第一章集合的概念,集合的运算(共2课时教师版)

掘港高级中学2017届高三数学组PAGEPAGE8§1.1集合的概念﹑集合间的基本关系（第1课时）学习目标1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言﹑图形语言﹑集合语言描述不同的具体问题。2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。学习重点，难点1.集合的不同表示形式2.集合中元素与集合，集合与集合的包含关系学习过程一﹑知识要点1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.二﹑小题训练1．下列集合中表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M＝{2,3}，N＝{3,2}；③M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}；④M＝{2,3}，N＝{(2,3)}．答案②2.(数学之友P44)已知集合A＝{a＋2，2a2＋a}，若3∈A，则a＝________．－eq\f(3,2)(数学之友P44)变式训练：以正整数为元素的集合S，满足“”写出符合条件的二元集答案：{1,7}{2,6}{3,5}3.已知集合A＝{(x，y)|－1≤x≤1，0≤y<2，x、y∈Z}，用列举法可以表示集合A为________．答案：{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}4.设M为非空的数集，M{0，1，2，3}，则这样的集合M共有________个．答案：15三﹑典型题型题型一集合的基本概念例1(1)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝________.试题分析：解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“三性”．答案(1)10(2)2试题解析(1)由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}得x>y，当y＝1时，x可取2,3,4,5，有4个；当y＝2时，x可取3,4,5，有3个；当y＝3时，x可取4,5，有2个；当y＝4时，x可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．(2)因为{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0， 所以a＋b＝0，得eq\f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.解题回顾：(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．变式训练：数学之友P94(1)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________．(2)若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.答案(1)2(2)0或eq\f(9,8)试题解析：(1)集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2.(2)∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．当a＝0时，x＝eq\f(2,3)符合要求．当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝eq\f(9,8).故a＝0或eq\f(9,8).题型二集合间的基本关系例2（江海零距离P22）(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________答案(1)4(2)(－∞，4]试题解析：(1)用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B⊆A不要忽略B＝∅的情形．当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2,2m－1≤7,m＋1<2m－1))，解得2<m≤4.综上，m的取值范围为m≤4.（备用题数学之友P82）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若，则实数m的取值范围是________解题回顾(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．变式训练(1)设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有________个．(2)．设集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))))，N＝{x|x＝eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)，k∈Z}，则M________N.答案(1)6解析(1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6(个)．答案(2)MN四﹑课堂反馈1.集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，集合B＝{a2，a＋b，0}，若A＝B，则a2016＋b2017的值1．解：由于a≠0，由eq\f(b,a)＝0，得b＝0，则A＝{a，0，1}，B＝{a2，a，0}．由A＝B，可得a2＝1.又a2≠a，则a≠1，则a＝－1.所以a2016＋b2017＝1.2．(数学之友P61)（2014.山东）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5．3.(数学之友P45)设集合A＝{x|x2-3x+2=0}，B＝{x|ax－2=0}．若B⊆A，,则实数a的取值集合{0,1,2}4.(数学之友P52)已知A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x>a}．若AB，则a的取值范围是反思小结1.研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2.空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：AB，则需考虑A＝和A≠两种可能的情况．3.判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．