第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”

第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”考试要求1.了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.基Hl知识诊Bf弓顾教机夯实基咄知识梳理简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、韭叫作逻辑联结词.⑵命题p且q,p或q，Bp的真假判断pqp且qp或q名弟p真真夏真假真假假真假假真假真真假假假假真全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等.⑵常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个尤，有p3)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记任意*EM，p(x)存在x0EM，p(x0)否定存在x0EM，^p(x0)任意x」M，^p(x)［常用结论与微点提醒］含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p或q—见真即真，p且q—见假即假，p与名弟p一真假相反.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.“p或的否定是“昧弟p）且昧弟q）”，“p且q”的否定是“昧弟p）或昧弟q）”.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.诊断自测思善辨析判断下列结论正误（在括号内打""”或“X”）⑴命题“5>6或5>2”是假命题.（）（2）命题名弟（p且q）是假命题，则命题p,q中至少有一个是真命题.（）（3）“长方形的对角线相等”是特称命题.（）（4）存在x^M，p（x0）与任意x^M，名弟p（x）的真假性相反.（）解析（1）错误.命题p或q中，p,q有一真则真.（2）错误.p且q是真命题，则p,q都是真命题.（3）错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.答案⑴X⑵X⑶X（4）V教材敏叱（老教材选修2—1P19习题1—4T2（4）改编）已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题名弟p，名弟q，p或q，p且q中真命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析p和q显然都是真命题，所以名弟p，名弟q都是假命题，p或q，p且q都是真命题.答案B（新教材必修第一册P23A3改编）命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是.答案有些表面积相等的三棱锥体积不相等考题体验（2020-渭南调研）已知命题p：存在x0eR，xg+4x0+6<0，则名弟p为（）A.任意x^R，x2+4x+6N0B.存在x^R，x2+4x+6>0C.任意x^R，x2+4x+6>0D.存在x^R，x2+4x+6N0解析依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的.答案A(2020-唐山模拟)已知命题p：f(x)=x3~ax的图像关于原点对称；命题q：g(x)=xcosx的图像关于y轴对称.则下列命题为真命题的是()A.^pB.qC.p且qD.p且(^q)解析根据题意，对于f(x)=x3~ax，有f(—x)=(—x)3—a(—x)=—(x3—ax)=—fx),为奇函数，其图像关于原点对称，p为真命题；对于g(x)=xcosx,有g(—x)=(—x)cos(—x)=—xcosx，为奇函数，其图像关于原点对称，q为假命题，则名弟p为假命题，q为假命题，p且q为假命题，p且侧q)为真命题.答案Dnn(2019-豫南五校联考)右“任意xE—4,3,mWtanx+2"为真命题，则实数m的最大值为.解析由xE—4，3，.•.1Wtanx+2W2+J3.…，-、兀兀一，，,-一.、,「任意xE—4，3，mWtanx+2为真命题，则mW1.・.・实数m的最大值为1.答案1I考点聚焦突破...矿&.噩瘫―M基赢疆晶展房矗.，角类讲第期捌点恚.，忿考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】(1)设a,b,c是非零向量.已知命题p：若a・b=0,b・c=0,则a・c=0；命题q：若a〃b,b〃c,则“〃已则下列命题中真命题是()A.p或qB.p且qC.(Bp)且(^q)D.p且(^q)(2)(2020-济南调研)已知命题p：若a>\b\，贝。a2>b2；命题q：m,n是直线，a为平面，若m〃a,na,则m〃n.下列命题为真命题的是()A.p且qB.p且(^q)C.(Bp)且qD.(Bp)且(^q)解析(1)取a=c=(1，0)，b=(0，1)，显然a・b=0，b・c=0，但a・c=1尹0，・p是假命题.又a,b,c是非零向量，由allb知a=xb(x^R)，由bile知b=yc(yER)，••a=xyc,*>a!c,:.q是真命题.综上知p或q是真命题，p且q是假命题.Bp为真命题，Bq为假命题...•侧p)且(Bq)，p且(Bq)都是假命题.(2)对于命题p，由a>\bI两边平方，可得到a2>b2，故命题p为真命题.对于命题q，直线mla，但是m，n有可能是异面直线，故命题q为假命题，Bq为真命题.所以p且(Bq)为真命题.答案(1)A(2)B规律方法1.