辽宁省沈阳市沈北新区2021-2022学年九年级(上)期末数学试卷及答案解析

2021-2022学年沈阳市沈北新区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题2分，共20分）1（2分）二次函数y＝（x21的顶点是（ ）A（2，﹣） B（

C（﹣2，﹣1）

D（﹣2，）2（2分）点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（ ）A（5，﹣）

B（﹣3） C﹣﹣

D（，）3（2分）在△C中，∠90°，C4C＝3，则（A．sinA＝ B．cosA＝ C．cosB＝

）D．tanB＝4（2分）菱形D的周长是8m，∠C＝60°，那么这个菱形的对角线D的长是（ ）A． cm B．2 cm C．1cm D．2cm5（2分）如图，BDF，若 ＝，＝9，则F的长为（ ）A．2 B．4 C．6 D．86（2分）这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是（ ）A． B． C． D．7（2分）如图，在△C中，点DE分别是边BC的中点，FC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为（ ）A．4 B．8 1页（5页）

D．48（2分）如图，在平面直角坐标系中，△B与△D位似，点O是它们的位似中心，已知A（﹣，4，（3，﹣，则△B与△D的面积之比为（ ）A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：19（2分）下列各组中两个图形不一定相似的是A．有一个角是120°的两个等腰三角形C．35°的两个等腰三角形

）D．两个等边三角形1（2分）已知二次函数yax+bc的图象如图所示，则下列结论中错误是（ ）A．a﹣b+c＞0 B．abc＞0 C．4a﹣2b+c＜0 D．2a﹣b＝0二.填空题（每题3分，共18分）13分）如图，已知菱形D的边长为2，∠D＝6°，若EB，垂足为点，则DE的长为 ．13分）如图，C中s＝ n＝C5，则C的面积是 ．13分）如图，直线y＝x与双曲线y＝交于点B．过点A作P⊥x轴，垂足为点连接P若B的坐标32则S＝ ．2页（5页）14（3分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发y（米）x（米）

x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．13分）C是一块锐角三角形的材料，边C＝120m，高D80m，要把BCAB、ACmm．1（3分）如图，在矩形D中，B3C＝4，点P是对角线C上一点，若点P、A、B组成一个等腰三角形时，△PAB的面积为 ．三、解答题1（8分）解方程．（1）2x2+3x＝3． （2）计算：4sin30°+2cos45°﹣tan60°﹣2．16分）在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字134的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀．从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于2的概率为 ．摸出小球上的数字和恰好是奇数的概率．19（6分）如图某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10O45C岛O（结果保留根号）3页（5页）28分2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程投入，2021144求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；20222019202120222（8分4的正方形DE在DF在DE＝，DF＝1．BE请判断△BEF210分）如图，矩形D的顶点B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比y1＝y2＝xDy1＝BCE，AD＝3．D点的坐标及反比例函数的关系式；24，求出△CDE直接写出当x＞4时的取值范围 ．23（12分）如图，点E是平行四边形D对角线ACFBEEF＝BE，EFCDG．求证：DF∥AC；DE、CF2AB＝BFGCDCFDE在（2）CFDEBC＝80AB4页（5页）5页（5）24（12分）如图，已知点P在矩形D外，∠B＝90°，＝B，点E，F分别在AD，BC上运动，且∠EPF＝45°，连接EF．（1）求证：△APE∽△BFP．（2）当∠PEF＝90°，AE＝2时，①求AB的长；②直接写出EF的长；（3）直接写出线段AE、BF、EF之间的数量关系．212分）如图，抛物线y＝a+b2交x轴于点（﹣3）和点（10，交y轴于C．求该抛物线的解析式；点D（﹣P面积的最大值；M，使△MABABM的坐标；若不存在，并说明理由；N，使△BCNN若不存在，说明理由．PAGE5页（16页）2021-2022学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共20分）【解答】解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣1，∴该函数图象的顶点坐标为﹣﹣故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【分析】先根据点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：∵点（﹣3，5）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝﹣3×5＝﹣15，A、∵5×（﹣3）＝﹣15，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；B、∵﹣×3＝﹣≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；C、∵﹣5×（﹣3）＝15≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；D、∵×3＝≠﹣15，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．tanB即可．【解答】解：由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5，所以sinA＝ ＝

＝

＝，tanB＝ ＝，BACD故选：B．【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．由菱形的性质得BC＝mACBDC⊥C＝BmA＝mB＝即可求解．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为8cm，BC＝（mACB＝DC⊥，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2cm，＝1m，

m，在△B中，由勾股定理得：B＝ ＝ ＝m，∴BD＝2OB＝2故选：B．

m，【点评】OB的长是解题的关键．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ ＝ ，＝，BD＝9，∴ ＝，解得：DF＝6，故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【分析】12结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的结果有2种，∴两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为 ＝，故选：B．【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出ABRT△ABF30直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝4，∴AB＝2DF＝8，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴AF＝∴AF＝AB＝4，∴BF＝故选：D．

