二轮复习讲义第13讲不等式的综合运用

第13讲不等式的综合运用陆慕高级中学袁卫刚何贵宝一、高考要求能运用不等式知识解析和解决较为复杂的或综合性的问题．二、两点解读重点：不等式与函数、数列、解几等综合问题以及实质应用问题．难点：将综合问题化归为不等式问题，用不等式知识解决实责问题．三、课前训练1．若关于x的不等式|xsin2||xcos2|k的解集非空，则实数k的取值范围是（）（A）k≥1（B）k＞1（C）0＜k＜1（D）0＜k≤12．点Px,y是直线x3y20上的动点，则代数式xy327有（）（A）最小值6（B）最小值8（C）最小值6（D）最小值83．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总储藏花销为4x万元，要使一年总运费与总储藏花销之和最小，则x吨．4．已知定义在R上的偶函数（fx）的单调递减区间为［0，+∞)，则不等式f(x)f(2x)的解集是．四、典型例题例1现有一块长轴长为10分米，短轴长为8分米形状为椭圆的玻璃镜子，欲今后镜中划一块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为（）（A）10平方分米（B）20平方分米（C）40平方分米（D）1600平方分米41例2已知数列{an}的通项公式为anlog2n1（nN*），设其前n项和为Sn，则使Sn5成立的自然数n（n2）（A）有最小值63（B）有最大值63（C）有最小值31（D）有最大值31例3对全部正整数n，不等式2x1n恒成立，则实数x的取值范围xn1是．例4若函数f(x)log2(x1)，且a＞b＞c＞0，则f(a)、f(b)、f(c)的大小关系abc是（）（A）f(a)＞f(b)＞f(c)（B）f(c)＞f(b)＞f(a)abccba（C）f(b)＞f(a)＞f(c)（D）f(a)＞f(c)＞f(b)bacacb例5已知函数yf(x)x3xa(x[1,1],aR).（1）求函数f(x)的值域；（2）设函数yf(x)的定义域为D，若对任意的x1,x2D，都有|f(x1)f(x2)|1成立，则称函数yf(x)为“标准函数”，否则称为“非标准函数”,试判断函数yf(x)x3xa(x[1,1],aR).可否为“标准函数”，若是是，请给出证明；若是不是，请说明原由例6以下列图，在直角坐标系

xoy中，射线

OA在第一象限且与

x轴的正方向成定角

60

，若点

P在射线

OA上运动，点

Q在

y轴负半轴上运动，且

POQ

面积为定值

23．（1）求线段

PQ

中点

M

的轨迹

C

的方程；（2）若

R1、

R2表示曲线

C上的两个动点，且OR1

OR2

2,u

，求

u的最大值．第13讲不等式的综合运用过关练习．若f(x)log1x，Af(ab)，Gf(ab)，Hf(2ab)，其中a，b>0，12ab2则A，G，H的大小关系是()（A）A≤G≤H（B）A≤H≤G（C）H≤G≤A（D）G≤H≤A2．若f(x)2x的反函数为f1(x)，且f1()1()411ab（A）1（B）1（C）1（D）12343．已知fx（A）m3

lg

x28x（B）

7在m,m1上是增函数，则m4（C）1m3

m的值范围是()（D）1<m<34．设f(x)x2axb，且1f(1)2,2f(1)4，则点(a,b)在aob平面上的地域的面积是()（A）1（B）1（C）2（D）9225．在R上定义运算△：x△y=x(1-y)

