18、第五章晶体中电子能带理论布洛赫波函数课件

固体电子理论－－－研究固体电子运动规律从19世纪末到现在，金属研究一直处在固体研究的中心。

1900年：英国物理学家德鲁德（P．K．LDrude）提出了第一个经典的电子导电理论（玻尔磁曼统计），初步定量解释了金属导电性的问题－德鲁德模型—经典的金属电子气理论。

1897年：英国物理学家汤姆逊(J.J.Thomson,1856—1940)在实验中发现电子。1906年，因测出电子的荷质比获诺贝尔物理学奖。第五章晶体电子能带理论固体电子理论－－－研究固体电子运动规律1900年：英国物理

1928年：在量子力学和量子统计的概念建立以后，德国物理学家索末菲（ArnoldSommerfeld1868-1951）建立了基于费密－狄喇克统计的量子自由电子气体的模型，给出了电子能量和动量分布的基本图像。计算了量子的电子气体的热容量，解决了经典理论的困难。德鲁德模型和索末菲模型都是把金属中导电的电子看成自由电子。量子自由电子理论可以作为一种零级近似而归入能带理论。第五章晶体电子能带理论1928年：在量子力学和量子统计的概念建立以后，德国物理学

1928年：美国物理学家布洛赫（1905-1983）（出生于瑞士的苏黎世）考虑了晶格周期电势对电子的运动状态的影响，提出了能带理论

清楚地给出了固体中电子动量和能量的多重关系，比较彻底地解决了固体中电子的基本理论问题建立了对包括金属、半导体、绝缘体的固体电性质的统一理论。第五章晶体电子能带理论1928年：美国物理学家布洛赫（1905-1983）（出生在能带论的基础上，从20世纪40年代到20世纪50年代，人们对半导体和绝缘体的理解一下子深入了很多。在此基础上，半导体工业开始发展，并最终导致了电子和信息时代的到来。由此，从固体物理学逐渐发展出整个电子和信息硬件工业的理论基础。第五章晶体电子能带理论在能带论的基础上，从20世纪40年代到20世纪50年代，Page5本章讨论能带理论基本原理和一些近似计算方法。

能带理论的基本假定能带理论是一个近似理论，首先说明能带理论作了哪些近似和假定：实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。由于电子与电子、电子与原子核、原子核与原子核之间存在着相互作用，一个严格的固体电子理论，必须求解下述多粒子体系的薛定谔方程：第五章晶体电子能带理论Page5本章讨论能带理论基本原理和一些近似计算方法。Page6电子和离子实的位置矢量分别用ri和Rn表示。哈密顿量的第一项和第二项：分别是NZ个电子的动能和库仑相互作用能；第三项和第四项：是N个离子实的动能和库仑相互作用势能；最后一项：是电子与离子实之间的库仑相互作用势能。这是一个量级为的NZ＋N多体问题，无法直接求解，需要做一些假设和近似，主要有三点：第五章晶体电子能带理论Page6电子和离子实的位置矢量分别用ri和Rn表示。这是Page7这种把电子系统与离子实分开考虑的处理方法称为绝热近似。即离子实近似看作不动，能量与外界无交换。基于电子和离子实在质量上的巨大差别，电子的速度远大于原子核的速度。因此，在考虑电子的运动时，认为核不动，而电子是在固定不动的原子核（离子实）产生的势场中运动。电子体系的哈密顿量为1、绝热近似第五章晶体电子能带理论Page7这种把电子系统与离子实分开考虑的处理方法称为Page82、单电子近似（平均场近似）由于电子运动彼此关联，使得难以处理。作为一种近似，可用一种平均场来代替即假定每个电子所处的势场都相同，使每个电子的电子间相互作用势能只与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关。这样代表电子i与所有其它电子的相互作用势能，它不仅考虑了其它电子对电子i的相互作用，而且也计入了电子i对其它电子的影响。第五章晶体电子能带理论Page82、单电子近似（平均场近似）由于电子运动彼此关联Page9这里为简单，将NZ个电子写成了N个电子。相应地，在电子和离子实的相互作用能中取Z＝1。

上式中，总的哈密顿量是N个单电子哈密顿量之和，N体问题简化成单体问题，即每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动。电子与核间作用能所有核对第i个电子的作用能第五章晶体电子能带理论电子体系的哈密顿量（3）可写成：单电子势Page9这里为简单，将NZ个电子写成了N个电子。相应Page103、周期场近似

