23连续性随机变量及其概率密课件

23连续性随机变量及其概率密课件12.3连续型随机变量及其分布密度2.3连续型随机变量及其分布密度2实例2

随机变量X为“测量某零件尺寸时的测误差”.则X的取值范围为(a,b)内的任一值.实例1

随机变量X为“灯泡的寿命”.则X的取值范围为

2.3.1连续型随机变量考虑X在某一区间内取值的概率，利用分布函数来研究X取值的概率实例2随机变量X为“测量某零件尺寸时的测误差”.则3质量线密度在物理学中，求非均匀质细棒的质量令(x)为分布在区间（－∞，x]上的质量分布的线密度令m(x)为分布在区间（－∞，x]上的质量质量线密度在物理学中，求非均匀质细棒的质量令(x)为分布在4考虑X在某一区间内取值的概率可引入概率密度函数f(x)考虑X在某一区间内取值的概率可引入5定义2.3.1连续型随机变量的定义设随机变量X的分布函数为F(x),则称X为连续随机变量，若存在非负可积函数f(x)

，满足：称f(x)为概率密度函数，简称密度函数.定义2.3.1连续型随机变量的定义设随机变量X的分布函数为6xf(x)xxf(x)x723连续性随机变量及其概率密课件81非负性2规范性3F(x)在（－∞，＋∞）上为4若f(x)在x处连续，则f(x)=?5P{X=a}=?相关性质连续函数1非负性2规范性3F(x)在（－∞，＋∞）上为4若f(x)在9重要结论P{a<X≤b}P{a<X<b}P{a≤X<b}P{a≤X≤b}=F(b)F(a).重要结论P{a<X≤b}P{a<X<b}P{a≤X<b}P{10讲讲练练讲讲练练11例1.

判断下列函数是否为分布函数这是连续型随机变量的分布函数F(x)例1.判断下列函数是否为分布函数这是连续型随机变量的1201½1这是既非离散又非连续型随机变量的分布函数。01½1这是既非离散又非连续型随机变量的分布函数。13例2

设连续型随机变量X的分布函数为(1)确定A、B

的值;(2)求

;(3)求

X的概率密度.例2设连续型随机变量X的分布函数为(1)确定A、B14解:即解:即15(2)(3)(2)(3)16例3例317解:由解:由18x的取值范围分布函数当x<0时当0≤x<

3时当3≤x<4时当4≤x时故X的概率密度函数为x的取值范围分布函数当x<0时当0≤x<3时当3≤19(3)(3)202.3.2几种常见连续型分布2.3.2几种常见连续型分布21均匀分布密度函数的图形2.3.2.1.均匀分布Uniform均匀分布密度函数的图形2.3.2.1.均匀分布Unifo222.3.2.1.均匀分布Uniform则称X

服从区间(a,b)上的均匀分布,记作2.3.2.1.均匀分布Uniform则称X服从区间23XXabxll0

结论：

在区间（a,b）上服从均匀分布的随机变量X

，落在区间（a,b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的均匀分布的特性若(c,c+l)∈（a,b）XXabxll0结论：均匀分布的特性若(c,c+l)24均匀分布的分布函数均匀分布的分布函数25讲讲练练讲讲练练26解:设该乘客于7时X分到达此站则X服从区间[0,30]上的均匀分布例1

设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率令B={候车时间不超过5分钟}解:设该乘客于7时X分到达此站则X服从区间[0,27令B={候车时间不超过5分钟}例1

设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率令B={候车时间不超过5分钟}例1设公共汽车站从上午7时28例2.

若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0

有实根的概率是多少？方程y2+Xy+1=0

有实根【解】=0例2.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，方程29实例：无线电元件的寿命,电力设备的寿命,

动物的寿命实例：3023连续性随机变量及其概率密课件312.3.2.2.指数分布Exponential

记为：X~E(θ)2.3.2.2.指数分布Exponential记为：X32指数分布f(x)的图形指数分布f(x)的图形33指数分布的分布函数F(x)指数分布的分布函数F(x)34指数分布的分布函数的图形指数分布的分布函数的图形35例题讲解例题讲解36设某电子元件的使用寿命X(单位：h）是一个连续型随机变量，其概率密度为（1）求寿命超过100h的概率；（2）已知该元件已正常使用200h，求它至少还能正常使用100h的概率.例设某电子元件的使用寿命X(单位：h）是一个连续型随机变量，其37（1）寿命超过100h的概率=（2）已知该元件已正常使用200h，它至少还能正常使用100h的概率=电子元件的使用寿命X（1）寿命超过100h的概率=（2）已知该元件已正常使用2038指数分布的

