数字积分法课件

二、数字积分法插补数字积分法又称数字微分分析器（DigitalDifferentialAnalyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补，具有运算速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系统中得到广泛的应用。二、数字积分法插补数字积分法又称数字微分分析器（Digita1（一）数字积分的基本原理如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表示为：S=∫f(t)dt若将0～t的时间划分成时间间隔为Δt的有限区间，当Δt足够小时，可得公式：S=∫f(t)dt=∑YiΔt即积分运算可用一系列微小矩形面积累加求和来近似。TOYY=f(t)ΔtYott00ti=0n-1（一）数字积分的基本原理TOYY=f(t)ΔtYott02若Δt取最小基本单位“1”，则上式可简化为：S=∑Yi(累加求和公式或矩形公式）这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现，n-1i=0被积函数寄存器+累加器（余数寄存器）ΔtΔY存放Y值若Δt取最小基本单位“1”，则上式可简化为：n-1i=0被积3若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下：被积函数寄存器用以存放Y值，每当Δt出现一次，被积函数寄存器中的Y值就与累加器中的数值相加一次，并将累加结果存于累加器中，如果累加器的容量为一个单位面积，则在累加过程中，每超过一个单位面积，累加器就有溢出。当累加次数达到累加器的容量时，所产生的溢出总数就是要求的总面积，即积分值。被积函数寄存器+累加器（余数寄存器）ΔtΔY存放Y值若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下：被积函数寄存器+4被积函数寄存器与累加器相加的计算方法：例：被积函数寄存器与累加器均为3位寄存器，被积函数为5，求累加过程。101101101101+）000

+）101

+）010

+）111101010111100101101101101+）100

+）001

+）110

+）011001110011000经过2=8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以积分值等于5。①①①①①3被积函数寄存器与累加器相加的计算方法：①①①①①35(二)数字积分直线插补如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，东电沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐标移动的微小增量为：ΔX=VxΔtΔY=VyΔt若动点沿OA匀速移动，V、Vx、Vy均为常数，则有：

V

Vx

VyOAXeYe成立。XOYA(Xe,Ye)VxVyV===K(二)数字积分直线插补XOYA(Xe,Ye)VxVyV==6因而可以得到坐标微小位移增量为：ΔX=VxΔt=KXeΔtΔY=VyΔt=KYeΔt所以，可以把动点从原点走向终点的过程看作X、Y坐标每经过一个单位时间间隔以KXe、KYe进行累加的过程，则可得直线积分插补近似表达式为：X=∑(KXe)ΔtY=∑(KYe)ΔtXOYA(Xe,Ye)VxVyVi=1mi=1m因而可以得到坐标微小位移增量为：XOYA(Xe,Ye)VxV7由此可以得到直线插补的数字积分插补器：JVx(KXe)(被积函数寄存器)+JRx(累加器)JRy(累加器)JVy(KYe)(被积函数寄存器)+ΔtΔXX轴溢出脉冲Y轴溢出脉冲ΔY由此可以得到直线插补的数字积分插补器：JVx(KXe)(8设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有：X=∑(KXe)Δt=KmXe=XeY=∑(KYe)Δt=KmYe=Ye由该式可知：mK=1,即m=1/K这样，经过m次累加后，X、Y坐标分别到达终点，而溢出脉冲总数即为：X=XeY=YeXOYA(Xe,Ye)VxVyVmmi=1i=1设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有：XOYA(Xe9确定K的取值：根据每次增量ΔX、ΔY不大于1，以保证每次分配的进给脉冲不超过1，即需满足：ΔX=KXe≤1ΔY=KYe≤1其中Xe、Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，则Xe、Ye的最大允许值为2–1。若取K=1/2、则必定满足：KXe=2–1/2<1KYe=2–1/2<1由此可定，动点从原点到达终点的累加次数为：m=1/K=2nnnnnnn确定K的取值：nnnnnnn10例：插补第一象限直线OA，起点为O(0,0)，终点为A(5,3)。取被积函数寄存器分别为JVx，JVy，余数寄存器分别为JRx、JRy，终点计数器为

JE，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。XOY12345123A(5,3)例：插补第一象限直线OA，起点为O(0,0)，终点11插补计算过程如下累加次数(Δt）X积分器JVxJRx溢出ΔXY积分器JVyJRy溢出ΔY终点计数器JE备注012345678101000011000初始状态101101000101101101101101101101011011011011011011011011011111第一次累加0101110JRx有进位，ΔX溢出1101110011101JRy有进位，ΔY溢出1001100100ΔX溢出0011111011ΔX溢出1100101010ΔY溢出0111101001ΔX溢出00010001000ΔX,ΔY同时溢出JE=0，插补结束插补计算过程如下累加X积分器JVxJRx溢出Y积分器J12加工轨迹如下：XOY12345123A(5,3)加工轨迹如下：XOY12345123A(5,3)13作业：插补第一象限直线OA，起点为O(0,0)，终点为A(2,6)。取被积函数寄存器分别为JVx，JVy，余数寄存器分别为JRx、JRy，终点计数器为

