《一次同余方程》教学课件

3.2一次同余方程人教B版数学选修4-6《初等数论初步》12020/12/103.2一次同余方程人教B版数学选修4-6《初等数论初步》一次同余方程一次同余方程的一般形式为

ax≡b(modm)，有定理：a,b为整数，，则ax≡b(modm)有解的充要条件是(a,m)|b,若有解则有d=(a,m)个关于模m的解22020/12/10一次同余方程22020/12/10证明：由同余的定义知ax≡b(modm)等价于不定方程ax=b-my，而此不定方程有解的充要条件是(a,m)|b。在有解的情况下，设不定方程的解为

此时同余方程有d个解，为因当时，32020/12/10证明：由同余的定义知ax≡b(modm)等价于不定方程ax2.2一次同余方程ax≡b(modm)的解法。（1）化为不定方程ax+my=b例：解同余式解因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.

化简为等价的同余方程我们再解不定方程15x-44y=7,得到一解(21,7).,方程3个解为即为42020/12/102.2一次同余方程ax≡b(modm)的解法。2)利用欧拉定理若(a,m)=1,则有

ax≡b(modm),两边同乘，则有即因为所以52020/12/102)利用欧拉定理若(a,m)=1,则有52020/例:解同余式解：因为(8,11)=1,所以由欧拉定理有62020/12/10例:解同余式62020/12/10(3)用形式分数定义1：当（a，m）=1时，若ab1(modm)，则记b(modm)称为形式分数。根据定义和记号，有性质1、2、（d，m）=1，且，则利用形式分数的性质把分母变成1，从而求出一次同余式的解。72020/12/10(3)用形式分数72020/12/10例：解一次同余方程解：∵（17，25）=1，原同余方程有解，利用形式分数的性质，同余方程解为

82020/12/10例：解一次同余方程82020/12/10

一次同余方程组的解法定义:如下(*)称为一次同余方程组

x≡b1(modm1)x≡b2(modm2)……（*）

x≡bk(modmk)有解判定定理：同余方程组（*）有解的充要条件是92020/12/10一次同余方程组的解法92020/12/10下面给出k=2时的证明.证:若

(1)有解,则有

(2)

即反之由(1)得代入(2)有

因为由一次同余方程有解条件知t有解,即同余方程组有解.102020/12/10下面给出k=2时的证明.证:若下面给出一个例子，并用代入法求解例：解一次同余式组解：因为(4,6)=2|3-1,所以有解,由(1)式得x=3+4t代入(2)得即得代入x=3+4t

得即为一次同余式组的解。112020/12/10下面给出一个例子，并用代入法求解112020/12/10下面我们给出模两两互素的情形，此时显然满足有解的条件，即孙子定理：设两两互素，则同余式(*)组的解为其中

122020/12/10下面我们给出模两两互素的情形，此时显然满足有解的条件，即12证明：因为两两互素，所以有中的存在，又对任意的有有所以即是(*)的解若是满足(*)的两个整数，则有又,所以有,即

,说明是惟一解。132020/12/10证明：因为两两例：解一次同余式组解:因为7，8,9两两互素，可以利用孙子定理.m=504,进而有所以有是原一次同余式组的解。142020/12/10例：解一次同余式组142020/12/10注：若给出的同余方程组不是标准形式，必须注意化为标准形式，同时我们得到的有解的判别定理及求解方法都是在这一标准形式得到的。同余方程组（1）有解的条件(mi,mj)∣bi-bj

，1≤i，j≤k。在使用时一定要对所有的组合进行验算，进行有解的判别152020/12/10注：若给出的同余方程组不是标准形式，必须注意化为标准形式，同求解一次同余方程组（*）有两种方法：待定系数法和孙子定理,二种方法各有特长。待定系数法适应的范围较广，对模没有什么要求。孙子定理有一个具体的公式，形式也较漂亮。但对模要求是两两互素。次数大于1的同余方程称为高次同余方程，一般地高次同等方程可转化一系列的高次同余方程组。然后将每一个高次同余方程的解都求出，最后利用孙子定理可求出原高次同余方程的解。162020/12/10求解一次同余方程组（*）有两种方法：待定系数法和孙子定想想我们本节讲了什么？172020/12/10想想我们本节讲了什么？172020/12/10PPT教学课件谢谢观看ThankYouForWatching182020/12/10PPT教学课件谢谢观看ThankYouForWatch3.2一次同余方程人教B版数学选修4-6《初等数论初步》192020/12/103.2一次同余方程人教B版数学选修4-6《初等数论初步》一次同余方程一次同余方程的一般形式为

ax≡b(modm)，有定理：a,b为整数，，则ax≡b(modm)有解的充要条件是(a,m)|b,若有解则有d=(a,m)个关于模m的解202020/12/10一次同余方程22020/12/10证明：由同余的定义知ax≡b(modm)等价于不定方程ax=b-my，而此不定方程有解的充要条件是(a,m)|b。在有解的情况下，设不定方程的解为

此时同余方程有d个解，为因当时，212020/12/10证明：由同余的定义知ax≡b(modm)等价于不定方程ax2.2一次同余方程ax≡b(modm)的解法。（1）化为不定方程ax+my=b例：解同余式解因为(45,132)=3¦21,所以同余式有3个解.

化简为等价的同余方程我们再解不定方程15x-44y=7,得到一解(21,7).,方程3个解为即为222020/12/102.2一次同余方程ax≡b(modm)的解法。2)利用欧拉定理若(a,m)=1,则有

ax≡b(modm),两边同乘，则有即因为所以232020/12/102)利用欧拉定理若(a,m)=1,则有52020/例:解同余式解：因为(8,11)=1,所以由欧拉定理有242020/12/10例:解同余式62020/12/10(3)用形式分数定义1：当（a，m）=1时，若ab1(modm)，则记b(modm)称为形式分数。根据定义和记号，有性质1、2、（d，m）=1，且，则利用形式分数的性质把分母变成1，从而求出一次同余式的解。252020/12/10(3)用形式分数72020/12/10例：解一次同余方程解：∵（17，25）=1，原同余方程有解，利用形式分数的性质，同余方程解为

262020/12/10例：解一次同余方程82020/12/10

一次同余方程组的解法定义:如下(*)称为一次同余方程组

x≡b1(modm1)x≡b2(modm2)……（*）

x≡bk(modmk)有解判定定理：同余方程组（*）有解的充要条件是272020/12/10一次同余方程组的解法92020/12/10下面给出k=2时的证明.证:若

(1)有解,则有

(2)

即反之由(1)得代入(2)有

因为由一次同余方程有解条件知t有解,即同余方程组有解.282020/12/10下面给出k=2时的证明.证:若下面给出一个例子，并用代入法求解例：解一次同余式组解：因为(4,6)=2|3-1,所以有解,由(1)式得x=3+4t代入(2)得即得代入x=3+4t

得即为一次同余式组的解。292020/12/10下面给出一个例子，并用代入法求解112020/12/10下面我们给出模两两互素的情形，此时显然满足有解的条件，即孙子定理：设两两互素，则同余式(*)组的解为其中

302020/12/10下面我们给出模两两互素的情形，此时显然满足有解的条件，即12证明：因为两两互素，所以有中的存在，又对任意的有有所以即是(*)的解若是满足(*)的两个整数，则有又,所以有,即

,说明是惟一解。312020/12/10证明：因为两两例：解一次同余式组解:因为7，8,9两两互素，可以利用孙子定理.