高考试题分类解析圆锥曲线方程

2006年高考试题分类解析（圆锥曲线方程2）31．(2006年重庆卷)已知一列椭圆Cn:x2+=1.0＜bn＜1,n=1,2..若椭圆C上有一点Pn使Pn到右准线ln的距离d.是｜PnFn｜与｜PnCn｜的等差中项，其中Fn、Cn分别是Cn的左、右焦点.（Ⅰ）试证：bn≤(n≥1);（Ⅱ）取bn＝，并用SA表示PnFnGn的面积，试证：S1＜S1且Sn＜Sn+3(n≥3).图(２２)图证：（1）由题设及椭圆的几何性质有设因此，由题意应满足即即,从而对任意（Ⅱ）设点得两极，从而易知f(c)在（，）内是增函数，而在（，1）内是减函数.现在由题设取是增数列.又易知故由前已证，知32．（2006年上海春卷）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为.观测点同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解：（1）设曲线方程为，由题意可知，..……4分曲线方程为.……6分（2）设变轨点为，根据题意可知得，或（不合题意，舍去）..……9分得或（不合题意，舍去）.点的坐标为，……11分.答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令.……14分33．（2006年全国卷II）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由EQ\O(AF,\S\UP8(→))＝λEQ\O(FB,\S\UP8(→))，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，EQ\b\lc\{(\a\al(－x\S\do(1)＝λx\S\do(2)①,1－y\S\do(1)＝λ(y\S\do(2)－1)②))将①式两边平方并把y1＝EQ\f(1,4)x12，y2＝EQ\f(1,4)x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝EQ\f(1,λ)，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝EQ\f(1,4)x2，求导得y′＝EQ\f(1,2)x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝EQ\f(1,2)x1(x－x1)＋y1，y＝EQ\f(1,2)x2(x－x2)＋y2，即y＝EQ\f(1,2)x1x－EQ\f(1,4)x12，y＝EQ\f(1,2)x2x－EQ\f(1,4)x22．解出两条切线的交点M的坐标为(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，EQ\f(x\S\do(1)x\S\do(2),4))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－1)．……4分所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))＝(EQ\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2)，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝EQ\f(1,2)(x22－x12)－2(EQ\f(1,4)x22－EQ\f(1,4)x12)＝0所以EQ\O(FM,\S\UP8(→))·EQ\O(AB,\S\UP8(→))为定值，其值为0．……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝EQ\f(1,2)|AB||FM|．|FM|＝EQ\r(,(\f(x\S\do(1)＋x\S\do(2),2))\S(2)＋(－2)\S(2))＝EQ\r(,\f(1,4)x\S\do(1)\S(2)＋\f(1,4)x\S\do(2)\S(2)＋\f(1,2)x\S\do(1)x\S\do(2)＋4)＝EQ\r(,y\S\do(1)＋y\S\do(2)＋\f(1,2)×(－4)＋4)＝EQ\r(,λ＋\f(1,λ)＋2)＝EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ))．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋EQ\f(1,λ)＋2＝(EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ)))2．于是S＝EQ\f(1,2)|AB||FM|＝(EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ)))3，由EQ\r(,λ)＋EQ\f(1,\r(,λ))≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．34．（2006年四川卷）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点，如果，且曲线上存在点，使，求的值和的面积解析：本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。满分12分。解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知故曲线的方程为设，由题意建立方程组消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有解得又∵依题意得整理后得∴或但∴故直线的方程为设，由已知，得∴，又，∴点将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意∴，点的坐标为到的距离为∴的面积35．（2006年全国卷I）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值。解：（I）根据题意，椭圆半焦距长为，半长轴长为，半短轴长，即椭圆的方程为。设点P坐标为（，）（其中），则切线C的方程为：点A坐标为：（，0），点B坐标为（0，）点M坐标为：（，）所以点M的轨迹方程为：（且）（II）等价于求函数

（其中）的最小值当时等号成立，此时即。因此，点M坐标为（，）时，所求最小值为。36．（2006年江苏卷）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P、、关于直线y＝x的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程。解：（I）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距。，∴，，故所求椭圆的标准方程为+；（II）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：、（0，-6）、（0，6）设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，，∴，，故所求双曲线的标准方程为-。点评：本题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力37.（2006年湖北卷）设、分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，证明点在以为直径的圆内.（此题不要求在答题卡上画图）解析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。解：（Ⅰ）依题意得a＝2c，＝4，解得a＝2，c＝1，从而b＝.故椭圆的方程为.（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）.eq\o\ac(○,1)又点M异于顶点A、B，∴－2<x0<2，由P、A、M三点共线可以得P（4，）.从而＝（x0－2，y0），＝（2，）.∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.eq\o\ac(○,2)将eq\o\ac(○,1)代入eq\o\ac(○,2)，化简得·＝（2－x0）.