2017-2018学年高中创新设计物理粤教版必修2：第三章 学案2 万有引力定律的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学案2万有引力定律的应用[学习目标定位］1。学会用万有引力定律计算天体的质量。2。了解发现未知天体海王星、冥王星的过程。3.理解人造卫星的运动规律。4.知道三个宇宙速度．一、计算天体的质量行星围绕太阳的运动可以看成是匀速圆周运动，其向心力由太阳对行星的引力提供，因此有Geq\f（Mm，r2)＝mreq\f（4π2,T2），测出行星的公转周期T和它与太阳的距离r,就可以算出太阳的质量．二、预测未知天体1．海王星的发现英国剑桥大学青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒维烈坚信万有引力定律是正确的．根据天王星的观测资料，他们各自独立地计算出天王星轨道外面新行星的轨道参数.1846年9月23日柏林天文台的望远镜对准他们笔下计算出来的位置,发现了一颗新的行星—-海王星．2．冥王星的发现：1930年2月18日，美国天文学家汤苞,用“计算、预测、观察和照相”的方法发现了冥王星．三、宇宙速度1．第一宇宙速度:vⅠ＝7。9_km/s，又称环绕速度．2．第二宇宙速度：vⅡ＝11.2_km/s，又称脱离速度3．第三宇宙速度：vⅢ＝16.7_km/s，又称逃逸速度．一、计算天体的质量［问题设计]若月球绕地球做匀速圆周运动，其周期为T，又知月球到地心的距离为r,由这些条件能计算出地球的质量吗？答案设地球质量为M，月球质量为m，由于月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的,所以Geq\f（Mm，r2）＝m(eq\f(2π，T))2r,由此可得M＝eq\f（4π2r3，GT2）。［要点提炼]1．计算天体质量的方法分析围绕该天体运动的行星（或卫星)，测出行星（或卫星)的运行周期和轨道半径，由万有引力提供向心力即可求中心天体的质量．由eq\f（GMm,r2）＝meq\f（4π2，T2)r，得M＝eq\f(4π2r3,GT2).2．天体密度的计算方法根据密度的公式ρ＝eq\f（M，\f（4,3)πR3)，只要先求出天体的质量就可以代入此式计算天体的密度．(1）由天体表面的重力加速度g和半径R，求此天体的密度．由mg＝eq\f（GMm,R2）和M＝ρ·eq\f（4,3）πR3，得ρ＝eq\f(3g,4πGR）。(2)若天体的某个行星(或卫星）的轨道半径为r，运行周期为T，中心天体的半径为R，则由Geq\f（Mm,r2)＝mreq\f（4π2,T2)和M＝ρ·eq\f（4，3）πR3，得ρ＝eq\f（3πr3,GT2R3）.注意R、r的意义不同，一般地R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，若绕近地轨道运行，则有R＝r，此时ρ＝eq\f（3π,GT2）.二、预测未知天体[要点提炼]1．预测未知天体(1)1821年,人们发现天王星的实际运行轨道与根据万有引力定律计算出的理论轨道存在较大的误差．(2）预测在天王星的轨道外面还有一颗未知行星．（3）亚当斯和勒维烈各自独立计算出了这颗行星的质量和轨道参数．(4）1846年9月23日，柏林天文台在亚当斯和勒维烈预言的位置发现了这颗新的行星-—海王星．(5）用类似的方法，人们发现了冥王星．2．应用万有引力定律发现未知天体的意义：巩固了万有引力定律的地位，显示了理论对于实践的巨大指导作用．三、人造卫星和宇宙速度[问题设计］若地球的质量为M，人造卫星的环绕半径为r,请你推导卫星的线速度、角速度、周期的表达式．答案人造卫星所受万有引力提供向心力,Geq\f（Mm,r2)＝meq\f（v2,r）＝mω2r＝m(eq\f(2π，T））2r,所以v＝eq\r(\f(GM,r））,ω＝eq\r（\f(GM,r3))，T＝2πeq\r（\f（r3，GM)）.［要点提炼］1．人造卫星绕地球运行的动力学原理人造卫星受到地球对它的万有引力提供它做圆周运动的向心力．2．卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系根据万有引力提供卫星绕地球运动的向心力,即有:eq\f(GMm，r2）＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝m(eq\f(4π2,T2）)r(1)a＝eq\f(GM，r2），r越大，a越小．（2)v＝eq\r（\f(GM,r））,r越大，v越小．（3）ω＝eq\r（\f(GM,r3)),r越大，ω越小．(4)T＝2πeq\r（\f（r3,GM）），r越大，T越大．3．宇宙速度(1）第一宇宙速度vⅠ＝7。9km/s①推导方法一:由Geq\f(Mm，R2)＝meq\f（v2，R)得v＝eq\r(\f（GM，R))方法二:由mg＝meq\f(v2，R）得v＝eq\r（gR)②理解：第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度,也是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度．(2）第二宇宙速度vⅡ＝11.2km/s，是从地面上发射物体并使之脱离地球束缚的最小发射速度,又称脱离速度．（3)第三宇宙速度vⅢ＝16。7km/s，是从地面上发射物体并使之脱离太阳束缚的最小发射速度,又称逃逸速度．一、天体质量和密度的计算例1假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常数为G。(1）则该天体的密度是多少？(2）若这颗卫星距该天体表面的高度为h,测得在该处做圆周运动的周期为T2,则该天体的密度又是多少?