JE，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。XOY12345A(2,6)612作业：XOY12345A(2,6)61214插补计算过程如下：累加次数(Δt）X积分器JVxJRx溢出ΔXY积分器JVyJRy溢出ΔY终点计数器JE备注012345678010000110000初始状态010010000010010010010010010010110110110110110110110110110111第一次累加100100JRy有进位，ΔY溢出1101100101101JRy有进位，ΔY溢出0001000100ΔX,ΔY同时溢出010110011ΔX,ΔY同时无溢出1001001010ΔY溢出110010001ΔY溢出00010001000ΔX,ΔY同时溢出JE=0，插补结束111插补计算过程如下：累加X积分器JVxJRx溢出Y积分器15加工轨迹如下：XOY12345A(2,6)612加工轨迹如下：XOY12345A(2,6)61216(三)数字积分圆弧插补如图所示，设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB，坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye)为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)(三)数字积分圆弧插补XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)17

如图所示，可以得到：V

Vx

VyRYiXi即Vx=KYi，Vy=KXi因而可以得到坐标微小位移增量为：ΔX=VxΔt=KYiΔtΔY=VyΔt=KXiΔt设Δt=1，K=1/2则有：

XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)RVVxVy===KnX=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn如图所示，可以得到：XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)18由可看出，用DDA法进行圆弧插补时，是对加工动点的坐标Xi和Yi的值分别进行累加，若积分累加器有溢出，则相应坐标轴进给一步，则圆弧积分插补器如图所示：X=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn由X=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn19圆弧积分插补器：JVx(Y)(被积函数寄存器)+JRy(累加器)JRx(累加器)JVy(X)(被积函数寄存器)+ΔtΔXX轴溢出脉冲Y轴溢出脉冲ΔY圆弧积分插补器：JVx(Y)(被积函数寄存器)+JRy(20例：设圆弧AB为第一象限逆圆弧，起点A（５，0）,终点为B（0,５），用DDA法加工圆弧AB。XOY1234512345例：设圆弧AB为第一象限逆圆弧，起点A（５，0）,终点为B（21插补计算过程如下：累加次数(Δt）X积分器JVx（Yi)JRy溢出ΔXY积分器Jvy(Xi)JRx溢出ΔYX终点计数器

备注012345000000101101初始状态000000000000001001001010010011101101101101101101101第一次累加000010ΔY溢出,修正Yi100001101111100ΔX,ΔY无溢出010100011ΔY溢出修正Yi100001010ΔY溢出修正Yi11Y终点计数器

1011011011011101插补计算过程如下：累加X积分器JVxJRy溢出Y积分器22插补计算过程如下：累加次数(Δt）X积分器JVx（Yi)JRy溢出ΔXY积分器Jvy(Xi)JRx溢出ΔYX终点计数器

备注67911011111101010无溢出011010110100100100101101101010101100100011011011001ΔXΔY同时溢出,修正Xi,Yi010011011000ΔXΔY同时溢出,Y到终点停止迭代100ΔX溢出修正XiY终点计数器

101100010118110100100111无溢出11101110110111插补计算过程如下：累加X积分器JVxJRy溢出Y积分器23插补计算过程如下：累加次数(Δt）X积分器JVx（Yi)JRy溢出ΔXY积分器Jvy(Xi)JRx溢出ΔYX终点计数器

备注12101001010ΔX溢出修正Xi101101001000Y终点计数器

00114011000001113110001001无溢出1ΔX溢出修正XiX到达终点。结束插补。插补计算过程如下：累加X积分器JVxJRy溢出Y积分器24二、数字积分法插补数字积分法又称数字微分分析器（DigitalDifferentialAnalyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补，具有运算速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系统中得到广泛的应用。二、数字积分法插补数字积分法又称数字微分分析器（Digita25（一）数字积分的基本原理如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表示为：S=∫f(t)dt若将0～t的时间划分成时间间隔为Δt的有限区间，当Δt足够小时，可得公式：S=∫f(t)dt=∑YiΔt即积分运算可用一系列微小矩形面积累加求和来近似。TOYY=f(t)ΔtYott00ti=0n-1（一）数字积分的基本原理TOYY=f(t)ΔtYott026若Δt取最小基本单位“1”，则上式可简化为：S=∑Yi(累加求和公式或矩形公式）这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现，n-1i=0被积函数寄存器+累加器（余数寄存器）ΔtΔY存放Y值若Δt取最小基本单位“1”，则上式可简化为：n-1i=0被积27若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下：被积函数寄存器用以存放Y值，每当Δt出现一次，被积函数寄存器中的Y值就与累加器中的数值相加一次，并将累加结果存于累加器中，如果累加器的容量为一个单位面积，则在累加过程中，每超过一个单位面积，累加器就有溢出。当累加次数达到累加器的容量时，所产生的溢出总数就是要求的总面积，即积分值。被积函数寄存器+累加器（余数寄存器）ΔtΔY存放Y值若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下：被积函数寄存器+28被积函数寄存器与累加器相加的计算方法：例：被积函数寄存器与累加器均为3位寄存器，被积函数为5，求累加过程。101101101101+）000