∵2－x0>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），则－2<x1<2，－2<x2<2，又MN的中点Q的坐标为（，），依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝（x1－2)(x2－2)＋y1y1eq\o\ac(○,3)又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，∴，即y2＝eq\o\ac(○,4)又点M在椭圆上，则，即eq\o\ac(○,5)于是将eq\o\ac(○,4)、eq\o\ac(○,5)代入eq\o\ac(○,3)，化简后可得－＝.从而，点B在以MN为直径的圆内。38．（2006年江西卷）如图，椭圆Q：（ab0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点求点P的轨迹H的方程在Q的方程中，令a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0），确定的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？解：如图，（1）设椭圆Q：（ab0）上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则1当AB不垂直x轴时，x1x2，由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0 b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）2当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0（2）因为，椭圆 Q右准线l方程是x＝，原点距l的距离为，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0）则＝＝2sin（＋）当＝时，上式达到最大值。此时a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1设椭圆Q：上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面积S＝|y1|＋|y2|＝|y1－y2|设直线m的方程为x＝ky＋1，代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0由韦达定理得y1＋y2＝，y1y2＝，4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝令t＝k2＋11，得4S2＝，当t＝1，k＝0时取等号。因此，当直线m绕点F转到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大。39．（2006年天津卷）如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点．连结交小圆于点．设直线是小圆的切线．（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，证明．（1）证明：由题设条件知，，故，即．因此，，解：在中，．于是，直线的斜率．设直线的斜率为，则． 这时，直线的方程为，令，则．所以直线与轴的交点为．（2）证明：由（1），得直线的方程为，且．②由已知，设，，则它们的坐标满足方程组③ 由方程组③消去，并整理得．④由式①、②和④，． 由方程组③消去，并整理得．⑤由式②和⑤，．综上，得到．注意到，得 ．40．（2006年辽宁卷）已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为(=1\*ROMANI)证明线段是圆的直径;(=2\*ROMANII)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值。(=1\*ROMANI)证明1:整理得:设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则即整理得:故线段是圆的直径证明2:整理得:……..(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即去分母得:点满足上方程,展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径证明3:整理得:……(1)以线段AB为直径的圆的方程为展开并将(1)代入得:故线段是圆的直径(=2\*ROMANII)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则又因所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则当y=p时,d有最小值,由题设得.解法2:设圆C的圆心为C(x,y),则又因所以圆心的轨迹方程为设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为,则因为x-2y+2=0与无公共点,所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为将(2)代入(3)得解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则又因当时,d有最小值,由题设得.点评：本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力.41．（2006年北京卷）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.解：（Ⅰ）由知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，实半轴长． 又半焦距，故虚半轴长． 所以的方程为．（Ⅱ）设的坐标分别为， 当轴时，，从而． 当与轴不垂直时，设直线的方程为，与的方程联立，消去得 ． 故． 所以 又因为，所以，从而． 综上，当轴时，取得最小值2．42．（2006年上海卷）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．证明：（1）设过点的直线交抛物线于点．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与抛物线相交于点，．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中．由得，则．又，．综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题．解：（2）逆命题是：设直线交抛物线于两点，如果，那么该直线过点．该命题是一个假命题．例如：取抛物线上的点，此时，直线的方程是，而不在直线上．说明：由抛物线上的点满足，可得或．如果，可证得直线过点；如果，可证得直线过点，而不过点．43．（2006年浙江卷）如图，椭圆＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=.(Ⅰ)求椭圆方程；(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：∠ATM=∠AFT.解（1）过点的直线方程为，由题意得有唯一解，即有唯一解，，故．，即，．从而得，．故所求的椭圆方程为．（2）由（1）得，故，．从而由解得，所以．因为，又，，得．因此．点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．44.(2006年湖南卷）已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.(Ⅰ)当AB⊥轴时,求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；(Ⅱ)是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，