“p或q”、“p且q”、“Bp”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；⑵判断其中命题p，q的真假；(3)确定“p或q""p且q^“Bp”形式命题的真假.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，Bp则是“与p的真假相反”.【训练1】(1)若命题“p或q”与命题“Bp”都是真命题，则()命题p与命题q都是真命题命题p与命题q都是假命题命题p是真命题，命题q是假命题命题p是假命题，命题q是真命题(2)(2020.衡水中学检测)命题p：若向量a・bv0,则a与b的夹角为钝角；命题q：若cosa-cosg=1,则sin(a+”)=0.下列命题为真命题的是()A.pB.BqC.p且qD.p或q解析(1)因为Bp为真命题，所以p为假命题，又p或q为真命题，所以q为真命题.(2)当a，b方向相反时，a-bv0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；若cosacos。=1，则cosa=cosp=1或cosa=cos。=一1，所以sina=sin月=0，从而sin(a+”)=0，命题q是真命题，所以p或q是真命题.答案(1)D(2)D考点二全称量词与存在量词■多维探究角度1含有量词命题的否定【例2—1】(2020-河南八所重点高中联考)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题〃：任意f(x)^A,\f(x)\^B,则名弟p为()A.任意f(x)^A,\f(x)\^BB.任意f(x)^A,\f(x)\^BC.存在f(x)^A,\f(x)\^BD.存在f(x)^A,\f(x)\^B解析全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论.ABp：存在f(x)^A,\f(x)\^B.答案C角度2全称(特称)命题的真假判断【例2—2】(1)已知定义域为R的函数fx)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()任意x^R，f(~x)^f(x)任意x^R，f(~x)^—f(x)存在x0ER，汽一x0)尹fx0)存在x0ER，f(—x0)^—f(x0)(2)(2020-九江检测)已知命题p：任意xEN+，［2Jn［3J，命题0：存在xER，2+21-x=2顼2，则下列命题中是真命题的是()A.p且qB.(Bp)且qC.p且(Bq)D.(Bp)且(Bq)解析(1)・.・定义域为R的函数fx)不是偶函数，A任意x£R，f(~x)=f(x)为假命题，.,•存在x0^R,f(~x0)^f(x0)为真命题.(2)因为y=x”(〃EN+)在(0，+8)上递增.A任意xEN+，［2］日［3］成立，p为真命题.又2x+21-xN2\：'2x・21-x=2%」2，当且仅当2%=21-%，即x=2时，上式取等号，则q为真命题.因此p且q为真命题.

答案(1)C(2)A规律方法1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“任意x^M,p(x)v是真命题，需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x=x0,使p(x0)成立即可.【训练2】(1)(角度1)命题“存在x0ER,1fx°)W2”的否定形式是()任意x^R,1<(x)W2存在x0eR,1fx0)W2存在x0ER,f(x0)W1或fx0)>2任意xER,fx)W1或f(x)>2(2)(角度2)(2020-合肥模拟)已知命题p：任意x>0,ex>x+1,命题g：存在xE(0,+8),lnxNx,则下列命题正确的是()A.p且qB.(^p)且qC.p且(^q)D.(Bp)且(^q)解析(1)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“任意x£R,fx)W1或fx)>2”.(2)令f(x)—ex—x—1，则f(x)—ex—1，当x>0时，f(x)>0，所以fx)在(0，+8)上单调递增，・・・fx)顼0)=0，即ex>x+1，命题p真；令g(x)=lnx—x，11—xx>0，则g'(x)=£—1=^^当xE(0，1)时，g'(x)>0；当xE(1，+8)时，g'(令g(x)=lnx—x，11—xx>0，则g'(x)=£—1=^^g(x)<0在(0，+8)上恒成立，则命题q假，因此^q为真，故p且昧弟q)为真.答案(1)D(2)C考点三由命题的真假求参数.….-典例迁移【例3】(1)已知命题p:“任意xE[0,1],iNex”；命题q："存在xQ^R,使得x2+4x0+a=0”.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为.(2)(经典母题)已知fx)=ln(x2+1),g(x)=g)—m，若对任意呵仁[0,3],存在x2£[1,2],使得fX])Ng(x2),则实数m的取值范围是.解析⑴若命题“p且q”是真命题，那么命题p,q都是真命题.由任意x£[0,1],aNex,得aNe；由存在XgER,使x2+4xo+a=0,得A=16—4aN0,则aW4,因此eWaW4.则实数a的取值范围为[e,4].⑵当x『0,3]时，fx)min=f(0)=0,1当xe[1,2]时，g(x)min=g(2)=4-m,由f(x)minNg⑴mi『得0N：—m，所以mN：.答案(1)[e,4](2)[4,+-j【迁移】本例(2)中，若将“存在x2e[1,2]”改为“任意x2e[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是.