简谐运动问题的常用思路

简谐运动问题的常用思路1.参考圆匀速圆周运动的投影是简谐运动。因此，对于每一个简谐运动，都可以找到一个匀速圆周运动，使其投影的运动情况与这个简谐运动同步。这个圆周运动的轨迹称为简谐运动的“参考圆”。例1.如图1所示，摆长为L的单摆悬挂于O点，今把摆线向右拉开，使之与竖直线间夹一个小角度后由静止释放，当摆球摆到平衡位置左侧与壁发生弹性碰撞时，摆线与竖直线间的夹角为 。若碰撞时间可忽略，则小球释放后经多长时间将再次回到释放点分析：如果没有壁的阻挡，单摆将做最大摆角为氐的小角度摆动，可近似视为简谐运动，于是7其中，振幅与周期分别为|xa«Lfl=—A今由于壁的阻挡，摆球的返回点与平衡位置相距 。画出与摆球的运动相对应的“参考圆”如图2所示。对应摆球从释放到与壁碰撞的过程，在“参考圆”上做匀速圆周运动的物体从B点运动到C点；对应摆球从碰撞点返回释放点的过程，在“参考圆”上做匀速圆周运动的物体从D点运动到B点。y-arccos—=—图2中，图22.能量守恒二在简谐运动系统中，弹簧具有弹性势能 ，振动物体具有动能耳1 2圧=—泗，总机械能—H+比保持不变。写出简谐运动系统的能量表达式,—kx2+—jwv2=总。与 进行比较，求出相应的k和m，即可解答相关问题。例2.在天花板下用两根长度均为L的轻绳悬挂一块质量为M的光滑木板，板中央有一质量为m的小滑块，如图3所示。开始时系统静止，然后使板有一个水平的纵向小速度巾，试求系统的振动周期。图3分析：设当绳的摆角为0时，木板的速度为V,此时小滑块m只有竖直向上的速度耳二和，根据机械能守恒定律可得1^1.□—於十一m(vsiii十(m)gL(l-cosff)由于£1!10耳0,cos/?w1-所以扌亦+扌吩馬3+型尹g（砸2与2显'十扌二耳进行比较，得疋=（虫；呃^和皿0=皿+护也系统的振动周期Qk 斗（M十嘟gjE斗（M+陀）g3.力的独立作用原理和分运动的独立性原理例3.如图4,在水平光滑桌面的中心有一光滑小孔0,—劲度系数为k的轻而细的弹性绳穿过小孔，绳的一端固定在地面上的A点，另一端系一质量为m的小球。弹性绳的自然长度为0A，现将小球沿桌面拉到B处（设OB=L），并将小球沿垂直于0B的方向以速度叫沿桌面抛出。试求：（1） 小球绕0点转过旳”到C点所需的时间。（2） 小球到达C点时的速度及0C的长度。

图4分析：选OB方向为x轴正方向，0C方向为y轴正方向。如图5,设小球运动到某一位置P点，令OP=r，此时弹性绳对小球的拉力大小为月二貯，方向指向0。将F分解，则图5=一F -krc0s=一&,Fy=—Fsin8=一心sin8——ky.由力的独立作用原理和分运动的独立性原理可知，小球的运动可分解为沿x、y方向的同频率的简谐运动，平衡位置均为0点，周期均为T(1)从B点到C点，小球在x方向上的简谐运动经历了了的时间，所以(2)小球到达C点时，在y方向上的速度为零，所以此时的速度就是它在x方向上做简谐运动的最大速度，即设OC=y，根据机械能守恒，可得+和占+g纱2二J.咖J 2.竝2,解得7=£叫-)4.等效法一般的简谐运动，振动周期为 ，对于单摆，振动周期可表示为T=肮-。求振动周期时，常常需要进行等效变换后才能用公式计算。常见的等效有：此的等效、l的等效、g的等效及模型的等效四种。例4.如图6,在水平光滑的导轨上有一质量为M的重物，重物只能沿导轨移动。重物上固定一根不可伸长的轻绳，绳上系有质量为m的小球，试求摆球在平行和垂直于导轨的平面上小振动的周期之比爲：拆。图6分析：设绳长为I,则当摆球在垂直于导轨的平面上振动时，重物静止不动，摆球的振动周期为迟=肮上

当摆球在平行于导轨的平面上振动时，系统质心不动。方程加］=M(J-G确定了系统质心0的位置，小球到0点的距离为MlM-\-mMlM-\-m摆球以不动点0为悬点，以占为摆长振动，振动周期为关于其它几种等效法，同学们可以查阅相关资料。5.微元法在平衡位置附近的小振动问题常用微元法求解。当x是小量时，〔1+忑广=1+欄。例5.如图7所示，在边长为a的正三角形的三个顶点A、B、C分别固定电量为Q9=°)的点电荷，在中心0上放置一个质量为m，电量为孚9、町的带电质点,0点显然为带电质点的平衡位置。设该质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置，试证明它将做简谐运动，并求其振动周期。图7

图7分析：以0为原点，在