＝ ＝4．【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．【分析】直接利用位似图形的性质结合对应点坐标得出位似比，进而得出面积比．【解答】解：∵△B与△D位似，点O是它们的位似中心，A（﹣6，4，C（3，2，∴△OABOCD6：3＝2：1，则△OABOCD22：1＝4：1．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．【分析】根据相似三角形的判定及各图形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、有一个角是120°的两个等腰的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；B、两个等腰直角的三组角分别对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，不符合题意；C、各有一个角是35°的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是35°，而另一个等腰三角形的顶角是35°，则两个三角形一定不相似，符合题意；D、两个等边三角形的各内角都为60°，所以两等边三角形相似，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似图形的判断，严格按照定义，对应边成比例，对应角相等进行判断即可，另外，熟悉等腰三角形，等腰直角三角形，等边三角形的性质对解题也很关键．【分析】a，b，c判断即可．【解答】解：由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，故A项正确，不符合题意；∵抛物线开口向下，﹣＝﹣1，与y轴的交点为（01，∴a＜0，b＝2a＜0，c＝1＞0，∴2a﹣b＝0，abc＞0B、D项正确，不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在原点和点（1，0）之间，∴另一个交点在（﹣2，0）与（﹣3，0）之间，x＝﹣2y＝4a﹣2b+c＞0C2ab关系，以及二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．二.填空题（每题3分，共18分）【分析】DE⊥AB，根据垂直的定义得到∠AED＝90ADE三角形，在此直角三角形中，根据锐角三角函数的定义得到sin∠BAD＝ ，将∠BAD的度数以及AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出DE．【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，∠BAD＝60°，AD＝2，∴sin60°＝ ，则DE＝AD•sin60°＝2× ＝故答案为：【点评】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，以及锐角三角函数，锐角三角函数很好的建立了三角形的边角关系，要求学生找出已知与未知的联系，选择合适的三角函数来解决问题．【分析】ADAD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．∵△ABCcosB＝，sinC＝，AC＝5，∵△ABCcosB＝，sinC＝，AC＝5，∴cosB＝＝，∴∠B＝45°，∵sinC＝＝＝，∴AD＝3，∴CD＝4，∴BD＝3，则△ABC的面积是：×AD×BC＝×3×（3+4）＝ 故答案为： ．【点评】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．根据反比例函数的中心对称性，由B的坐标，即可求得（﹣，2，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：∵B的坐标为（，2，A（﹣，﹣2，AAP⊥xP，∴OP＝3，S＝

＝3，【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数和正比例函数的中心对称性，三角形的面积，求得A的坐标是解题的关键．【分析】y＝0y＝0x【解答】y＝0解得，x＝﹣2（舍去＝故答案为：10．

x2+x+＝0，【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．【分析】利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出边长．【解答】PQMNQMBC上，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴ ．设ED＝x，∴PN＝MN＝ED＝x，，∴解得：x＝48，∴这个正方形零件的边长是48mm．故答案为：48．【点评】此题主要考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的对应高的比等于相似比是解决问题的关键．BBM⊥ACM，根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出高BM，分为三种情况：①AB＝BP＝3，②AB＝AP＝3，③AP＝BP，分别画出图形，再求出面积即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，第6页（共16页）PAGE17页（16页）由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝5，有三种情况：AB＝BP＝31BBM⊥ACM，，∴＝，解得：BM＝，∵AB＝BP＝3，BM⊥AC，∴AM＝PM＝∴△PAB的面积S＝

＝，＝× × ＝ ；②当AB＝AP＝3时，如图2，，，∴△PABS＝＝＝；③作B的垂直平分线QB于C于PPN＝N＝，∵四边形ABCD是矩形，NQ⊥AB，∴PN∥BC，∵AN＝BN，∴PN＝BC＝＝2，∴PN＝BC＝＝2，∴△PABS＝＝2＝3；即△PAB的面积为故答案为：

或

或3，【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识点，能化成符合的所有情况是解此题的关键．三、解答题（1）利用公式法求解可得；（2）将特殊锐角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】1）x3＝3，2x2+3x﹣3＝0，∵a＝2，b＝3，c＝﹣3，∴Δ＝32﹣4×2×（﹣3）＝33＞0，∴x＝x＝

