江苏省宿迁市沭阳县2022-2023学年九年级上学期第一次联考数学试题（含答案）

第22页/共22页2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县九年级（上）第一次联考数学试卷一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上）1.若关于x的方程是一元二次方程，则a的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，结合“关于x的方程（a-1）+2x-1=0是一元二次方程”，得到关于a的不等式，解之即可．【详解】解：∵关于x的方程（a-1）+x=0是一元二次方程，∴a-1≠0，解得：a≠1．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2.已知x＝a是一元二次方程的解，则代数式的值为（）A.3 B.6 C.﹣3 D.﹣6【答案】B【解析】【分析】把x＝a代入一元二次方程，得a2-2a-3=0，再变形，得a2-2a=3，然后方程两边同乘以2，即可求解．【详解】解：把x＝a代入一元二次方程，得a2-2a-3=0，∴a2-2a=3，∴2a2-4a=6，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解是使方程左右两边相等的未知数值是解题的关键．3.的直径为，圆心O到点A的距离为，则点A与的位置关系是（）A.点A在外 B.点A在上 C.点A在内 D.无法确定【答案】A【解析】【分析】由点与圆心的距离与圆的半径的关系：＞，点在圆外，，点在圆上，＜，点在圆内，可得答案．【详解】解：的直径为，的半径为，圆心O到点A的距离为，而＞，点A外，故选：【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点与圆心的距离与圆的半径的关系：＞，点在圆外，，点在圆上，＜，点在圆内，是解题的关键．4.下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；（4）直径是圆中最长的弦，正确，综上所述，四个说法中正确的只有1个，故选：A．【点睛】本题考查圆中有关定义，能够熟练掌握圆的有关知识是解答本题的关键．5.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（）A.28° B.30° C.36° D.56°【答案】A【解析】【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小．【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，∵∠AOB＝86°−30°＝56°，∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°．故选A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6.一个人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则经过三轮传染后患流感的人数共有（）A.7人 B.49人 C.121人 D.512人【答案】D【解析】【分析】设每轮传染中平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有(x+1)人患流感，第二轮共有[x+1+(x+1)x]人，即64人患了流感，由此列方程求出x，再据此即可求得经过三轮传染后患流感的总人数．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得：1+x+x(1+x)=64，整理得，(x+1)2=64，

解得x=7或x=−9(舍去)，故每轮传染中平均一个人传染了7人，则经过三轮传染后患流感的人数为：(人)，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元二次方程，关键是得到两轮传染人数的数量关系，从而可列方程求解．7.如图，的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），P是⊙M上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点．若点A、B关于原点O对称，则长的最小值为（）A.6 B.8 C.12 D.16【答案】C【解析】【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，可知要使长最小，则需取得最小值，连接，交于，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，利用坐标与图形性质和勾股定理求解即可．【详解】解：如图，连接，∵，，∴，若要使长最小，则需取得最小值，连接，交于，当点位于位置时，取得最小值，过点作轴于点，则，，∴，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、坐标与图形、点与圆的位置关系等知识，能将求的最小值转化为求长是解答的关键．8.已知a、b、c为常数，且a（a+b+c）＜0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0根的情况是（）A.无实数根 B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根 D.有两个实数根【答案】C【解析】【分析】利用已知条件得到4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵Δ＝（﹣b）2﹣4ac＝b2﹣4ac，∵a（a+b+c）＜0，∴a2+ab+ac＜0，即a2+ab＜﹣ac，∴4a2+4ab＜﹣4ac，∴4a2+4ab+b2＜b2﹣4ac，∴b2﹣4ac＞（2a+b）2，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上）9.关于x的一元二次方程的一个根是－1，则______．【答案】-2【解析】【分析】将x=-1代入方程解之即可．【详解】解：将x=-1代入方程得解得m=-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查利用一元二次方程的解求参数的值，解题关键是掌握一元二次方程解的含义．10.关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．【答案】k＜2且k≠1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0，解得：k＜2且k≠1．故答案为：k＜2且k≠1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．11.若，是一元二次方程的两个根，则______．【答案】1【解析】【分析】根据方程的根得到，，再将所求式子变形，整体代入计算即可．【详解】解：，是一元二次方程的两个根，，，，．故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．12.2019年元旦节期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两个同学都互相发一次，小明统计全组共互发了90次微信，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为____________．【答案】x(x-1)=90【解析】【分析】每个人都要发送（x-1）次微信，有x个人，由微信的总数量列出方程，即可得到答案．