人教版高中数学必修4课后习题答案

PAGEPAGE51第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念练习（P77）1、略.2、，.这两个向量的长度相等，但它们不等.3、，，，.4、（1）它们的终点相同；（2）它们的终点不同.习题2.1A组（P77）1、（2）.3、与相等的向量有：；与相等的向量有：；与相等的向量有：.4、与相等的向量有：；与相等的向量有：；与相等的向量有：5、.6、（1）×；（2）√；（3）√；（4）×.习题2.1B组（P78）1、海拔和高度都不是向量.2、相等的向量共有24对.模为1的向量有18对.其中与同向的共有6对，与反向的也有6对；与同向的共有3对，与反向的也有6对；模为的向量共有4对；模为2的向量有2对2．2平面向量的线性运算练习（P84）1、图略.2、图略.3、（1）；（2）.4、（1）；（2）；（3）；（4）.练习（P87）1、图略.2、，，，，.3、图略.练习（P90）1、图略.2、，.说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案.值得注意的是与反向.3、（1）；（2）；（3）；（4）.4、（1）共线；（2）共线.5、（1）；（2）；（3）.6、图略.习题2.2A组（P91）1、（1）向东走20km；（2）向东走5km；（3）向东北走km；（4）向西南走km；（5）向西北走km；（6）向东南走km.2、飞机飞行的路程为700km；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500km.3、解：如右图所示：表示船速，表示河水的流速，以、为邻边作□，则表示船实际航行的速度.在Rt△ABC中，，，所以因为，由计算器得所以，实际航行的速度是，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.4、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.5、略6、不一定构成三角形.说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形.7、略.8、（1）略；（2）当时，9、（1）；（2）；（3）；（4）.（第11题）10、，，.（第11题）11、如图所示，，，，.（第12题）12、，，，，（第12题），，.13、证明：在中，分别是的中点，（第13题）所以且，（第13题）即；同理，，所以.习题2.2B组（P92）（第1题）1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km.（第1题）2、不一定相等，可以验证在不共线时它们不相等.3、证明：因为，而，，所以.4、（1）四边形为平行四边形，证略（第4题(2)（第4题(2)）证明：∵，∴且∴四边形为梯形.（3）四边形为菱形.（第4题(3)）（第4题(3)）∴且∴四边形为平行四边形又（第5题）∴四边形（第5题）5、（1）通过作图可以发现四边形为平行四边形.证明：因为，而所以所以，即∥.因此，四边形为平行四边形.2．3平面向量的基本定理及坐标表示练习（P100）1、（1），；（2），；（3），；（4），.2、，.3、（1），；（2），；（3），；（4），4、∥.证明：，，所以.所以∥.5、（1）；（2）；（3）.6、或7、解：设，由点在线段的延长线上，且，得，∴∴∴，所以点的坐标为.习题2.3A组（P101）1、（1）；（2）；（3）.说明：解题时可设，利用向量坐标的定义解题.2、3、解法一：，而，.所以点的坐标为.解法二：设，则，由可得，，解得点的坐标为.4、解：，.，，.，所以，点的坐标为；，所以，点的坐标为；，所以，点的坐标为.5、由向量共线得，所以，解得.6、，，，所以与共线.7、，所以点的坐标为；，所以点的坐标为；故习题2.3B组（P101）1、，.当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以.2、（1）因为，，所以，所以、、三点共线；（2）因为，，所以，所以、、三点共线；（3）因为，，所以，所以、、三点共线.3、证明：假设，则由，得.所以是共线向量，与已知是平面内的一组基底矛盾,因此假设错误，.同理.综上.4、（1）.（2）对于任意向量，都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规定合理.2．4平面向量的数量积练习（P106）1、.2、当时，为钝角三角形；当时，为直角三角形.3、投影分别为，0，.图略练习（P107）1、，，.2、，，，.3、，，，.习题2.4A组（P108）1、，，.2、与的夹角为120°，.3、，.4、证法一：设与的夹角为.（1）当时，等式显然成立；（2）当时，与，与的夹角都为，所以所以；（3）当时，与，与的夹角都为，则所以；综上所述，等式成立.证法二：设，，那么所以；5、（1）直角三角形，为直角.证明：∵，∴∴，为直角，为直角三角形（2）直角三角形，为直角证明：∵，∴∴，为直角，为直角三角形（3）直角三角形，为直角证明：∵，∴∴，为直角，为直角三角形6、.7、.，于是可得，，所以.8、，.9、证明：∵，，∴，∴为顶点的四边形是矩形.10、解：设，则，解得，或.于是或.11、解：设与垂直的单位向量，则，解得或.于是或.习题2.4B组（P108）1、证法一：证法二：设，，.先证，由得，即而，所以再证由得，即，因此2、.3、证明：构造向量，.，所以∴（第4题）4、的值只与弦的长有关，与圆的半径无关.（第4题）证明：取的中点，连接，则，又，而所以5、（1）勾股定理：中，，则证明：∵∴.由，有，于是∴（2）菱形中，求证：证明：∵，∴.∵四边形为菱形，∴，所以∴，所以（3）长方形中，求证：证明：∵四边形为长方形，所以，所以∴.∴，所以，所以（4）正方形的对角线垂直平分.综合以上（2）（3）的证明即可.2．5平面向量应用举例习题2.5A组（P113）1、解：设，则，由得，即（第2题）代入直线的方程得.所以，点的轨迹方程为.（第2题）2、解：（1）易知，∽，,所以.（2）因为所以，因此三点共线，而且（第4题）同理可知：，所以（第4题）3、解：（1）；（2）在方向上的投影为.4、解：设，的合力为，与的夹角为，则，；，与的夹角为150°.