解析当x『1,2]时，g(x)max=g(1)=2—m,对任意x日0,3],任意x日1,2]使得f(x)Ng(x)等价于f(x)-Ng(x),得0N?1212minmax2・>1—m,..mN2.答案|,+-j规律方法1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；⑵根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.全称命题可转化为恒成立问题.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练3】已知命题p：任意x^R，2x<3x，命题q：存在x^R,x2=2—x,若命题昧弟〃)且q为真命题，则x的值为()A.1B.-1C.2D.-2解析因为名弟〃：存在xER,2xN3x，要使昧弟〃)且q为真，所以名弟p与q同时为真.由2xN3x，得(|Jn1,所以xW0.①由x2=2—x,得x=1或x=—2.②由①②知x=—2.答案D核心素提A":顶会理**会成芸顶会理会会成顶蹬会成柜会会遂m邸..会宣会会尊会注会些会顶顶荒会成描展视野"金振.九素.羌扳逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.类型1形如“对任意x1eA,都存在x疔B,使得g(x2)=AX])成立”的问题191【例1】已知函数f(x)=x3+(1—a)x2—a(a+2)x,g(x)=&x—3，右对任意x1^[-1,1],总存在x2『0,2],使得_f,(x1)+2ax1=g(x2)成立，求实数a的取值范围.解由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为一3，6.令h(x)=f(x)+2ax=3x2+2x—a(a+2)，则h'(x)=6x+2，由h'(x)=0得x=—；.当xE—1，—3]时，h'(x)<0；当xe[—3，1时，h'(x)>0，所以[h(x)]min=h[—3]=1—a2—2a—3.又由题意可知，h(x)的值域是一3，6的子集，h(一1)W6,I，vI，vh(1)W6,所以一a2一2a解得实数a的取值范围是[—2,0].思维升华理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数坊)的值域是g3)的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.类型2形如“类型2形如“存在xieA及x舟B,使得f(X1)=g(x2)成立”的问题

x+1，xE(2，16,x4。，【例2】已知函数f(x)='2x3nx函数g(x)=ksing—2k+2(k>0),，若存在呵日0，1]及x2e[0，1]，使得fx])=g(x2)成立，求实数k的取值范围.「3k]解由题意，易得函数f(x)的值域为[0，1]，g(x)的值域为2—2k，2一了，并且两个值域有公共部分.，、3'1.、4~.

先求没有公共部分的情况，即2—2k>1或2—2k<0，解得k<2或k〉^，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是1，4.思维升华本类问题的实质是“两函数fx)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，贝寸“等价转化”策略是利用“fx)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型3形如“对任意x1eA，都存在x舟B，使得fx])vg(x2)成立”的问题【例3】已知函数f(x)=x+x，g(x)=2x+a，若任意x1^2，1，存在x2^[2，3]，使得f(x1)^g(x2)，则实数a的取值范围是.解析依题意知f解析依题意知f(x)maxWg(x)max.,「fx)=x+x在2,1上是减函数，•"max*12•"max*12又g(x)=2x+a在［2,3］上是增函数，•・g(x)max=8+a,一，，17一.一一1因此~2W8+a，则aN].答案2，+8〕思维升华理解量词的含义，将原不等式转化为fx)]maxW[g(x)]maX；利用函数的单调性，求fx)与g(x)的最大值，得关于a的不等式，求得a的取值范围.思考1：在[例3]中，若把“存在x2e[2,3]”变为“任意x2e[2,3]”时，其它条件不变，则a的取值范围是.问题“等价转化”为f(x)]maxW[g(x)]min，请读者完成.思考2：在[例3]中，若将“任意xie[11]”改为“存在叫』1，1]”，其它条1匕1匕件不变，则a的取值范围是.问题“等价转化”为fx)minWg(x)max，请读者自行求解.I分层恨时帽%I分层恨时帽%|点芸:A级一、选择题1.(2020-咸阳调研)命题p:“任意x>1，A.任意x>1，x2—1W0C.存在x0>1，尤0—1W0解析命题p：“任意x>1,X2—1>0”答案CSH警鼬遒箴鑫通鲤B麒噩遂层训缕噩据毋t西基础巩固X2—1>0”，则名弟p为()B.任意xW1，x2—1W0D.存在x0W1，尤0—1W0，则名弟p为：存在x0>1,x2—1W0.2.第32届夏季奥林匹克运动会将于2020年7月24日在日本东京隆重开幕.在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”形是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为()A.(Bp)或(^q)B.p或(^q)C.(^p)且(^q)D.p或q解析命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为昧弟p)或昧弟q).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p且q”的否定，选A.