第八章 矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步 SECTION4

§4张量算法标量（再二0）矢量（N=l）矩阵（N=2）张量(N=3)一、张量概念［张量的一般定义］若一个量有nN个分量，而每个分量在n维空间Rn中的坐标变换

Xi=Xi［1，,...,Xn'^(i=1,•..,标量（再二0）矢量（N=l）矩阵（N=2）张量(N=3)之下，按下面的规律变化：•,…._dxj-1dxJidx\2xy丁..Tj1…ji=.….…Tji"'jii...ijj，。•，i'Tl1imUxJ1uxJioxl1dxim1m式中TjEi是xi的函数，TJ1...j是xi-的函数，则量TJ1E1（共有nN个分量）称为l阶逆变（或抗变）mi…ii...ii…i1mi1im1m阶协变的N（=1+m）阶混合张量（或称为（1+m）型混合张量）.张量概念是矢量和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量（例如'）好比“立体矩阵”（图8.18右）.更高阶的张量不能用图形表达.下面列出n=2时的张量示意图：［张量举例］图8.18可乘张量设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量a,b是已知的，则由等式Tik=aibk,T=ab,Ti-aib,T.=abi

ikikkkkk确定的都是二阶张量，称为可乘张量.2°克罗内克尔符号克罗内克尔符号8i是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是

j因为从TOC\o"1-5"\h\zOxidxi'=8iOx，'Oxjj可得8.,dxiOxiOxi'Oxj8.j'OxiOxjOxiOxj'j

［二阶对称张量与反对称张量］若张量满足等式T=T,Tik=Tki,Ti=Tk则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式T=-T^,Tik=-Tki,Ti=-Tk则分别称为二阶反对称协变张量、二阶反对称逆变张量和二阶反对称混合张量.张量的逆变（协变）指标的对称性质在坐标变换下是不变的.在三维空间中，二阶反对称张量与矢量等价.二、张量代数［指标的置换］指标置换是张量代数的最简单运算，利用它可作出新的张量.例如，通过指标置换，可由张量Tki得到新的张量Tk，它的矩阵是张量Tki的矩阵的转置矩阵.［加（减）法］同类型的若干个张量的对应分量相加（或相减）就得到一个新的同类型张量的分量，这种运算称为张量的加法（或减法）.任何二阶张量可分解为对称张量与反对称张量两部分.例如T.k=2、+T>扣-T）Tr…rs…s—Tr…r.Ts…sL1i1k~L1iL1k

p…pt…tp…pt…t1m1h1m1h这是一个i+k阶逆变m+h阶协变的混合张量，它的阶数为i+m+k+h.注意，张量乘法的次序是不可交换的.［Tr…rs…s—Tr…r.Ts…sL1i1k~L1iL1k

p…pt…tp…pt…t1m1h1m1h这是一个i+k阶逆变m+h阶协变的混合张量，它的阶数为i+m+k+h.注意，张量乘法的次序是不可交换的.［张量的缩并］对一个给定的混合张量，把它的一个逆变指标与一个协变指标相等的相加起来，得出阶数较低（逆变和协变各低一阶）的张量，这种运算称为张量的缩并.例如Ts…s—Tss-s12i~112iq…qsq-q2m12m是一个i-1阶逆变m-1阶协变的混合张量.akiT=TiijkijanajmakpT..=TimpTlmP=auajmakpTUkilaiiajmT.=Tim,aiiakmT=Tim,Tjk=aTijk,Tk=aamTj,［张量的商律］设Ti-i和TiF各为一组xi和xi的函数，如果对任意逆变矢量对与入i-及］i1ixil［张量的商律］j「Ljf--jm任一指标jk,jk使成为张量例如i,,,，勺...j...J1JkZj与Ti...i入j1mj'-jk…jmjk则"广七必为张量.这种判别张量的法则称为张量的商律.jrjmTij与Ti'j'各为xi,xi'的函数，而且klmk'lm'TijZ=TijN曾以芝汶k'lm'klmdxidxjdxk'dxm'TijZ=TijZ竺竺也竺四k'm'klmdxl'dxidxjdxk'dxm'［%一%务苏告告茶］对所有的人i，都成立，所以上式括号中的表达式等于零，因此T〃是张量.以任意协变矢量代替逆变矢量可得相仿的结果.［张量密度］按下面规律变化的量dxl，6xkdxawTi…=......tl…

'"k'…dxldxk'dxa'"'k■"称为张量密度，式中w为一常数，称为张量密度的权.张量就是权为零的张量密度.根据张量的阶数，还可以定义标量密度和矢量密度.两个指标的数目相同，且权相同的张量密度之和是一个同类型的张量密度.两个张量相乘时，权相加.三、张量分析上述张量都假定它的分量是空间Rn中点M（xi）的函数：Ta=Ti'fO