解析（1)设卫星的质量为m,天体的质量为M，卫星贴近天体表面运动时有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2，T\o\al（2，1）)R,M＝eq\f（4π2R3,GT\o\al（2，1))根据数学知识可知天体的体积为V＝eq\f(4，3)πR3故该天体的密度为ρ＝eq\f（M,V）＝eq\f（4π2R3，GT\o\al(2，1）·\f（4，3）πR3）＝eq\f(3π,GT\o\al(2，1))。（2）卫星距天体表面距离为h时，忽略自转有Geq\f（Mm，R＋h2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2，2)）（R＋h)M＝eq\f（4π2R＋h3，GT\o\al(2,2)）ρ＝eq\f（M,V）＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2，2）·\f(4，3）πR3）＝eq\f(3πR＋h3，GT\o\al(2，2）R3)答案(1）eq\f（3π，GT\o\al（2，1））（2)eq\f(3πR＋h3，GT\o\al(2，2）R3)二、人造卫星的运动规律图1例2（双选)如图1所示，a、b、c是地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星，a和b的质量相等，且小于c的质量,则（）A．b所需向心力最小B．b、c的周期相等且大于a的周期C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度D．b、c的线速度大小相等,且大于a的线速度解析因卫星运行的向心力就是它们所受的万有引力，而b所受的引力最小，故A对．由eq\f(GMm,r2）＝ma，得a＝eq\f(GM，r2），即卫星的向心加速度大小与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错．由eq\f(GMm,r2）＝meq\f（4π2，T2)r，得T＝2πeq\r（\f（r3，GM)），即人造地球卫星运行的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比,所以b、c的周期相等且大于a的周期,B对．由eq\f(GMm，r2）＝meq\f（v2,r），得v＝eq\r(\f（GM，r）），即人造地球卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度,D错．故选A、B.答案AB三、宇宙速度的理解例3(单选）我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的eq\f(1，81)，月球的半径约为地球半径的eq\f(1，4），地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为（)A．0。4km/sB．1.8km/sC．11km/sD。36km/s解析星球的第一宇宙速度即为围绕星球做圆周运动的轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度．卫星所需的向心力由万有引力提供,Geq\f（Mm，r2）＝meq\f(v2，r),得v＝eq\r（\f(GM，r)）,又由eq\f(M月，M地）＝eq\f（1,81）、eq\f（r月,r地）＝eq\f(1，4)，故月球和地球上第一宇宙速度之比eq\f（v月,v地）＝eq\f（2,9），故v月＝7。9×eq\f（2，9)km/s≈1.8km/s,因此B项正确．答案B万有引力定律的应用eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(计算天体的质量：由\f（GMm，r2)＝m\f（2π,T）2r得M＝\f(4π2r3,GT2),计算天体的密度:由G\f（Mm,r2)＝mr\f（4π2,T2)及V＝\f(4，3)πR3得，ρ＝\f（3πr3,GT2R3）。若为近地卫星则R＝r,有ρ＝\f(3π,GT2).，预测未知天体\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(发现海王星、冥王星,确立万有引力定律的地位）），人造卫星各物理量与半径的关系\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（线速度v＝\r(\f(GM，r))，角速度ω＝\r（\f（GM,r3）），周期T＝2π\r（\f（r3,GM)）)），宇宙速度\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（vⅠ＝7.9km/s又叫环绕速度，vⅡ＝11.2km/s又叫脱离速度，vⅢ＝16.7km/s又叫逃逸速度）)))1．（对宇宙速度的理解)(单选)恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”-—中子星．中子星的半径较小，一般在7km～20km,但它的密度大得惊人．若某中子星的半径为10km，密度为1.2×1017kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为()A．6.0km/sB．3.0×102km/sC．3.0×103km/sD．6.0×104km/s答案D解析中子星上的第一宇宙速度即为它表面的环绕速度，由Geq\f（Mm,r2)＝meq\f(v2，r）,得v＝eq\r（\f（GM,r))，又由M＝ρV＝eq\f(4，3)ρπr3，代入上式可得v＝req\r（\f（4πGρ，3)），代入数据得v≈6。0×104km/s。2．（天体质量的计算)(单选）“嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日凌晨在西昌卫星发射中心发射，实现了“落月”的新阶段．