南昌大学大二公共课专业概率论与数理统计试卷及答案

南昌大学2021 436分〕1X的概率密度为/(x),分布函数为F(x),则一定有( )成立。X是连续函数；

F(x)是连续函数；/'(X)是连续函数；(D)x,F'(x)f(x)o20〜944个数码能排成四位偶数的概率为〔 )。41 41 4 142

〔B)—；90

〔C)9

〔D)-。23、设随机变量(X,K)的分布函数为歹(x,y),对任意实数z,P{max{X,K}>z}=()o〔A)P{X>Z}+P(Y>}-P(X>Z,Y>},

F(z,z),Z Z(C)1-F(z,z),4、设X与K相互独立，且EX2,EY2均存在，则有

P{X>z,Y>z}oD(XY)=DXDY-, (B)D(XK)=EX2EY2-(EX)2(EK)2〔C)D(X-Y+c)=DX-DY,(D)0(X7)=Cou(X,F)。5X~N(0,b2),X,,X,---,

为总体X的一个样本，2 ]5则以下各式中正确的选项是(15(A)ZX.~N(O,15),k=l

)o15(B)ZX；~/(15),k=l55(D) ——8(5,1。)EM7=66、设随机变量(X,K)~N(—3,l;2,l;0),设Z=X—2Y+则〜〔 )。(A)N(O,—3);(B)iV(0,5)； (C)N(0,46)(D)N(0,54)。7、设X],X2，X3为总体的一个样本，以下几个总体均值//的无偏估计量中,最正确的是〔)。(A)e=-x.+—X,+-x,；5110-23(c)0=-x+-x,-—x.；34-12

(B)e=-x.+-x,+-x.-3 i 2 - 63,1 1 5l1〔D)0=-X+-X+—X,l13 4 - 1238、设吕,邑,一,》,,为来自总体X的样本，[为样本均值，总体X的均值为152n的置信度为0.95,置信区间的上、下限分别为a（x x,•••,%„）,则该区间的意义是（）o152l 2 ll 2(A) P{a(x,x,---,x)</z</?(%!，x,•••,%„)}=0.95l 2 ll 2(B) P{a{x,x,---,x)<x<b(x

,•••,)}=0.95；x 2 n { 2(C) P{a(xpx2,•••,%„)<//<Z?(x15x2,••■,%„)}=0.05；(D) P{a{xvx2,•••,x;i)<X-/J<b(x},x20.05。9、设随机变量(X,K)的概率密度为f(x,y),且函数f(x,y)连续,Z=X2+Y2G：必+y2z>0时，L(z)=()。Lf

f(x,y)dsdr,」UJC

⑻法Jc/x’mrLr(0 y)ds,

(D)ff(x,y)ds.Jz二、填空题〔每题4分，总分值36分〕1、设A,B为随机事件，P(A)=0.6,P(B)=0.8,P(B|A)=0.85，则P(A|B)=。2、三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击中敌舰一、二、三发炮弹的概率分别为、、，而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率分别为0.3、0.6、0.8o则敌舰被击沉的概率为。3、设随机变量X的二阶矩EX?存在，令函数g(t)=E(X-t)12,则当t=时，g(f)=E(X-舟的值最小。4、设X.X2，…,X”是来自正态总体N(0,l)的一个样本，l<m<n,贝ij统计量p=_L(£x"+£x；服从的分布为omk=l k=m+l5X],X2,…,XXEX=//,£)X=b2,A=x=—匕匕=：文X.,S2=：^(Xi)2,Z=**,

一1nn°k=l 3k=7 Lk=7 Bz服从的分布为。9m只盒子中去,每只球落入各个盒子是等可能的，(数不限)XEX=-8分〕X为连续型随机变量，其概率密度f(x),1n2 k 92 k 9

_尸=#+必是"2C=〃k=l〃k=l6、随机变量X的分布函数F(x)=W(1+x3),-l<x<l,l,x>1则Y=2X-+1的分布函数氏(y)=。7、 设随机变量X的分布律为P{X=*}=(1一〃〃』，k=k>0,E\X\k存在，试证：对任意£>0,成立P{|X|2研