+）101

+）010

+）111101010111100101101101101+）100

+）001

+）110

+）011001110011000经过2=8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以积分值等于5。①①①①①3被积函数寄存器与累加器相加的计算方法：①①①①①329(二)数字积分直线插补如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，东电沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐标移动的微小增量为：ΔX=VxΔtΔY=VyΔt若动点沿OA匀速移动，V、Vx、Vy均为常数，则有：

V

Vx

VyOAXeYe成立。XOYA(Xe,Ye)VxVyV===K(二)数字积分直线插补XOYA(Xe,Ye)VxVyV==30因而可以得到坐标微小位移增量为：ΔX=VxΔt=KXeΔtΔY=VyΔt=KYeΔt所以，可以把动点从原点走向终点的过程看作X、Y坐标每经过一个单位时间间隔以KXe、KYe进行累加的过程，则可得直线积分插补近似表达式为：X=∑(KXe)ΔtY=∑(KYe)ΔtXOYA(Xe,Ye)VxVyVi=1mi=1m因而可以得到坐标微小位移增量为：XOYA(Xe,Ye)VxV31由此可以得到直线插补的数字积分插补器：JVx(KXe)(被积函数寄存器)+JRx(累加器)JRy(累加器)JVy(KYe)(被积函数寄存器)+ΔtΔXX轴溢出脉冲Y轴溢出脉冲ΔY由此可以得到直线插补的数字积分插补器：JVx(KXe)(32设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有：X=∑(KXe)Δt=KmXe=XeY=∑(KYe)Δt=KmYe=Ye由该式可知：mK=1,即m=1/K这样，经过m次累加后，X、Y坐标分别到达终点，而溢出脉冲总数即为：X=XeY=YeXOYA(Xe,Ye)VxVyVmmi=1i=1设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有：XOYA(Xe33确定K的取值：根据每次增量ΔX、ΔY不大于1，以保证每次分配的进给脉冲不超过1，即需满足：ΔX=KXe≤1ΔY=KYe≤1其中Xe、Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，则Xe、Ye的最大允许值为2–1。若取K=1/2、则必定满足：KXe=2–1/2<1KYe=2–1/2<1由此可定，动点从原点到达终点的累加次数为：m=1/K=2nnnnnnn确定K的取值：nnnnnnn34例：插补第一象限直线OA，起点为O(0,0)，终点为A(5,3)。取被积函数寄存器分别为JVx，JVy，余数寄存器分别为JRx、JRy，终点计数器为

JE，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。XOY12345123A(5,3)例：插补第一象限直线OA，起点为O(0,0)，终点35插补计算过程如下累加次数(Δt）X积分器JVxJRx溢出ΔXY积分器JVyJRy溢出ΔY终点计数器JE备注012345678101000011000初始状态101101000101101101101101101101011011011011011011011011011111第一次累加0101110JRx有进位，ΔX溢出1101110011101JRy有进位，ΔY溢出1001100100ΔX溢出0011111011ΔX溢出1100101010ΔY溢出0111101001ΔX溢出00010001000ΔX,ΔY同时溢出JE=0，插补结束插补计算过程如下累加X积分器JVxJRx溢出Y积分器J36加工轨迹如下：XOY12345123A(5,3)加工轨迹如下：XOY12345123A(5,3)37作业：插补第一象限直线OA，起点为O(0,0)，终点为A(2,6)。取被积函数寄存器分别为JVx，JVy，余数寄存器分别为JRx、JRy，终点计数器为

JE，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。XOY12345A(2,6)612作业：XOY12345A(2,6)61238插补计算过程如下：累加次数(Δt）X积分器JVxJRx溢出ΔXY积分器JVyJRy溢出ΔY终点计数器JE备注012345678010000110000初始状态010010000010010010010010010010110110110110110110110110110111第一次累加100100JRy有进位，ΔY溢出1101100101101JRy有进位，ΔY溢出0001000100ΔX,ΔY同时溢出010110011ΔX,ΔY同时无溢出1001001010ΔY溢出110010001ΔY溢出00010001000ΔX,ΔY同时溢出JE=0，插补结束111插补计算过程如下：累加X积分器JVxJRx溢出Y积分器39加工轨迹如下：XOY12345A(2,6)612加工轨迹如下：XOY12345A(2,6)61240(三)数字积分圆弧插补如图所示，设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB，坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye)为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)(三)数字积分圆弧插补XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)41

如图所示，可以得到：V

Vx

VyRYiXi即Vx=KYi，Vy=KXi因而可以得到坐标微小位移增量为：ΔX=VxΔt=KYiΔtΔY=VyΔt=KXiΔt设Δt=1，K=1/2则有：

XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)RVVxVy===KnX=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn如图所示，可以得到：XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)42由可看出，用DDA法进行圆弧插补时，是对加工动点的坐标Xi和Yi的值分别进行累加，若积分累加器有溢出，则相应坐标轴进给一步，则圆弧积分插补器如图所示：X=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn由X=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn43圆弧积分插补器：JVx(Y)(被积函数寄存器)+JRy(累加器)JRx(累加器)JVy