＝，x2＝ ；（2）原式＝4×+2× ﹣2﹣﹣2＝ ﹣ ．【点评】此题主要考查了公式法解方程以及特殊角的三角函数值，正确应用解方程的方法是解题关键．（1）列表确定出所有等可能的情况数，找出小球上写的数字不小于2即可求出所求概率；（2）列表确定出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的情况数，即可求出所求概率．）123，4，共4种，22，3，43P（2）＝；故答案为：；11﹣﹣﹣11﹣﹣﹣2（1，2）3（1，3）4（1，4）2（2，1）﹣﹣﹣（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）﹣﹣﹣（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）﹣﹣﹣128则P（两次摸出小球上的数字和恰好是奇数）＝＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．【分析】设OC＝x海里，依题意得BC＝OC＝x海里，AC＝x海里，再根据AC﹣BC＝10海里，即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可．【解答】解：设OC＝x海里，x∵AC﹣BC＝10，∴（ ﹣1）x＝10，∴（ ﹣1）x＝10，x＝＝5（1，5（+1）海里．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意得出关于x的一元一次方程是解答此题的关键．（1）x2021“扶贫工程”的资金＝2019x（2）2022＝2021金×（1+增长率，即可求出2022年该县将投入“扶贫工程”的资金．【解答】1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为依题意得：100（1+x）2＝144，解得：x＝0.2＝20%，＝﹣2.2（不合题意，舍去答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为20%．2144×（1+20%）＝144×1.2172.8（万元．答：预计2022年该县将投入“扶贫工程”172.8万元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）BE（2）利用勾股定理可求EF，BF的长，由勾股定理的逆定理可求解．【解答】1）∵四边形D是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠A＝∠D＝∠C＝90°，＝＝2；（2）△BEF是直角三角形，理由如下：∵AE＝2，DF＝1，∴DE＝2，FC＝3，＝＝＝5，∴EF2+BE2＝25＝BF2，∴∠BEF＝90°，即△BEF是直角三角形．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，利用勾股定理求线段的长是解题的关键．【分析（1）根据AD＝3，得到点D的纵坐标为3，代入y2＝x，解之，求得点D的坐标，再代入y1＝，得到k的值，即可得到反比例函数的关系式；2D3BDB，点C的横坐标代入反比例函数的解析式得到点E的坐标根S＝E×D，代入求值即可得到答案；D的坐标即可求得．【解答】1）根据题意得：点D的纵坐标为把y＝3代入y2＝x得：x＝3，解得：x＝4，即点D（，3，D（4，3）y1＝得：3＝，解得：k＝12，，ABCD根据题意得：3m＝24，解得：m＝8，即点B，点C的横坐标为：4+8＝12，把x＝12代入y2＝得：y＝1，∴点E121，∴CE＝3﹣1＝2，＝8；x＞4y10＜y1＜3，0＜y1＜3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键：（1）正确掌握代入法和待定系数法，（2）正确掌握矩形和三角形的面积公式，（3）数形结合．（1）BDACOOEBDFOE∥DF先证△G≌△G（S，得G＝G，则四边形E是平行四边形，再证CD＝EF，即可得出结论；AB＝2aBF＝4a，BE＝EF＝CD＝2a，证△DEGDEG＝a再证△E是等腰直角三角形得E＝B2a然后在t△中，由勾股定理得出方程，解得a＝8

，即可求解．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵BE＝EF，∴OE是△BDF的中位线，由（1）得：DF∥AC，∴∠DFG＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，∵GCD的中点，∴DG＝CG，，在△DFG和△CEG中，，∴△G≌△G（S，∴FG＝EG，CFDEABCD∴AB＝CD，∵2AB＝BF，∴2CD＝BF，又∵EF＝BE，∴CD＝EF，∴平行四边形CFDE是矩形；AB＝2aBF＝4a，BE＝EF＝CD＝2a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝80，AB∥CD，CFDECD＝a，∴∠AED＝90°，△DEG是等腰直角三角形，a，∵AB∥CD，CD⊥EF，∴AB⊥BF，∴△ABE是等腰直角三角形，a，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，即802＝（解得：a＝8

a）2+（2，

）2，∴AB＝2a＝16 ．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．即可证明结论；①由△PEF是等腰直角三角形，得 ，由（1）知△APE∽△BFP，从而，求出BP的长，即可得出答案；FH⊥ADHEF

AP＝4，则EH＝2，再运用勾股ABGBG＝AEPG，FGSASPGE，∠G＝∠E，再证明△F≌△F（SAS，得F＝，从而证明结论．（1）ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∵∠APB＝90°，PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴∠PAE＝∠FBP＝135°，∴∠APE+∠AEP＝45°，∵∠EPF＝45°，∠APB＝90°，∴∠APE+∠BPF＝45°，∴∠AEP＝∠BPF，∴△APE∽△BFP；（2）解：①∵∠PEF＝90°，∠EPF＝45°，∴△PEF是等腰直角三角形，，∵△APE∽△BFP，∴ ，，∵△ABP是等腰直角三角形，PB＝4；FH⊥ADH，∵BF＝∵BF＝AP＝4，∴EH＝2，EF＝；EF＝；（3）解：AE2+BF2＝EF2，理由如下：ABGBG＝AEPG，FG，∵∠PBA＝45°，∴∠PBG＝135°，∵∠PAE＝135°，∴∠PBG＝∠PAE，∵PA＝PB，BG＝AE，∴△G≌△（SAS，∴PG＝PE，∠BPG＝∠APE，∵∠APE+∠BPF＝90°﹣∠EPF＝45°，∴∠BPG+∠BPF＝∠EPF＝45°，∴∠GPF＝∠EPF，又∵PF＝PF，PG＝PE，∴△F≌△F（SA，∴GF＝EF，∵∠ABC＝90°，∴∠GBF＝90°，由勾股定理得：BG2+BF2＝GF2，即AE2+BF2＝EF2．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角