若已知引力常数为G,月球绕地球做圆周运动的半径为r1、周期为T1,“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r2、周期为T2，不计其他天体的影响，根据题目条件可以()A．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量B．求出月球的质量C．得出eq\f（r\o\al（3，1)，T\o\al（2，1)）＝eq\f（r\o\al(3,2),T\o\al(2,2))D．求出地球的密度答案B解析研究月球绕地球的圆周运动根据万有引力提供向心力有eq\f(GM地m月,r\o\al（2，1））＝m月eq\f(4π2，T\o\al（2，1）)r1，解得M地＝eq\f(4π2r\o\al(3，1），GT\o\al(2，1)），因为地球的半径未知，不能得出地球的密度，故D错误；同理研究嫦娥三号绕月球的圆周运动可得月球的质量M月＝eq\f(4π2r\o\al（3,2)，GT\o\al（2，2)）,但无法得出“嫦娥三号”的质量，故A错误，B正确;开普勒第三定律中eq\f（r3，T2)是一个常数是指不同天体绕同一中心天体运动时的规律,月球和“嫦娥三号”绕不同的天体运动，则eq\f(r\o\al（3,1),T\o\al(2,1）)≠eq\f（r\o\al（3，2），T\o\al（2,2)），故C错误．3．(天体密度的计算）（单选）一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要（）A．测定飞船的运行周期B．测定飞船的环绕半径C．测定行星的体积D．测定飞船的运行速度答案A解析取飞船为研究对象，由Geq\f（Mm,R2)＝mReq\f(4π2，T2）及M＝eq\f（4，3)πR3ρ，知ρ＝eq\f(3π，GT2），A对，故选A。4．(人造卫星运动的规律)(单选)如图2所示，在同一轨道平面上的几个人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动,某一时刻它们恰好在同一直线上,下列说法中正确的是(）图2A．根据v＝eq\r(gr)可知,运行速度满足vA＞vB＞vCB．运转角速度满足ωA＞ωB＞ωCC．向心加速度满足aA＜aB＜aCD．运动一周后，A最先回到图示位置答案C解析由Geq\f（Mm,r2）＝meq\f(v2,r)得，v＝eq\r(\f（GM，r)),r越大，则v越小，故vA＜vB＜vC，A错误；由Geq\f(Mm，r2)＝mω2r得,ω＝eq\r（\f（GM,r3）），r越大，则ω越小，故ωA＜ωB＜ωC，B错误；由Geq\f(Mm，r2)＝ma得，a＝eq\f（GM，r2)，r越大,则a越小，故aA＜aB＜aC,C正确；由Geq\f（Mm，r2）＝meq\f（4π2，T2）r得，T＝2πeq\r（\f(r3，GM))，r越大,则T越大,故TA＞TB＞TC，因此运动一周后，C最先回到图示位置，D错误．题组一对三个宇宙速度的理解1．（双选）下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是(）A．第一宇宙速度v1＝7。9km/s，第二宇宙速度v2＝11。2km/s,则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚,成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度D．第一宇宙速度7.9km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度答案CD解析根据v＝eq\r（\f（GM,r)）可知,卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7。9km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度,选项D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径,故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是在地面附近使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造行星的最小发射速度，选项C正确．2．（单选）若取地球的第一宇宙速度为8km/s,某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，此行星的第一宇宙速度约为()A．16km/sB．32km/sC．4km/sD．2km/s答案A解析第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，对于近地卫星，其轨道半径近似等于星球半径，所受万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律得Geq\f（Mm，r2)＝meq\f(v2，r),解得v＝eq\r(\f(GM，r)）.因为行星的质量M′是地球质量M的6倍，半径R′是地球半径R的1.5倍，则eq\f(v′，v)＝eq\f（\r(\f（GM′,R′)）,\r(\f(GM，R）））＝eq\r(\f(M′R，MR′))＝2，故v′＝2v＝2×8km/s＝16km/s,A正确．3．(双选)美国“新地平线”号探测器，已于美国东部时间2006年1月17日13时(北京时间18日1时)借助“宇宙神5”火箭，从佛罗里达州卡纳维拉尔角肯尼迪航天中心发射升空，开始长达九年的飞向冥王星的太空之旅．拥有3级发动机的“宇宙神5”重型火箭将以每小时5。76万千米的惊人速度把“新地平线”号送离地球，这个冥王星探测器因此将成为人类有史以来发射的速度最高的飞行器，此速度()A．大于第一宇宙速度B．小于第二宇宙速度C．大于第三宇宙速度D．小于并接近第三宇宙速度答案AD解析由题中已知条件：5。76×104km/h＝16km/s以及第一宇宙速度是7。9km/s，第二宇宙速度是11。