§1.2集合的基本运算（第2课时）学习目标1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集。2.理解补集的含义，会求给定集合的子集。学习重点，难点1.利用文氏图﹑数轴表达集合的关系与运算，体会直观图对理解抽象概念的作用。2.集合与集合的运算。学习过程一﹑知识要点1．集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}2.集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.二﹑小题训练1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B等于________．答案{－1,0} 解析∵－1,0∈B,1∉B，∴A∩B＝{－1,0}．2.已知全集S＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁SA＝{3}，则实数a等于________．答案：2解析：由题意，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,a2－2a＋3＝3，))则a＝2.3.A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且xA∩B}．若A＝{x|y＝eq\r(x2－3x)}，B＝{y|y＝3x}，则A×B＝________．答案：(－∞，3)解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)．A∪B＝R，A∩B＝[3，＋∞)．所以A×B＝(－∞，3)．4．（江海零距离P38）设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(4,3)))解析A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>0，f(0)＝－1<0，根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－4a－1≤0，,9－6a－1>0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(3,4)，,a<\f(4,3).)) 即eq\f(3,4)≤a<eq\f(4,3).三﹑典型题型题型三集合的基本运算例3(1)已知全集为R，集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,2)x≤1))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－6x＋8≤0))，则A∩(∁RB)等于． (2)已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.思维启迪集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn图计算．答案(1){x|0≤x<2或x>4}(2)－11解析(1)A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}∴A∩(∁RB)＝{x|x≥0}∩{x|x>4或x<2}＝{x|0≤x<2或x>4}．(2)先求出集合A，再根据集合的交集的特点求解．A＝{x|－5<x<1}，因为A∩B＝{x|－1<x<n}，B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，所以m＝－1，n＝1.思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．变式训练(数学之友P94)(1)设平面点集合A＝{(x，y)|}，B＝{(x，y)|}，则A∩B所表示的平面图形的面积(数学之友P83)(2)设集合A＝{x|x2＋px＋q＝0,}，M＝{1,3,5,7,9}N＝{1,4,7,10}若A∩B=A∩N=A,求p,q的值？答案(1)(2)1或2题型四集合的运算求参数的取值范围例2已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0，a∈R}．(1)存在x∈B，使得A∩B≠，求a的取值范围；(2)若A∩B＝B，求a的取值范围．解：(1)由题意得B≠，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.①令f(x)＝x2－4x＋a＝(x－2)2＋a－4，对称轴为x＝2,∵A∩B≠，又A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞),∴f(3)<0，解得a<3.②由①②得a的取值范围为(－∞，3)．(2)∵A∩B＝B，∴BA.当Δ＝16－4a<0，即a>4时，B是空集，这时满足A∩B＝B；当Δ＝16－4a≥0，即a≤4.③令f(x)＝x2－4x＋a，对称轴为x＝2，∵A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)≠，∴f(－1)<0，解得a<－5.④由③④得a<－5.综上得a的取值范围为(－∞，－5)∪(4，＋∞)．eq\a\vs4\al(变式训练)已知A＝{x|ax－1>0}，B＝{x|x2－3x＋2>0}．(1)若A∩B＝A，求实数a的取值范围；(2)若A∩∁RB≠，求实数a的取值范围．解：(1)由于A∩B＝A得AB，由题意知B＝{x|x>2或x<1}．若a>0，则x>eq\f(1,a)≥2，得0＜a≤eq\f(1,2)；若a＝0，则A＝，成立；若a＜0，则x＜eq\f(1,a)＜1，根据数轴可知均成立．综上所述，a≤eq\f(1,2).(2)∁RB＝{x|1≤x≤2}，若a＝0，则A＝，不成立；若a＜0，则x＜eq\f(1,a)＜1，不成立；若a＞0，则x＞eq\f(1,a)，由eq\f(1,a)＜2得a＞eq\f(1,2).综上所述，a＞eq\f(1,2).（备用题）已知集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x－2)＝1))))，N＝{(x，y)|y=ax＋2}，且M∩N＝，则a＝________．答案解析：易知集合M中的元素表示的是过点(2，3)且斜率为1的直线上除点(2，3)外的所有点．要使M∩N＝，则N中的元素表示的是斜率为3且不过点(2，3)的直线，或过点(2，3)且斜率不为3的直线，四课堂反馈U1.(数学之友P91)如图，已知U是全集，集合A，B，C是U的3个子集，写出图中阴影部分表示的集合为________．．2.(数学之友P92)设U=R,集合A＝{x|x2+3x＋2＝0}，B＝{x|x2+(m+1)x＋m＝0}