无记忆性性质2.3.1

对于任意的

s,t>0,有也称指数分布“永远年轻”指数分布的

无记忆性性质2.3.1对于任意的391.测量误差，2.植株的高度，3.各种产品的质量指标（零件的尺寸、材料的强度），4.动物的体重，人的身高，5.健康人红血球的数目，6.年降雨量，7.某班学生的考试成绩等等…实例直径体重身高1.测量误差，实例直径体重身高402.3.2.3.正态分布2.3.2.3.正态分布412.3.2.3.正态分布

NormalDistribution记作

则称X服从参数为的正态分布,

2.3.2.3.正态分布

NormalDistrib42正态分布密度函数f(x)的图形正态分布密度函数f(x)的图形43（1）曲线关于

对称（2）当时，取得最大值

正态分布概率密度函数f(x)的几何特征（1）曲线关于对称（2）当44正态分布概率密度函数f(x)的几何特征正态分布概率密度函数f(x)的几何特征45正态分布概率密度函数的几何特征（4）曲线在处有拐点（5）曲线以x

轴为渐近线正态分布概率密度函数的几何特征（4）曲线在46（6）当固定

,

改变的大小时，

f(x)

图形的形状不变，只是沿着x

轴作平移变换μ，σ对密度曲线的影响（6）当固定,改变的大小时，μ，σ对密度曲线的47μ，σ对密度曲线的影响（7）当固定

,改变的大小时，

f(x)图形的对称轴不变，而形状在改变越小，图形越高越瘦；越大，图形越矮越胖μ，σ对密度曲线的影响（7）当固定,改变的大小时，48正态分布的分布函数F(x)的图形正态分布的分布函数F(x)的图形490.50.50.50.550是偶函数，标准正态分布:X~N(0,1)X的密度函数是偶函数，标准正态分布:X~N(0,1)X的密度函数51标准正态分布密度函数x)的图形标准正态分布密度函数x)的图形52分布函数记为其值有专门的表供查.标准正态分布的分布函数分布函数记为其值有专门的表供查.标准正态分布的分布函数53标准正态分布的分布函数特性标准正态分布的分布函数特性54标准正态分布的分布函数特性分布函数x-x

标准正态分布的分布函数特性分布函数x-x55标准正态分布的概率计算X～N(0,1)P{X≤b}=P{X≥a}=P{a≤X≤b}=P{│X│≤b}=P{a≤│X│}=标准正态分布的概率计算X～N(0,1)P{X≤b}=P{X≥56查表X～N(0,1)P{1≤X≤2}=P{X≤-1}=P{│X│≤1}=查表X～N(0,1)P{1≤X≤2}=P{X≤-1}=P{│57一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化58的分布函数为的分布函数为59定理2.3.1定理2.3.160推论1标准正态分布的重要性：任何一个一般的正态分布都可以

通过线性变换转化为标准正态分布.一般正态分布的标准化推论1标准正态分布的重要性：一般正态分布的标准化61X~N(,2)标准化1P{X≤b}=2P{X≥a}=3P{a≤X≤b}=4P{│X│≤b}=5P{a≤│X│}=X~N(,2)标准化1P{X≤b}=2P{X≥a}=3P62讲讲练练讲讲练练63(1)已知X~N(3,22),

且P{X>k}=P{X≤k},

则k=().例13(1)已知X~N(3,22),且例1364(2)设X~N(,42),

Y~N(,52),

记

p1=P{X≤

4}，p2=P{Y≥+5},

则()①对任意的

，都有p1=

p2

②对任意的

，都有p1<

p2

③只个别的

，才有

p1=

p2

④对任意的

，都有p1

>

p2①(2)设X~N(,42),Y~N(,65(3)设X~N(,2),

则随的增大，

概率

P{|X

|<}()①单调增大②

单调减少③

保持不变④

增减不定③(3)设X~N(,2),则随的增大66(4)设X~N(,1),

分布函数为F(x),则对任意的

有()①F(x+)=F(x–),②F(x+)=F(–x)③F(x+)+F(x–)=1④F(x+)+F(–x)=1④(4)设X~N(,1),分布函数为F(x),67解:(1)例2.