j''"jmj''"jm当点M（x，）在空间Rn中某一区域D中变动时，则称Ti「i是区域D中的一个张量场.上面所建j'...jm立的张量代数的各种运算，都可以应用到张量场上来.对于张量场还有一个不变的运算一一绝对微分（也称为协变微分），这就是张量分析要讨论的内容.一个标量场的普通导数是一个协变矢量场（梯度场）的分量.但是，一般说来，一个张量场的普通导数并不构成新的张量场.［仿射联络空间］若对空间Rn中的每一坐标系（xi），在一已知点M给定了一组（n3个）数并在坐标变换Xi'-Xi'下，它们按下列规律变化7，d2xkdxk，dxldxidxk，_,=+口"dx^dxj'dxkdx1'dxi'dxk〃则称在点M给定了一个联络对象(或联络系数)，其中偏导数是在点M取值的.假定在空间R"中给定了联络对象场rk(a/)=rkijU而且这些函数是连续可微的，则称皿为仿射联络空间，记作ZA一般说来，「k球Tkijji［挠率张量］(1)式中「人的变换规律包括两项：第一项不依赖于旧坐标系中的「人；第二〃ij项依赖于「比，并和张量的变换规律的形式完全相同.由于第一项对两个下标C是对称的,ij它一般不等于零，所以「比不是一个张量.但是ijTk=k—T^kijijji构成一个张量，称为仿射联络空间乙〃的挠率张量.如果挠率张量「人等于零，即ijIk=「kijji则称所给定的空间是无挠率的仿射联络空间，记作0［矢量的绝对微分与平行移动］若在空间〃中给定一个逆变矢量｛J,则在坐标变换下a1'=M这构成矢量｝在点M的变换规律.如果从点A/(凹移到点N3+W),则有'心，、^dxidxj/ai'+da1'=dx1''LIdxi>式中d次表示矢量£，｝从A/'心，、^dxidxj/ai'+da1'=在上式中只取一次项就得到da，+Gdxj(3).dxidxiM、/M若变换的二阶偏导数在M不等于零，则一个矢量的改变量决不是一个矢量的分量.如果夫〃为仿射联络空间，可由(1),(2),(3)式得到

da，'+「，'afdxk，=j'k，0，da，'+「，'afdxk，=j'k，0，，］

一mI'/M(a，+r"ajdxk)jk是一个逆变无穷小矢量.称Da，为矢量4,｝在点M处关于分量为dx，的位移MN的绝对微分.如果联络对象^T^)=0，则绝对微分与普通微分一致.若矢量如a，｝等于零，即Da，=da，+「/ajdxk=0

jk就称矢量4,｝关于联络T/从点M平行地移动到点N.当Ji)=0，分量a，保持不变(da，=0)kjkM时，矢量从点M平行移动到点N，就相当于欧氏空间中的平行移动.如果给定一条曲线Cx，=x，(t)和一个逆变矢量h｝，沿这条曲线C可以作伴随于4,｝的矢量Da，da，.dxk"dtd?+「建~df称它为沿曲线C的导矢量.如果h｝的导矢量为零，即da，dxk(4)_^_+r任-^―=0则矢量a，自身沿曲线C平行地移动，(4)式与坐标系的选择无关，就是说，矢量沿曲线的平行移动在坐标变换下是不变的.(4)同样地可以考虑协变矢量4,｝的绝对微分与平行移动.称Da.=da.-亍"a.dxk为协变矢量4,｝关于位移dx，的绝对微分.平行移动的条件为da-r任dxk=0或沿曲线C平行移动的条件为da.dxk八if一「fk侦=°［协变导数］从逆变矢量与协变矢量的绝对微分的定义公式可以得到量dxk理+口aj和:，-"ka.

jkdxkdxk它们是关于指标k协变的二阶张量，分别称为矢量挤和*的协变导数，分别记作皿和a或Vai和Va.［张量的绝对微分与平行移动及其协变微分法］由乘积的微分公式和张量的定义可以推出张量的平行移动规律.例如，三阶张量的平行移动规律为dT，k=£t+rT-T^-Tik”四阶张量的平行移动规律为dTlk=GrTlk+TrTlk—TlTrk—TkTlr^X$

ijisrjjsirrsijrsij可以看出，张量平行移动规律中所包含的项数与张量的阶数是相同的，对于张量的逆变指标，类似于逆变矢量平行移动的规律；对于张量的协变指标，类似于协变矢量平行移动的规律.记DTlk=dTlk—GrTlk+TrTlk—TlTrk—TkTlr^sijijisrjjsirrsijrsij则称DTik为张量Tlk的绝对微分.［张量的协变导数及其运算法则］dTikTlk三VTlk=—ij—-rrTlk-TrTlk+TlTrk+「kTlr

ij；ssijQxsisrjjsirrsijrsij称为张量Tlk的协变导数，它是一个五阶张量的分量.ij在普通导数中，对于已微分的张量的每个指标再加上一项就可以构成任意张量的协变导数，对于逆变指标，这项的形式是Ti…=..・+TiTr・・・+・・・;srs…对于协变指标是TW・T【"协变导数的运算法则如下：°若干个同样结构的张量之和的协变导数等于各个张量的协变导数之和，即XTi-i+Ui-i）-VTi-i+VUi--iVli勺+C7lill/—V±li勺+VOli勺sj--•/j--•/sj--•/sj--•/J1JmJ1JmJ1JmJ1Jm°满足积的微分法则，即V（ABC）=（VA）BC+A（VB）C+AB（VC）［自平行曲线］在仿射联络空间中，如果切于曲线上一点M0的每个矢量｛J沿这曲线平彳亍移动时是切于这曲线的，则称这曲线为自平