E'X'。£k简述一下这道题的结论在概率论中的哪些方面有用处。101-911-1319生不做〕设随机过程X。)=asin(攻+O)，其中。和刃是非零常数，©是在(0,2i)上服从均匀分布的随机变量。试求：(1)写出。的概率密度/(^)；(3)E［X(f)X(f+

〔2)求£1X(?)］;⑷判断X(f)是否为平稳过程？Xi,X2，…,X是总体X~N(〃o,<r2)的样本，X,X,---,X为样本值，ni 2n(备用公式：sincrsiny^=；［cos0-月)一cosQr+月)］)［四］10191911-13章的学生不做〕°试求：(1)C72的极大似然估计值；〔2)C/2的极大似然估计量。101911-1319的学生不做〕则｛

X“表示第〃步传输出的数字，,n=0,1,2,-••｝是一齐次马尔可夫链；n试求：〔1)写出状态空间S和一步转移概率矩阵P;(2) P｛Xg=l,X“2=l|X“=0｝。［五］10分)191-911-13的学生不作〕二维随机变量(X,P)的概率密度为f(x,y)=

a(x+y),0<%<1,0<j<2其它3,确定常数a; ⑵求P{x>y}.答案及评分细则〔20XX-01-10〕A 卷一、436分〕l.B;2.A;3.A;4.B5.C6.B7.D; 8.A. 9、B二'436分〕1、F(A|8)=0.7；2、n4、 2+—k=m+\5、----n—1p

3、k=EXO,y<ly6、F(v)=<(；技,1l,v>3y9、〃z[l——D]o7、DX=

(IT； mn—、36分〕l.B；2.D;3.A. 4、B；5.B;6.A; 7.A; 8.B；二'436分〕fO,v<l1、气（•?)W1QM3；l,v>32、5、P(A|B)=0.7；6、0.41; 7、k=EX8、m*=i

X〜/("-m+l)；k=m+l

n-1三、〔总分值8分〕证明户{IX|>研=L"f(x)dx3)v|_/3)i>

J|x|Z£g gKJ—ooE\X\k=.答：此不等式的特例是车比谢夫不等式-欣P{\X\>s}<^4^,P{|X

M}/X“X|2=

8 £ £在随机变量的概率估计和在研究随机变量序列依概率收敛〔大数定律的证明)等方面有用处。10分)1911-1319章的学生不做〕解〔1)O的概率密度/■(。)=<券'°<0<2〃 , 2分0,其它(2)E[X(0]=E[asin(^+0)]=[pn(^+3)f(3)d3J—00p2兀 1=Lasin(M+3)—d00, .................4分(3) E[X(t)X(t+r)]E[asin(破+0)-6/sin。。+r)+0)]r+oo=asm(cot+3)-asin(6t>(^+r)+0)f(0)dOr+ooJ—00

「万°1 1=a—[COSCDT-cos(a)(2t+r)+20)] dOJo2 2TIa3 c八3因为EX(t)=O是常数，E[X(/)Xa+r)]=yCos«r仅依赖于丁，E[X\t)]存在，所以X(f)是平稳过程 10分101911-1319的学生不做〕解 (1)状态空间S={0,

...............................................................2分<0.950.05)一步转移概率矩阵尸=(0.050.95J

, 5分⑵P{X,,H=1,X“,2=1|X,,=0}=RXg=11x“=0}.ax,#=11A=1,X,=0}=P{X,w=l|X,,=0}/{X,,,2=l|X,w=l}-——coss,.......................6分22(4) E[X\t)]=y,-Poi'Ai-0.05x0.95=0.0475.......................................［四］10分〕191-911-13不做〕n1 1

---,x;cr2)=

,——:—exp[-~(%.—//)2]19 n

Z=1

0寸12b12710-2

n2 |n~e冲[--"J

2b切以=-2&)_』郭『)解方程告=一；土+4成一心=°‘2,1〃