设随机变量，试求:（1）；（2）

;

（3）解:(1)例2.设随机变量68

(2)(2)6923连续性随机变量及其概率密课件70练习

已知且P(2<X<4)=0.3,则P(X<0)=.练习已知且P(2<X<4)=0.3,71

应用：公共汽车车门的高度是按成年男子与车门碰头的机会小于0.01设计的，设我国成年男子的平均身高为=168cm，标准差为=7，求车门的最低高度.解:成年男子的身高X~N(168,72)设车门的高度为h应用：公共汽车车门的高度解:成年男子的身高X~N(16872上分位点定义2.3.5上分位点定义2.3.573Z

0.0010.0050.010.0250.05

0.11.6452.3272.5761.96常用标准正态分布的分位数3.0901.282Z0.0010.0050.010.0250.050.740.9974F(x)3准则是小概率事件0.9974F(x)3准则是小概率事件75在应用中，通常认为P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|＞3}的值.3

原则如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.在应用中，通常认为P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|＞7623连续性随机变量及其概率密课件7723连续性随机变量及其概率密课件782.3连续型随机变量及其分布密度2.3连续型随机变量及其分布密度79实例2

随机变量X为“测量某零件尺寸时的测误差”.则X的取值范围为(a,b)内的任一值.实例1

随机变量X为“灯泡的寿命”.则X的取值范围为

2.3.1连续型随机变量考虑X在某一区间内取值的概率，利用分布函数来研究X取值的概率实例2随机变量X为“测量某零件尺寸时的测误差”.则80质量线密度在物理学中，求非均匀质细棒的质量令(x)为分布在区间（－∞，x]上的质量分布的线密度令m(x)为分布在区间（－∞，x]上的质量质量线密度在物理学中，求非均匀质细棒的质量令(x)为分布在81考虑X在某一区间内取值的概率可引入概率密度函数f(x)考虑X在某一区间内取值的概率可引入82定义2.3.1连续型随机变量的定义设随机变量X的分布函数为F(x),则称X为连续随机变量，若存在非负可积函数f(x)

，满足：称f(x)为概率密度函数，简称密度函数.定义2.3.1连续型随机变量的定义设随机变量X的分布函数为83xf(x)xxf(x)x8423连续性随机变量及其概率密课件851非负性2规范性3F(x)在（－∞，＋∞）上为4若f(x)在x处连续，则f(x)=?5P{X=a}=?相关性质连续函数1非负性2规范性3F(x)在（－∞，＋∞）上为4若f(x)在86重要结论P{a<X≤b}P{a<X<b}P{a≤X<b}P{a≤X≤b}=F(b)F(a).重要结论P{a<X≤b}P{a<X<b}P{a≤X<b}P{87讲讲练练讲讲练练88例1.

判断下列函数是否为分布函数这是连续型随机变量的分布函数F(x)例1.判断下列函数是否为分布函数这是连续型随机变量的8901½1这是既非离散又非连续型随机变量的分布函数。01½1这是既非离散又非连续型随机变量的分布函数。90例2

设连续型随机变量X的分布函数为(1)确定A、B

的值;(2)求

;(3)求

X的概率密度.例2设连续型随机变量X的分布函数为(1)确定A、B91解:即解:即92(2)(3)(2)(3)93例3例394解:由解:由95x的取值范围分布函数当x<0时当0≤x<

3时当3≤x<4时当4≤x时故X的概率密度函数为x的取值范围分布函数当x<0时当0≤x<3时当3≤96(3)(3)972.3.2几种常见连续型分布2.3.2几种常见连续型分布98均匀分布密度函数的图形2.3.2.1.均匀分布Uniform均匀分布密度函数的图形2.3.2.1.均匀分布Unifo992.3.2.1.均匀分布Uniform则称X

服从区间(a,b)上的均匀分布,记作2.3.2.1.均匀分布Uniform则称X服从区间100XXabxll0

结论：

在区间（a,b）上服从均匀分布的随机变量X

，落在区间（a,b）中任意等长度的子区间内的可能性是相同的均匀分布的特性若(c,c+l)∈（a,b）XXabxll0结论：均匀分布的特性若(c,c+l)101均匀分布的分布函数均匀分布的分布函数102讲讲练练讲讲练练103解:设该乘客于7时X分到达此站则X服从区间[0,30]上的均匀分布例1

设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率令B={候车时间不超过5分钟}解:设该乘客于7时X分到达此站则X服从区间[0,104令B={候车时间不超过5分钟}例1

设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率令B={候车时间不超过5分钟}例1设公共汽车站从上午7时105例2.

