讲义例题微积分

1：函数fxlnxln(1x)的定义域A.1, B.0, C.1, 1例1：函数f(x) 有界

奇函

偶函 D.周期函22fx)在A.yf( B.yx3f(x4 C.yf( D.yf(x)f(3极限的四则运算法则limf(x)0limf(x)1：lim(2x2：lim1121 x x x2 3

x2

x2x22x

x24x2x5

x23x24x6

x32x7

x24xx5x x1：讨论函数fxx

x0在x0x62

1x

x17

2e4

sinxx0 e 8例4：利 准则证明limsinx 9例5：利 准则证明limsinx 例6：计算极限lim

n2 n2n例7：计算极限lim

n

n n2n

n2nn例1：limx 2

x222：lim(13x)sin13：lim(cosx)ln(1x2

2，则常数C xxC例1：limxsinx 例2：limxsin1 例3：limx2sin1 例4：limxsin11sinx x0

1：当x0fxexx1是关于gxx2高阶无穷 B.低阶无穷 C同阶无穷 D.等价无穷2fx

1cos

sint2dtgx) ，则当x0时，fx)是g 的高阶无穷 B.低阶无穷 C同阶无穷 D.等价无穷3x0(1cosxln(1x2xsinxn高阶的无穷小量，而2xsinxn是比ex

1高阶的无穷小量 例4：当x0时，试确定x310x2是x 阶无穷小量例5：当x0时，试确定5tanx是x 阶无穷小量6：当x0

sin3ln(1

是x 阶无穷小量xx1xx7：当x0时，下列无xx1xx

1e

D.18：limxln(1 例9：limx 2

x23131

eecos11：lim1lnsinx0

x12sinxln(12sin1例13：当x0时，(1ax2)41与xsinx是等价无穷小，则a 14：当x0fx)xsinax与gx)x2ln(1bx)则a ，b x x例1：函数f(x)

在x0 x1etan x x2例2：设函数f(x) 在x0处连续，则a 2 x x3fx x

在x0处连续，则a sin2xe2ax1 x例4：若函数f(x)

x

在,上连续，则a 例1：下面哪个函数在其定义域内f(x)x1,xx1,x

f(x)2x1,xx2 xx2x

1,xf(x)

x2

f(x)

1,x2x0fxxsin1x可去间断 B.跳跃间断

C第二间断 D.连续3fx

11e

，则x0fx)A.可去间断 B.跳跃间断 C.无穷间断 D.连续4fx

(x1)sinx(x2

5fx)

的间断点并判断其类sin6：求函数fx

x(x21)sinx

的间断点并判断其类eaxx2ax7fx

xarctan

xx0，问常数a为何值时eaxsin2

xx0fx)的连续x0fx)的可去间断点x0fx)的跳跃间断点1已知yyx)在任意点处的增量y

1

x0

C.e

D.e2fx)在x0①limf(

h)f(x0 ②limf(x0h)f(x0 例3：设f(x)x(x1)(x2)(xn),nN，则f'(0) 1f(x)4fx)在x0f(00limx0f(0)例5假设fx)x0处可导f(00计算极限x2fx2fx3) x3f(x)在某点处1：试判定下列函数在x0sinx,x①f(x)ln(1x),x②f(x)

,x11e1

x可导必连续未必例1：试判定函数y x在x0处的连续性与可导性1cosx xx2fx)x x

，其中gx)是有界函fx)在x处极限不

极限存在但不

连续但不可 x3fxabcos x

在x0处的可导，求ab 导数的几何意义法线例1fx为可导函数，且满足条件

f(1)f(1

1，则曲线yfx)在点1f(1)

2

C. D.2例2yfxxy2lnxy4所确定，则曲线yfx(1,1,)处的切线方程 x1t3：曲线yt

在t2处的切线方程 xetsin4：曲线

在(0,1)处的法线方程 yetcos例5：曲线yx2与曲线yalnx(a0)相切，则常数a 例1：计算下列函数的一阶①f(x)arctan1x1x1②f(x)ln(1例2：已知函数f(x)xx，则f'(x) 例3：设函数g(x)可微，h(x)e1g(x),h'(1)1,g'(1)2，则g(1) 4fx)在x2fxefxf(21f"'(2) 例1已知xg(y),yf(D)是严格单调且可导函数y f(x),xD的反数，f(1)2,f'(1)3，则g'(2) 31：设函数yyx)由方程y

y1所确定的，求d2

|x01：设函数yyx)由参数

xtln(1t所确定，则d2y yt

t

xt22：设函数yyx)由参数方程

所确定，

yt

f(x) x例1：设函数g(x)

fx具有二阶连续f(00

x①求常数a，使得gx)在x0处连②求gx)ex2fx)

x

，证明fx)在x0点处连续