2km/s，第三宇宙速度是16.7km/s，可以判断A、D正确．4．(双选）一颗人造地球卫星以初速度v发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度增为2v，则该卫星可能（)A．绕地球做匀速圆周运动B．绕地球运动，轨道变为椭圆C．不绕地球运动，成为太阳的人造行星D．挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙去答案CD解析以初速度v发射后能成为人造地球卫星,可知发射速度v一定大于第一宇宙速度7.9km/s;当以2v速度发射时,发射速度一定大于15.8km/s,已超过了第二宇宙速度11。2km/s，也可能超过第三宇宙速度16.7km/s，所以此卫星不再绕地球运行，可能绕太阳运行，或者飞到太阳系以外的空间去,故选项C、D正确．5．(单选）有一星球的密度与地球的密度相同,但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的4倍,则该星球的质量是地球质量的（）A。eq\f（1,4)倍B．4倍C．16倍D．64倍答案D解析由Geq\f(Mm，R2）＝mg得M＝eq\f(gR2，G），ρ＝eq\f(M，V)＝eq\f(\f（gR2，G），\f（4，3)πR3）＝eq\f(3g,4πGR)所以R＝eq\f(3g,4πGρ），则eq\f（R,R地）＝eq\f(g,g地）＝4根据M＝eq\f(gR2,G）＝eq\f(4g地·4R地2,G）＝eq\f(64g地R\o\al(2，地),G)＝64M地，所以D项正确．6．(双选)火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转半径的1。5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是(）A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小B．火星公转的周期比地球的长C．火星公转的线速度比地球的大D．火星公转的向心加速度比地球的大答案AB解析由Geq\f（Mm，R2)＝mg得g＝Geq\f（M，R2)，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的eq\f(2，5),A对;由Geq\f（Mm，r2）＝m（eq\f(2π，T）)2r得T＝2πeq\r(\f（r3，GM)）,公转轨道半径大的周期长，B对；周期长的线速度小(或由v＝eq\r(\f（GM，r))判断轨道半径大的线速度小）,C错；公转向心加速度a＝Geq\f(M，r2），轨道半径大的向心加速度小，D错．故选A、B.7．（单选)一卫星绕某一行星在其表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力,物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常数为G，则这颗行星的质量为（）A。eq\f(mv2,GN)B。eq\f(mv4,GN）C。eq\f（Nv2,Gm）D.eq\f（Nv4，Gm）答案B解析设卫星的质量为m′由万有引力提供向心力，得Geq\f(Mm′,R2)＝m′eq\f(v2,R）①m′eq\f(v2,R）＝m′g②由已知条件：m的重力为N得N＝mg③由③得g＝eq\f(N,m），代入②得：R＝eq\f（mv2，N)代入①得M＝eq\f（mv4，GN)，故A、C、D三项均错误，B项正确．题组二人造卫星运动的规律8．(双选）可以发射一颗这样的人造卫星，使其圆轨道(）A．与地球表面上某一纬线(非赤道）是共面同心圆B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的答案CD解析人造卫星运行时，由于地球对卫星的引力是它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心,即指向地心,也就是说人造卫星所在轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，故A是不对的；由于地球自转,所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以B也是不对的；相对地球表面静止的就是同步卫星，它必须在赤道线平面内，且距地面有确定的高度，这个高度约为三万六千千米，而低于或高于这个轨道的卫星也可以在赤道平面内运动,不过由于它们自转的周期和地球自转周期不同,就会相对于地面运动．9．(双选)假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（）A．根据公式v＝ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍B．根据公式F＝meq\f（v2,r），可知卫星所需的向心力将减少到原来的eq\f(1，2）C．根据公式F＝Geq\f(Mm,r2)，可知地球提供的向心力将减小到原来的eq\f（1,4)D．根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的eq\f(\r（2）,2)答案CD解析从v＝eq\r(\f(GM,r)）看出,离地球越远的卫星速度越小，当半径加倍时，地球对卫星的万有引力变为原来的eq\f(1,4），即地球提供的向心力减小到原来的eq\f（1，4)，速度变为原来的eq\f（\r（2)，2)倍．10．（单选）2013年6月11日17时38分，“神舟十号"飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课．在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时,它的线速度大小(）A．等于7.9km/sB．介