若不等式

(x-a)△(x+a)<1，对任意实数

x恒成立，则实数a的取值范围是．6．定义：若存在常数

k，使得对定义域

D内的任意两个

x1,x2

x1

x2

，均有fx1

fx2

kx1

x2

成立，则称函数

fx在定义域

D上满足利普希茨条件．

若函数fx

xx

1

满足利普希茨条件，则常数

k的最小值为

．7．函数f(x)loga(x3a)(a0且a1)，当点P(x,y)是函数yf(x)图象上的点时，Q(x2a,y)是函数yg(x)图象上的点．(1)写出函数yg(x)的解析式；g(x)|1，试确定a的取值范围．(2)当x[a2,a3]时，恒有|f(x)12，定义fn+11nnfn(0)1（n∈N*）．x21fn(0)求数列｛an｝的通项公式；若Ta2a3a2na，4n2n（n∈N*），试比较9T2n与(2)2nn=24n14nQn的大小，并说明原由．第13讲不等式的综合运用参照答案课前训练部分1.B2.A3.204.(1，＋∞)典型例题部分例1.解:椭圆方程为x2y21，设极点坐标为(x0,y0)，矩形面积S4x0y0，而25161x02y022x0y0,x0y010，S40.选C.251654例2.解:23n123L(n1)2，Snlog23log24Llog2n2log2(34L(n2))log2n2log2225log21,22,n264，即n63，有最小值63.选A.n32n264例3.解:2x11,解得x1.yx(b,f(b))例4.解:由数形结合，看作三点与原点的连线(a,f(a))(c,f(c))的斜率.选B.ox例5.解：（1）f/(x)3x21，令3x210,x3[1,1].3x(,3)3(3,3)3(3,)333333f'(x)+0-0+f(x)极大值极小值可见，当x[1,1]时，f(x)maxf(3)a23,f(x)minf(3)a23,39392323函数f(x)值域为[a9,a].9（2）若是关于任意x1,x2D,|f(x1)f(x2)||f(x)maxf(x)min|1成立,即可证明f(x)是“标准函数”,否则，f(x)不是“标准函数”|f(x1)f(x2)||f(x)maxf(x)min|431,所以f(x)是“标准函数”9例6.解：（1）设Mx,yx0，由题意，得P2x,23x,Q0,2y23x，OP4x,OQ23x2y，又S14x23x2ysin150x23x2y23y3x1x0，2x1∴轨迹C的方程为y3xx0.x（2）由题意设R1x1,3x11,R2x2,3x21OR22,u，x1，∵OR1x2∴x1x22，u3x1112x2x232x1x1x22311223110，x2x14∴当且仅当x1x21时，u有最大值，最大值为0.过关练习1.A2.B3.C4.B5.(1,3)6.1222x7.解：(1)设(0，0)是=()图象上的点，(，)是=()图象上的点，则PxyyfQxyygxxx02a,x0x2a,∴－y=loga(x+2a－3a),∴yy0.y0y.1(x＞a)，即y=g(x)=loga1(x＞a).∴y=logaxaxax3a0,(2)∵a∴x＞3a.x0,∵f(x)与g(x)在［a+2，a+3］上有意义，∴3a＜a+2.∴0＜a＜1.|f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴|loga(x－3a)(x－a)|≤1恒成立.∴1loga[(x2a)2a2]1,a≤(x－2a)2－a2≤1.0a1a对x∈［a+2，a+3］时恒成立，令h(x)=(x－2a)2－a2，其对称轴x=2a，2a＜2，而2＜a+2，∴当x∈［a+2，+3］时，(x)min=(+2)，(x)max=(a+3).ahhahhah(x)min,a44a,0＜a≤957.∴1h(x)max196aaa128.解：（1）∵f(0)=2，a=211，f(0)=f［f(0)］=211n1224n+11fn(0)21fn1(0)11fn(0)1fn(0)1fn(0)11∴an+1==-fn1(0)=2==-2fn(0)2an.2242fn(0)21fn(0)∴数列｛a｝是首项为1公比为-1的等比数列，∴a1(1n1n42n42（2）QT2na12a23a3L(2n1)a2n12na2n，1T2n=(1a1)(1(1)3a3L(11∴22)2a22)(2n1)a2n1()2na2n222=a22a33a4L(2n1)a2nna2n两式相减，得3T2n=a1a2a3La2nna2n.211(1)2n∴3T2n=42+n×1(-1)2n1=1-1(-1)2n+n(-1)2n1.21142662422T2n111)2n