=5.0m，另一质量为2m的物块A在距水平桌面的右端s＝4.0m处以vo=5.0m/s的水平初速度向右运动，并与B发生碰撞，已知A与桌面间的动摩擦因数为=0.2，碰后A速度为1.0m/s,物块均可视为质点，取g＝l0m/s2.（1)求A与B碰撞前的速度大小；（2）求碰撞后A的落地点与桌面右端的水平距离x;(3)通过计算判断A与B碰后，物块B能否绕0点在竖直平面内做完整的圆周运动12.R=0.9m60PMMs=3mMNA=4kgmB=2kgA,B静置于M点，A.NCLN.APBC换速度.A、B、Cgm/s2(1)A(2)(3)BC2µµL12.解：（1）A在上滑过程中机械能守恒，有……2分根据牛顿运动定律……2分由牛顿第三定律得，A对圆弧的压力为80N，方向竖直向下。……1分（2）由动量、能量守恒得：……2分……2分得：……1分（3）因B、C碰后速度交换，B静止，C做圆周运动，绳子不能松弛，一种情况是越过最高点，继续做圆周运动，与B碰撞，B一定离开平台，不符合要求。另一种情况是C做圆周运动不超过圆周，返回后再与B发生碰撞。……1分B刚好能与C发生第一次碰撞解得依题意有……1分B与C刚要发生第三次碰撞，则解得依题意有……1分B与C发生两次碰撞后不能从左侧滑出解得依题意有……1分综上所得……1分取，B与C碰撞后，C的速度最大，要绳不松弛，有：……1分……1分解得：依题意：……1分13.(18分)如图所示的轨道由半径为R的1/4光滑圆弧轨道AB、竖直台阶BC、足够长的光滑水平直轨道CD组成．小车的质量为M，紧靠台阶BC且上水平表面与B点等高．一质量为m的可视为质点的滑块自圆弧顶端A点由静止下滑，滑过圆弧的最低点B之后滑到小车上．已知M=4m，小车的上表面的右侧固定一根轻弹簧，弹簧的自由端在Q点，小车的上表面左端点P与Q点之间是粗糙的，滑块与PQ之间表面的动摩擦因数为，Q点右侧表面是光滑的．求：（1）滑块滑到B点的瞬间对圆弧轨道的压力大小．（2）要使滑块既能挤压弹簧，又最终没有滑离小车，则小车上PQ之间的距离应在什么范围内？（滑块与弹簧的相互作用始终在弹簧的弹性范围内）13.解：（1）设滑块滑到B点的速度大小为v，到B点时轨道对滑块的支持力为N，由机械能守恒定律有①滑块滑到B点时，由牛顿第二定律有②联立①②式解得N＝3mg③根据牛顿第三定律，滑块在B点对轨道的压力大小为（2）滑块最终没有离开小车，滑块和小车必然具有共同的末速度设为u，滑块与小车组成的系统动量守恒，有④若小车PQ之间的距离L足够大，则滑块可能不与弹簧接触就已经与小车相对静止，设滑块恰好滑到Q点，由功能关系有⑤联立①④⑤式解得⑥若小车PQ之间的距离L不是很大，则滑块必然挤压弹簧，由于Q点右侧是光滑的，滑块必然被弹回到PQ之间，设滑块恰好回到小车的左端P点处，由功能关系有⑦联立①④⑦式解得⑧综上所述并由⑥⑧式可知，要使滑块既能挤压弹簧，又最终没有离开小车，PQ之间的距离L应满足的范围是⑨14．如图所示，在光滑水平面上有一质量为M的长木板，长木板上有一质量为m的小物块，它与长木板间的动摩擦因数为μ．开始时，长木板与小物块均靠在与水平面垂直的固定挡板处，某时刻它们以共同的速度v0向右运动，当长木板与右边的固定竖直挡板碰撞后，其速度的大小不变、方向相反，以后每次的碰撞均如此．设左右挡板之间的距离足够长，且M＞m．(1)要想物块不从长木板上落下，则长木板的长度L应满足什么条件？(2)若上述条件满足，且M＝2kg，m＝1kg，v0＝10m/s，求整个系统在第5次碰撞前损失的所有机械能．14.【解析】(1)设第1次碰撞后小物块与长木板共同运动的速度为v1，第n次碰撞后小物块与长木板共同运动的速度为vn．每次碰撞后，由于两挡板的距离足够长，物块与长木板都能达到相对静止，第1次若不能掉下，往后每次相对滑动的距离会越来越小，更不可能掉下．由动量守恒定律和能量守恒定律有：(M－m)v0＝(M＋m)v1μmgs＝eq\f(1,2)(m＋M)v02－eq\f(1,2)(M＋m)v12解得：s＝eq\f(2Mv02,μ(M＋m)g)故L应满足的条件是：L≥s＝eq\f(2Mv02,μ(M＋m)g)．(2)第2次碰撞前有：(M－m)v0＝(M＋m)v1第3次碰撞前有：(M－m)v1＝(M＋m)v2第n次碰撞前有：(M－m)vn－2＝(M＋m)vn－1所以vn－1＝(eq\f(M－m,M＋m))n－1v0故第5次碰撞前有：v4＝(eq\f(M－m,M＋m))4v0故第5次碰撞前损失的总机械能为：ΔE＝eq\f(1,2)(M＋m)v02－eq\f(1,2)(M＋m)v42代入数据解得：ΔE＝149.98J．[答案](1)L≥eq\f(2Mv