数学建模减肥模型课件

差分方程模型差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。有时还需要找出决定变量的初始条件。有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。下面我们就来看一个具体的例子。过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。本节要建立一个简单的体重变化规律的模型，并由此通过节食与运动制订合理、有效的减肥计划。

模型分析

通常，当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。人们通过饮食吸收热量，转化为脂肪等，导致体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。只要作适当的简化假设就可得到体重变化的关系。

减肥计划应以不伤害身体为前提，这可以用吸收热量不要过少、减少体重不要过快来表达。当然，增加运动量是加速减肥的有效手段，也要在模型中加以考虑。

通常，制订减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里用离散时间模型——差分方程模型来讨论。

模型假设

根据上述分析，参考有关生理数据，作出以下简化假设：1。体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg（kcal为非国际单位制单位1kcal=4.2kJ）；2。正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal至300kcal之间，且因人而异，这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal至3200kcal；3。运动引起的体重减少正比于比重，且与运动形式有关；4。为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不要少于10000kcal。

基本模型

记第k周末体重为w(k)，第k周吸收热量为c(k)，热量转换系数=1/8000(kg/kcal)，代谢消耗系数（因人而异），则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为（1）增加运动时只需将改为由运动的形式和时间决定。

减肥计划的提出

通过制订一个具体的减肥计划讨论模型（1）的应用。某甲身高1.7米，体重100公斤，BMI高达34.6。自述目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变。试为他按照以下方式制订减肥计划，使其体重减至75公斤并维持下去：1）在基本上不运动的情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：每周减肥1公斤，每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全的下限（1000kcal）；第二阶段：每周吸收热量保持下限。2）若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排第二阶段计划。3）给出达到目标后维持体重的方案。

减肥计划的制订

1）首先应确定某甲的代谢系数。根据他每周吸收c=20000kcal热量，体重w=100kg不变，由（1）式可得得，即第一阶段共10周，按照（2）吸收热量，可使体重每周减少1公斤，至第10周末体重达到90公斤。第二阶段要求每周吸收热量保持下限，由基本模型（1）式可得：为了得到体重减至75公斤所需的周数，将（3）式递推可得记表中热量消耗，每周运动时间t，为利用基本模型（1）式，只需将改为，即试取，即，则（4）式中的应改为，（5）式为（7）得到n=14，即若增加