若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0

有实根的概率是多少？方程y2+Xy+1=0

有实根【解】=0例2.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，方程106实例：无线电元件的寿命,电力设备的寿命,

动物的寿命实例：10723连续性随机变量及其概率密课件1082.3.2.2.指数分布Exponential

记为：X~E(θ)2.3.2.2.指数分布Exponential记为：X109指数分布f(x)的图形指数分布f(x)的图形110指数分布的分布函数F(x)指数分布的分布函数F(x)111指数分布的分布函数的图形指数分布的分布函数的图形112例题讲解例题讲解113设某电子元件的使用寿命X(单位：h）是一个连续型随机变量，其概率密度为（1）求寿命超过100h的概率；（2）已知该元件已正常使用200h，求它至少还能正常使用100h的概率.例设某电子元件的使用寿命X(单位：h）是一个连续型随机变量，其114（1）寿命超过100h的概率=（2）已知该元件已正常使用200h，它至少还能正常使用100h的概率=电子元件的使用寿命X（1）寿命超过100h的概率=（2）已知该元件已正常使用20115指数分布的

无记忆性性质2.3.1

对于任意的

s,t>0,有也称指数分布“永远年轻”指数分布的

无记忆性性质2.3.1对于任意的1161.测量误差，2.植株的高度，3.各种产品的质量指标（零件的尺寸、材料的强度），4.动物的体重，人的身高，5.健康人红血球的数目，6.年降雨量，7.某班学生的考试成绩等等…实例直径体重身高1.测量误差，实例直径体重身高1172.3.2.3.正态分布2.3.2.3.正态分布1182.3.2.3.正态分布

NormalDistribution记作

则称X服从参数为的正态分布,

2.3.2.3.正态分布

NormalDistrib119正态分布密度函数f(x)的图形正态分布密度函数f(x)的图形120（1）曲线关于

对称（2）当时，取得最大值

正态分布概率密度函数f(x)的几何特征（1）曲线关于对称（2）当121正态分布概率密度函数f(x)的几何特征正态分布概率密度函数f(x)的几何特征122正态分布概率密度函数的几何特征（4）曲线在处有拐点（5）曲线以x

轴为渐近线正态分布概率密度函数的几何特征（4）曲线在123（6）当固定

,

改变的大小时，

f(x)

图形的形状不变，只是沿着x

轴作平移变换μ，σ对密度曲线的影响（6）当固定,改变的大小时，μ，σ对密度曲线的124μ，σ对密度曲线的影响（7）当固定

,改变的大小时，

f(x)图形的对称轴不变，而形状在改变越小，图形越高越瘦；越大，图形越矮越胖μ，σ对密度曲线的影响（7）当固定,改变的大小时，125正态分布的分布函数F(x)的图形正态分布的分布函数F(x)的图形1260.50.50.50.5127是偶函数，标准正态分布:X~N(0,1)X的密度函数是偶函数，标准正态分布:X~N(0,1)X的密度函数128标准正态分布密度函数x)的图形标准正态分布密度函数x)的图形129分布函数记为其值有专门的表供查.标准正态分布的分布函数分布函数记为其值有专门的表供查.标准正态分布的分布函数130标准正态分布的分布函数特性标准正态分布的分布函数特性131标准正态分布的分布函数特性分布函数x-x

标准正态分布的分布函数特性分布函数x-x132标准正态分布的概率计算X～N(0,1)P{X≤b}=P{X≥a}=P{a≤X≤b}=P{│X│≤b}=P{a≤│X│}=标准正态分布的概率计算X～N(0,1)P{X≤b}=P{X≥133查表X～N(0,1)P{1≤X≤2}=P{X≤-1}=P{│X│≤1}=查表X～N(0,1)P{1≤X≤2}=P{X≤-1}=P{│134一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化135的分布函数为的分布函数为136定理2.3.1定理2.3.1137推论1标准正态分布的重要性：任何一个一般的正态分布都可以

通过线性变换转化为标准正态分布.一般正态分布的标准化推论1标准正态分布的重要性：一般正态分布的标准化138X~N(,2)标准化1P{X≤b}=2P{X≥a}=3P{a≤X≤b}=4P{│X│≤b}=5P{a≤│X│}=X~N(,2)标准化1P{X≤b}=2P{X≥a}=3P139讲讲练练讲讲练练140(1)已知X~N(3,22),

且P{X>k}=P{X≤k},

则k=().例13(1)已知X~N(3,22),且例13141(2)设X~N(,42),

Y~N(,52),

记

p1=P{X≤

4}，p2=P{Y≥+5},

则()①对任意的

，都有p1=

p2

②对任意的

，都有p1<

p2

③只个别的

，才有

p1=

p2

④对任意的

，都有p1

>

p2①(2)设X~N(,42),Y~N(,142(3)设X~N(