【详解】解：设数学兴趣小组的人数为x个，∴每人要发送（x-1）次微信，∴全班共送x（x-1）=90，故答案为：x（x-1）=90．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是本题的关键．13.定义新运算“*”如下：，若，则_______．【答案】﹣2或1【解析】【分析】根据新定义将题中等式化关于一元二次方程，求解即可．【详解】解：∵，∴，即，解得：x＝﹣2或x＝1，故答案为：﹣2或1．【点睛】本题考查新定义与一元二次方程综合题目，理解新定义的运算规则，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键．14.已知点A到上各点的距离中最大距离为6cm，最小距离为2cm，那的⊙O半径为_____cm．【答案】4或2【解析】【分析】点A应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点A在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点A在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得出答案．【详解】解：当点A在圆内时，最大距离为6cm,最小距离为2cm,则直径是8cm,因而半径是4cm；当点A在圆外时，最大距离为6cm,最小距离为2cm,则直径是4cm,因而半径是2cm.故答案为：4或2【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．15.某单位准备将院内一块长30米，宽20米的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532平方米，那么小道进出口的宽度应为________米．（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）【答案】1【解析】【分析】设小道进出口的宽度应为x米，则种植花草部分的面积与长为（30﹣2x）米、宽为（20﹣x）米的矩形的面积相等，然后根据题意可列方程进行求解．【详解】解：设小道进出口的宽度应为x米，则种植花草部分的面积与长为（30﹣2x）米、宽为（20﹣x）米的矩形的面积相等，依题意得：（30﹣2x）（20﹣x）＝532，整理得：x²﹣35x+34＝0，解得：x1＝1，x2＝34．当x＝1时，30﹣2x＝30﹣2×1＝30﹣2＝28＞0，符合题意；当x＝34时，30﹣2x＝30﹣2×34＝30﹣68＝﹣38＜0，不合题意，舍去．故答案为：1．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．16.如图，正方形内接于，点P在劣弧上，则的度数为_____．【答案】45度##【解析】【分析】根据正方形的性质得到所对的圆心角为，则，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】解：连接、，如图，正方形内接于，所对的圆心角为，，．故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角定理和正方形的性质，确定所对的圆心角为是解题的关键．17.如图，在矩形中，，，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点不在圆内，则r的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】先根据矩形性质和勾股定理求出，再根据点与圆的位置关系结合图形即可得出结论．【详解】解：连接，∵四边形是矩形，∴，，在中，，由勾股定理得：，∵点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点不在圆内，且，∴，故答案为：．【点睛】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理和矩形的性质，解答关键是熟知点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外．18.如图，在以为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________．【答案】x2﹣x+1=0【解析】【分析】连接AD，BD，OD，易得△ACD∽△DCB，由相似三角形的性质可得AC•BC=1；由对称性可得，从而由勾股定理可求得半径OD，则可求得AC+BC，由根与系数的关系即可求得以和的长为两根的一元二次方程．【详解】连接AD，BD，OD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵四边形DCFE是正方形，∴DC⊥AB，∴∠ACD=∠DCB=90°，∴∠ADC+∠CDB=∠A+∠ADC=90°，∴∠A=∠CDB，∴△ACD∽△DCB，∴，又∵正方形CDEF的边长为1，∵AC•BC=DC2=1，由半圆及正方形的对称性知：，∵AC+BC=AB，在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，∴OD=，∴AC+BC=AB=，以AC和BC的长为两根的一元二次方程是x2﹣x+1=0．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理，对称性，一元二次方程根与系数的关系等知识，添加恰当的辅助线构造相似三角形是问题的关键．三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.解方程：（1）；（2）．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）利用配方法求解一元二次方程即可；（2）利用公式法求解一元二次方程即可．【小问1详解】解：移项，得，配方，得，开方，得，∴，；【小问2详解】解：，，，∴，则，∴，．【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并正确求解是解答的关键．20.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、．（1）求k的取值范围；（2）若（填序号），求k的值．（从①x1•x2＝2；②x1+x2＝3；③x1﹣x2＝1中选择一个作为条件，补充完整题目，并完成解答．）【答案】（1）（2）①,（答案不唯一，见解析）【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数关系求解即可．【小问1详解】解：由题意，，解得：；【小问2详解】解：由题意，，，若选①，则，解得：，∵，∴；若选②，则，解得：；若选③，则，即=1，解得：．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，以及根与系数关系并能灵活运用是解答的关键．21.如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A=20°，AE交⊙O于点B，且AB=OC．​（1）求∠AOB的度数（2）求∠EOD的度数【答案】（1）20°；（2）60°．【解析】【分析】（1）由AB=BO，则∠AOB=∠1=∠A=20°；（2）∠1=∠E，因此∠EOD=3∠A，即可求出∠EOD．【详解】（1）连OB，如图，∵AB=OC，OB=OC，∴AB=BO，∴∠AOB=∠1=∠A=20°（2）解：∵∠2=∠A+∠1，∴∠2=2∠A，∵OB=OE，∴∠2=∠E，∴∠E=2∠A，∴∠DOE=∠A+∠E=3∠A=60°．