利用递推公式求通项 新高考 数学一轮复习专项提升精讲精练 （含答案解析）

6.3利用递推公式求通项（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一累加法【例1-1】（2022·河南·灵宝市）已知数列满足，且,求数列的通项公式；【答案】【解析】因为，所以，，…，所以．又，所以，所以．又，也符合上式，所以．【例1-2】（2022·江苏江苏·一模）已知数列，，且，，求数列的通项公式【答案】【解析】因为，所有，当时，，，……，，相加得，所以，当时，也符合上式，所以数列的通项公式【一隅三反】1．(2022.广东）数列满足，，则=。【答案】【解析】，，则当时，，。2．(2022.广东）在数列{an}中，若a1＝﹣2，an+1＝an+n•2n，则an＝。【答案】（n﹣2）•2n【解析】∵an+1＝an+n•2n，∴an+1﹣an＝n•2n，且a1＝﹣2∴an﹣a1＝an﹣an﹣1+an﹣1﹣an﹣2+…+a2﹣a1＝（n﹣1）•2n﹣1+…+2•22+1•21，①∴2（an﹣a1）＝（n﹣1）•2n+（n﹣2）•2n﹣1+…+2•23+1•22，②①-①得﹣（an﹣a1）＝﹣（n﹣1）•2n+2n﹣1+2n﹣2+…+23+22+2＝﹣（n﹣1）•2n+﹣（n﹣1）•2n﹣2+2n，∴an﹣a1＝（n﹣1）•2n+2﹣2n，所以an＝（n﹣2）•2n3．已知数列中，，，则数列的一个通项公式为。【答案】【解析】因为则由递推公式可得将等式两边分别相加可得所以由对数运算可得考点二累乘法【例2】（2022·全国·模拟预测（理））已知数列满足．求数列的通项公式；【答案】；【解析】当时，，则，即，，n＝1也满足上式，故；【一隅三反】1.（2022·安徽安庆）已知数列的前n项和为，且满足，.求的通项公式；【答案】，【解析】时，，解得.当时，，故，所以，故.符合上式故的通项公式为，.2．（2022·全国·专题练习）设是首项为1的正项数列且，求数列的通项公式.【答案】或【解析】依题意，所以，当时，，所以.当时，，所以，也符合上式.所以.综上所述，或.4．（2021·全国·专题练习）设是首项为1的正项数列，且，求通项公式.=【答案】【解析】由，得，∵，∴，∴，∴，∴，又a1＝1满足上式，∴.考点三公式法【例3-1】（2022·四川）数列的前项和，则它的通项公式是_______．【答案】【解析】当时，，当时，经检验当时不符合，所以，故答案为：【例3-2】（2022·安徽宿州）已知数列的前n项和为，且，则的通项公式为______．【答案】【解析】当时，，得，当时，由，得，所以，所以，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，故答案为：【例3-3】．（2022·北京交通大学附属中学）已知数列满足，则____.【答案】【解析】因为，所以当时，有，，得，当时，也适合，故答案为：【例3-4】．（2022·山西太原·二模（文））已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.【答案】n【解析】∵，∴当时，，当时，成立，∴，当时，，当时，满足上式，∴.故答案为：n【一隅三反】1．（2022·湖北）数列中，已知，且（且），则此数列的通项公式为__________.【答案】【解析】由得：（且）（且）即（且）数列是第二项起公比为的等比数列，（且）又不满足上式，2．（2022·全国·专题练习）（多选）在数列中，其前的和是，下面正确的是（

）A．若，则其通项公式B．若，则其通项公式C．若，则其通项公式D．若，，则其通项公式【答案】BCD【解析】A：时，，当时，，而，故错误；B：由题设，，，，，…，则，故正确；C：由题设，，而，则，即，故正确；D：假设成立，当时，，即成立；若时，成立，则时，，此时，则也成立，故正确.故选：BCD3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）在数列中，其前的和是，下面正确的是（

）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，且，则【答案】ABC【解析】A：由题设，是首项为1，公差为2的等差数列，则，正确；B：由题设，，则，可得，即，正确；C：由题设，，则，正确；D：时有，整理得，而，故为常数列且，可得，错误；故选：ABC考点四构造等差数列【例4-1】（2022·四川省绵阳南山中学）已知数列满足，，，则满足的n的最大取值为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】解：因为，所以，所以，又，数列是以1为首项，4为公差的等差数列．所以，所以，由，即，即，解得，因为为正整数，所以的最大值为；故选：C【例4-2】（2022·广东肇庆·二模）已知是数列的前n项和，，，恒成立，则k最小为______．【答案】2【解析】由，得，当时，得，，…，，则，即，则，当n=1时符合上式，则，所以k最小为2．故答案为：.【例4-3】（2021·江西）已知数列满足：，（，），则___________.【答案】【解析】由题设，，即，而，∴是首项、公差均为的等差数列，即，∴.故答案为：【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则的通项公式_______________________.【答案】【解析】由,得，则，由得，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，当时，，所以，当时，也适合上式，所以，故答案为：.2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式______．【答案】【解析】∵，∴，即．又，，∴数列是以3为首项，1为公差的等差数列，∴，∴数列的通项公式．故答案为：.3．（2022·全国·课时练习）已知数列中，，求数列的通项公式；【答案】．【解析】由，得：，∴，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴，得．4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，．求数列的通项公式；【答案】【解析】因为，所以令，则，解得，对两边同时除以，得，又因为，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以；5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，，求数列的通项公式.【答案】【解析】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，∴，∴.考点五构造等比数列【例5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知，，则________．【答案】【解析】将变形为,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,即公比为2的等比数列,所以,即.故答案为：【例5-2】（2022·全国·高三专题练习）已知在数列中，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，整理得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．所以，解得．故选：A【例5-3】（2022·全国·课时练习）已知数列满足，．数列满足，则数列的通项公式为________．【答案】【解析】∵，∴，即,∴,且，，则,又，∴数列是首项为，公比为3的等比数列．∴．故答案为：.【一隅三反】1．（2022·福建省）已知数列满足，，则的前n项和为___.【答案】【解析】数列满足，整理得：，所以，又，故是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以的前项和故答案为：2．（2022·山西师范大学实验中学）已知数列满足，，则___________.【答案】【解析】由已知可得，设，则，所以，，可得，所以，，且，由题意可知，对任意的，，则，所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，所以，，因此，.故答案为：.3．（2022·全国·高三专题练习）若正项数列满足，