习题2.5B组（P113）1、解：设在水平方向的速度大小为，竖直方向的速度的大小为，则，.设在时刻时的上升高度为，抛掷距离为，则所以，最大高度为，最大投掷距离为.2、解：设与的夹角为，合速度为，与的夹角为，行驶距离为.则，.∴.所以当，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.3、（1）解：设，则..将绕点沿顺时针方向旋转到，相当于沿逆时针方向旋转到，于是所以，解得（2）解：设曲线上任一点的坐标为，绕逆时针旋转后，点的坐标为则，即又因为，所以，化简得第二章复习参考题A组（P118）1、（1）√；（2）√；（3）×；（4）×.2、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.（第4题）3、，（第4题）4、略解：，，，5、（1），；（2），；（3）.6、与共线.证明：因为，，所以.所以与共线.7、.8、.9、.10、11、证明：，所以.12、.13、，.14、第二章复习参考题B组（P119）1、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.2、证明：先证.，.因为，所以，于是.再证.由于，由可得，于是（第3题）所以.【几何意义是矩形的两条对角线相等】（第3题）3、证明：先证又，所以，所以再证.由得，即所以【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】（第5题）4、，（第5题）而，，所以5、证明：如图所示，，由于，所以，所以所以，同理可得所以，同理可得，，所以为正三角形.（第6题）6、连接.（第6题）由对称性可知，是的中位线，.7、（1）实际前进速度大小为（千米／时），沿与水流方向成60°的方向前进；（2）实际前进速度大小为千米／时，沿与水流方向成的方向前进.8、解：因为，所以，所以同理，，，所以点是的垂心.9、（1）；（2）垂直；（3）当时，∥；当时，，夹角的余弦；（4）第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、..2、解：由，得；所以.3、解：由，是第二象限角，得；所以.4、解：由，得；又由，得.所以.练习（P131）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、解：由，得；所以.3、解：由，是第三象限角，得；所以.4、解：.5、（1）1；（2）；（3）1；（4）；（5）原式=；（6）原式=.6、（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=；（4）原式=.7、解：由已知得，即，所以.又是第三象限角，于是.因此.练习（P135）1、解：因为，所以又由，得，所以2、解：由，得，所以所以3、解：由且可得，又由，得，所以.4、解：由，得.所以，所以5、（1）；（2）；（3）原式=；（4）原式=.习题3.1A组（P137）1、（1）；（2）；（3）；（4）.2、解：由，得，所以.3、解：由，得，又由，得，所以.4、解：由，是锐角，得因为是锐角，所以，又因为，所以所以5、解：由，得又由，得所以6、（1）；（2）；（3）.7、解：由，得.又由，是第三象限角，得.所以8、解：∵且为的内角∴，当时，，不合题意，舍去∴∴9、解：由，得.∴.∴..10、解：∵是的两个实数根.∴，.∴.11、解：∵∴（第12题）12、解：∵（第12题）∴∴又∵，∴13、（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.14、解：由，得∴15、解：由，得∴16、解：设，且，所以.∴17、解：，.18、解：，即又，所以∴∴19、（1）；（2）；（3）；（4）.习题3.1B组（P138）1、略.2、解：∵是的方程，即的两个实根∴，∴由于，所以.3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）（证明略）本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：，其中，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳.对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为，则即所以3．2简单的三角恒等变换练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）.最小正周期为，递增区间为，最大值为；（2）.最小正周期为，递增区间为，最大值为3；（3）.最小正周期为，递增区间为，最大值为2.习题3.2A组（P143）1、（1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（3）略；（4）提示：用代替1，用代替；（5）略；（6）提示：用代替；（7）提示：用代替，用代替；（8）略.2、由已知可有……①，……②（1）②×3－①×2可得（2）把（1）所得的两边同除以得注意：这里隐含与①、②之中3、由已知可解得.于是∴4、由已知可解得，，于是.5、，最小正周期是，递减区间为.习题3.2B组（P143）1、略.2、由于，所以即，得3、设存在锐角使，所以，，又，又因为，所以由此可解得，，所以.经检验，是符合题意的两锐角.（第4题）4、线段的中点的坐标为.过作垂直于轴，交轴于，.（第4题）在中，.在中，，.于是有，5、当时，；当时，，此时有；当时，，此时有；由此猜想，当时，6、（1），其中所以，的最大值为5，最小值为﹣5；（2），其中所以，的最大值为，最小值为；第三章复习参考题A组（P146）1、.提示：2、.提示：3、1.4、（1）提示：把公式变形；（2）；（3）2；（4）.提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式=；（2）原式==；（3）原式==；（4）原式=6、（1）；（2）；（3）.提示：；（4）.7、由已知可求得，，于是.8、（1）左边==右边