答案A命题"任意n^N+，f(n)EN*且f(n)^n”的否定形式是()任意n^N+，f(n)£N+且f(n)>n任意n^N+，f(n)£N+或f(n)>n存在n0EN+，f(n0)£N+且f(n0)>n0存在n0^N+，f(n0)^N+或f(n0)>n0解析..•全称命题的否定为特称命题，・•・该命题的否定是：存在n0仁N+，f(n0)£N+或f(n0)>n0.答案D已知命题〃：存在x^R，x2—x+1N0；命题g：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是()A.p且qB.p且^qC.^p且qD.^p且^q解析因为X2—x+1=[x—2j+4>0恒成立，所以p为真命题，则^p为假命题;当a=1，b=—2时，满足a2<b2，但不满足a<b，所以q为假命题，则名弟q为真命题，根据且命题同真则真的原则，p且名弟q为真命题.答案B(2020-河南六校联考)已知命题p：对任意xER，总有2x>x2,q：“ab>4”是“a>2,b>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是()A.p且qB.(^p)且qC.p且(^q)D.(Bp)且(^q)解析当x=2时，2x=x2，所以p是假命题；由a>2,b>2可以推出ab>4；反之不成立，例如a=2,b=4，所以“ab>4”是“a>2,b>2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以昧弟p)且昧弟q)是真命题.答案D已知命题“存在xER，4x2+(a—2)x+4w0”是假命题，则实数a的取值范围为()A.(—8，0)B.[0，4]

C.[4,+8)D.(0,4)解析因为命题“存在x£R,4x2+0—2)x+1W0”是假命题，所以其否定命题“任意x^R,4x2+(a—2)x+4>0"是真命题.则A=(a—2)2—4X4x4=a2—4a<0，解得0<a<4.答案D命题〃：函数y=log2(x—2)的单调递增区间是[1,+8),命题q：函数y=3x+]的值域为(0,1).下列命题是真命题的为()A.p且qB.p或qC.p且(^q)D.^q解析由于y=log2(x—2)的单调递增区间是(2,+8)，所以命题p是假命题.由3x>0,得3x+1>1,所以0<丁工1<1,3x+1所以函数y=L的值域为(0,1),故命题q为真命题.所以p且q为假命题，p或q为真命题，p且昧弟q)为假命题，Bq为假命题.答案B已知函数f(x)=a2x—2a+1.若命题“任意xE(0,1),fx)尹0”是假命题，则实数a的取值范围是()cG+8A.g,1)B.(1,+8)D.[2,1]u(1,+8)解析L,函数fx)=a2x—2a+1,命题"任意xE(0,1),fx)尹0”是假命题，・.・原命题的否定：“存在x0e(0,1),使fx0)=0”是真命题，•**f(1)f(0)<0，即(a2—2a+1)(—2a+1)<0,cG+8(a—1)2(2a—1)>0，解得a>2,且a尹1,・.・实数a的取值范围是g,1]u(1,+8).

答案D二、填空题9.若"任意xe[。，孔tanxWm"是真命题，则实数m的最小值为,兀一4依题意，m>ymax,解析.・•函数y=tan尤在〔0，』上是增函数，兀一4依题意，m>ymax,答案110.命题p的否定是“对所有正数x，山>x+1”，则命题p可写为解析因为p是名弟p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.答案存在x0E(0，+8)，••《x0Wx0+111.(2020-湖南百校大联考改编)下列四个命题:p1：任意x£R,2x>0；p2：存在x£R,x2+x+1W0；p3:任意x^R,sinx<2x；p4:存在x^R,cosx>x2+x+1.其中是真命题的为.解析任意x^R，2x>0恒成立，p]是真命题.又尤2+尤+1="+项+|>0，„*.p2是假命题.由sin[—2n]=1>2~2兀，知p3是假命题.1取x=一§时，cofosn但x2+x+1=4<号，则p1取x=一§时，cofosn综上，p1，p4为真命题，p2,p3是假命题.答案p1,p412.已知命题p：存在x0^R,(m+1)(x2+1)^0,命题q：任意x^R,x2+mx+1>0恒成立.若p且q为假命题，则实数m的取值范围为.解析由命题p：存在x0ER，(m+1)(x2+1)W0可得mW—1；由命题q：任意xER，x2+mx+1>0恒成立，即^=m2—4<0，可得一2<m<2，若p且q为真命题，则一2vmW—1，因为p且q为假命题，所以mW—2或m>—1.答案(一8,—2]U(—1,+8)B级能力提升命题“任意x£R,存在n£N+，使得n*”的否定形式是()任意xER,存在nEN+，使得n<x2任意xER,任意nEN+，使得n<x2存在xER,存在nEN+，使得n<x2存在x0ER,任意nEN+，使得n<x0解析改变量词，否定结论.・.・该命题的否定应为：存在x0eR，任意nEN+，使得n<x0.答案D(2020-南昌质检)下列有关命题的说法正确的是()命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x尹1”6命题p：存在x°ER,sinx0=为；命题q：任意xER,x>sinx,则命题p或q为真命题“存在x°ER,x2+xo+1<0”的否定是“任意xER,x2+x+1<0”命题"若x=y,则sinx=siny”的逆否命题是真命题解析选项A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2尹1，则x尹1”，..・A选项错误.选项B，,「sinx0=¥^>1，.・命题p是假命题.命题q：当x=0时，x=sinx，.••