【点睛】本题考查了圆的认识，等腰三角形的性质和三角形外角定理，解题的关键是能从图形中发现每个角之间的关系．22.为解方程，我们可以这样进行：解：当，即时，，解得：，（舍），当，即时，，解得：（舍），，综上：的解为：，．模仿上述解法解下列方程：．【答案】，．【解析】【分析】去掉绝对值，然后利用因式分解法求解即可．【详解】解：当，即时，，解得：，（舍），当，即时，，解得：（舍），，综上：的解为：，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．23.请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图1，在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A，B，请画出这个圆的一条直径；（2）如图2，BA，BD是⊙O中的两条弦，C是BD上一点，∠BAC＝50°，在图中画一个含有50°角的直角三角形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，的垂直平分线过圆心，连接，利用网格找到相应的格点，作出弦的垂直平分线即可；（2）根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，即可画出一个含有50°角的直角三角形．【详解】解：（1）如图1，线段EF即为所求；（2）如图2，Rt△BEF即为所求．【点睛】本题考查作图，应用与设计，垂径定理、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24.已知AB是半圆O的直径，OD⊥弦AC于D，过点O作交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC＝2，（1）求OF的长；（2）连接BE，若BE=，求半径OA的长．【答案】（1）OF＝1（2）半径为3【解析】【分析】（1）先根据垂径定理得出AD＝CD＝1，根据“AAS”证明△ADO≌△OFE，即可得出OF＝AD＝1；（2）设OA=OB=OE=x，则：BF=OB-OF=x-1，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．【小问1详解】解：∵OD⊥AC，AC＝2，∴AD＝CD＝1，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO＝∠OFE＝90°，∵，∴∠DOE＝∠ADO＝90°，∴∠DAO+∠DOA＝90°，∠DOA+∠EOF＝90°，∴∠DAO＝∠EOF，∵在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴OF＝AD＝1．【小问2详解】解：设OA=OB=OE=x，则：BF=OB-OF=x-1，∵EF⊥AB，∴∠BFE＝∠OFE＝90°，∴，∴，解得：，（舍去）∴半径OA=3．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．25.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝______；（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．【答案】（1）18（2）0或【解析】【分析】（1）根据倍根方程的定义以及根与系数的关系即可求出答案．（4）根据定义可求出n=2m或n=m，代入原式后即可求出答案；【小问1详解】由题意可知：x＝m与x＝2m是方程x2﹣9x+c＝0的解，∴m+2m＝9，m•2m＝c，∴m＝3，c＝18，故答案为18；【小问2详解】由（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝1和x，∴2或，当n＝2m时，0，当nm时，；故代数式的值0或．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“倍根方程”的定义．26.有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米．（1）用含x的代数式表示y；（2）如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少？（3）能围成面积为78平方米的花圃吗？若能，求出AB的长，若不能，请说明理由．【答案】（1）（2）当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2（3）不能围成，理由见解析【解析】【分析】（1）根据各边长度间关系可得出BC=（30-3x）米，再利用矩形的面积计算公式，即可用含x的代数式表示y；（2）根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（3）不能围成面积为78平方米的花圃，根据围成花圃的面积为63平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-4＜0，可得出该方程没有实数根，即不能围成面积为78平方米的花圃．【小问1详解】∵AB=x米，∴BC=（30-3x）米，∴y=x（30-3x）．即．【小问2详解】当时，，解得，．当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．【小问3详解】不能围成．理由如下：若y=78，则，整理得，∵，∴该方程无解，故不能围成．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示y；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．27.2022年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢，某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件．（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；（2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？【答案】（1）10％（2）110【解析】【分析】（1）设月平均增长率为x，再根据2022年1月的销售量×（1+x）2=2022年3月的销售量列出方程，求出解，舍去不符合题意的解即可；（2）设商品的售价为m元，可表示利润和每天的销售量，再根据单件利润×销售量=12000列出方程，再求出解，根据题意确定答案即可．【小问1详解】解：设月平均增长率为x，根据题意，得，解得，（舍去）．所以该店“冰墩墩”销售量的月平均增长率是10％；【小问2详解】解：设每件商品的售价应该定在m元，则每件商品得销售利润是（m-80）元，每天的销售量是500-10（m-100）=（1500-10m）件，根据题意，得，解得，．因为要使销售量尽可能大，所以．所以每件商品的售价应该定为110元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．28.某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：【问题探究】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD、垂足为E．求证：BE＝DE+AD．小明同学的思路是：如图2．在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．【结论运用】如图3，△AB