圆锥曲线专题训练

PAGEPAGE6高三数学专题强化训练（1）1．若动点P在直线l1：上，动点Q在直线l2：上，设线段PQ的中点为，且≤8，则的取值范围是．[8，16]2．在平面直角坐标系xOy中，点F是双曲线C：eq\F(x2,a2)－eq\F(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．若eq\o(FB,\s\up7(→))＝2eq\o(FA,\s\up7(→))，则双曲线的离心率为2．3．若椭圆的方程为，、是它的左、右焦点，椭圆过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左右顶点为、，直线的方程为，是椭圆上任一点，直线、分别交直线于、两点，求的值；（Ⅲ）过点任意作直线（与轴不垂直）与椭圆交于、两点，与轴交于点，．证明：为定值．解：（1）（2）设，则，，=（3）设，,由得所以代入椭圆方程得=1\*GB3①同理由得=2\*GB3②由=1\*GB3①-=2\*GB3②得4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\F(x2,m)＋eq\F(y2,8－m)＝1．（1）若椭圆C的焦点在x轴上，求实数m的取值范围；（2）若m＝6，①P是椭圆C上的动点，M点的坐标为(1，0)，求PM的最小值及对应的点P的坐标；②过椭圆C的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交x轴于点N，证明：eq\F(AB,FN)是定值，并求出这个定值．解（1）由题意得，m＞8－m＞0，解得4＜m＜8．即实数m的取值范围是(4，8)．………2分（2）因为m＝6，所以椭圆C的方程为eq\F(x2,6)＋eq\F(y2,2)＝1．①设点P坐标为（x，y），则eq\F(x2,6)＋eq\F(y2,2)＝1．因为点M的坐标为（1，0），所以PM2＝(x－1)2＋y2＝x2－2x＋1＋2－eq\F(x2,3)＝eq\F(2x2,3)－2x＋3＝eq\F(2,3)(x－eq\F(3,2))2＋eq\F(3,2)，x∈[－eq\R(,6)，eq\R(,6)]．………4分所以当x＝eq\F(3,2)时，PM的最小值为eq\F(eq\R(,6),2)，此时对应的点P坐标为（eq\F(3,2)，±eq\F(eq\R(,5),2)）．………6分②由a2＝6，b2＝2，得c2＝4，即c＝2，从而椭圆C的右焦点F的坐标为(2，0)，右准线方程为x＝3，离心率e＝eq\F(EQ\r(,6),3)．设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点H（x0，y0），则eq\F(x12,6)＋eq\F(y12,2)＝1，eq\F(x22,6)＋eq\F(y22,2)＝1，所以eq\F(x12－x22,6)＋eq\F(y12－y22,2)＝0，即kAB＝eq\F(y1－y2,x1－x2)＝－eq\F(x0,3y0)．………9分令k＝kAB，则线段AB的垂直平分线l的方程为y－y0＝－eq\F(1,k)(x－x0)．令y＝0，则xN＝ky0＋x0＝eq\F(2,3)x0．因为F(2，0)，所以FN＝|xN－2|＝eq\F(2,3)|x0－3|．………12分因为AB＝AF＋BF＝e(3－x1)＋e(3－x2)＝eq\F(2EQ\r(,6),3)|x0－3|．故eq\F(AB,FN)＝eq\F(2EQ\r(,6),3)×eq\F(3,2)＝eq\R(,6)．即eq\F(AB,FN)为定值eq\R(,6)．………16分5.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；(第19题图)（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；(第19题图)（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．解：（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，即，①………1分又点在椭圆上，所以，②……2分联立①②，解得……………………3分所以所求圆的方程为．………4分（2）因为直线：，：，与圆相切，所以,化简得………………6分同理，……………7分所以是方程的两个不相等的实数根，…………8分因为点在椭圆C上，所以，即，所以，即．………………10分（3）是定值，定值为36，……………11分理由如下：法一：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,联立解得………12分所以，同理，得，…………13分由，所以………15分(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上：．……………………16分法二：(i)当直线不落在坐标轴上时,设,因为，所以,即，……………12分因为在椭圆C上，所以，即，……………13分所以，整理得，所以，所以．……………………15分(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有，综上：．………………16分6．已知椭圆左右两焦点为，P是椭圆上一点，且在x轴上方，于H,.（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）当取最大值时，过的圆Q的截y轴的线段长为6，求圆Q的方程；（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线L上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M,N,试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．.解：由相似三角形知，，，∴，。(1)，∴,在上单调递减.∴时，最小，时，最小，∴，∴.(2)当时，，∴，∴.∵,∴是圆的直径，圆心是的中点，∴在y