固体中的离子和其它电子对被考察的单电子的库仑相互作用，可以用一个等效的具有晶格周期性的电势能来描述：即不管（5）式中单电子势的具体形式如何，假定它具有和晶格同样的平移对称性。即对所有属于BLV的成立。即电子是在一个周期场中运动。第五章晶体电子能带理论Page103、周期场近似固体中的离子和其它电子对Page11其本征函数取布洛赫函数的形式，并使单电子能谱呈能带结构。至此，在单电子近似和晶格周期场假定下，就把多电子体系问题简化为在晶格周期势场V（r）的单电子定态问题。第五章晶体电子能带理论得到单电子薛定谔方程Page11其本征函数取布洛赫函数的形式，并使单电子能谱呈

§5.1布洛赫波函数Page12根据量子力学，要了解晶体中电子的运动，需求解定态薛定谔方程就一维情况，哈密顿算符为为一维周期势场，具有晶格的平移对称性，满足式中a为晶格周期，n为任意整数。

在周期晶格势中运动的单电子称为布洛赫电子。§5.1布洛赫波函数Page12根据量子力学，Page13一、布洛赫定理

布洛赫给了布洛赫电子的波函数一个清晰的图象：

布洛赫电子波函数具有周期性调幅平面波形式。考虑到电势能U（r）具有晶体的平移对称性，布洛赫电子的几率密度一定也具有与晶格一样的周期性：即，在不同原胞中的相应位置，布洛赫电子的几率密度是一样的。

既然几率密度相同，在不同原胞中的相应位置的波函数之间，一定只相差一个相位。

§5.1布洛赫波函数Page13一、布洛赫定理即，在不同原胞中的相应位Page14（5）式称为布洛赫定理，式中的波函数称为布洛赫函数。因子为一平面波。下面我们证明布洛赫定理。布洛赫给出的布洛赫电子的波函数具有如下形式：

§5.1布洛赫波函数Page14（5）式称为布洛赫定理，式中的波函数称为布洛赫Page15二、晶体波函数是哈密顿算符与平移算符共同的本征函数

引进平移算符其作用于任何函数上的结果是使坐标x平移n个周期平移算符与哈密顿算符对易，即对于任意函数

§5.1布洛赫波函数Page15二、晶体波函数是哈密顿算符与平移算符共同的本征Page16根据量子力学的基本原理，平移算符与哈哈密顿算符对易，它们就有共同的本征函数。因此必然具有的本征函数所具有的性质。

§5.1布洛赫波函数Page16根据量子力学的基本原理，平移算符与哈哈密顿算符Page17本征函数的讨论，可代之以对本征函数的讨论。是和的共同本征函数，有如即对根据平移算符的定义：

§5.1布洛赫波函数Page17本征函数的讨论，可代之以对本征函数的讨论。是要求Page18由波函数的归一性可写成即和仅相差一位相因子。要求Page18由波函数的归一性可写成即和仅相差一位相因子Page19平移算符的本征值间有一定的关系即将（13）式代入，两边取对数得两次相继的平移，相当于一次平移

§5.1布洛赫波函数Page19平移算符的本征值间有一定的关系即将（13）式代Page20上式仅当这样，由于取与呈线性关系时，才能得到满足。具有平移对称性，对任意布喇菲格子的格矢，这里证明了其本征函数满足这是布洛赫定理的另一种形式。

§5.1布洛赫波函数平面波满足这个关系式Page20上式仅当这样，由于取与呈线性关系时，才能得到Page21也满足同样的关系式而平面波因此粒子的波函数应是这些平面波的线性叠加

§5.1布洛赫波函数U(x)具有晶格的同期性，因为Page21也满足同样的关系式而平面波因此粒子的波函数应Page22所以布洛赫波函数满足：

§5.1布洛赫波函数证明了周期场中运动的粒子其波函数是布洛赫波函数Page22所以布洛赫波函数满足：§5.1布洛赫波因此，布洛赫定理表明，晶体电子函数具有周期性调幅平面波的形式。在相邻原胞中的对应点即x与x+a处，波函数只相差一位相因子Page23布洛赫定理物理意义：平面波部分：反映电子在整个晶体内作共有化运动调幅波部分：反映在各个原胞内的运动情况，它的大小决定于原胞中的电子势场。波函数的模相同:在一周期性结构中电子的几率密度也应具有相同的周期性，电子在各原胞内相应点上出现的几率相同。电子势能某一本征态波函数（实数）布洛赫周期函数因子平面波成分（实数）

§5.1布洛赫波函数因此，布洛赫定理表明，晶体电子函数具有周期性调幅平面波的Page24三、周期性边界条件实际晶体是有限的，设一维晶体包含N个原胞，假设一无限晶体是以实际晶体为一大单元在空间重复排列而成，每个大单元中的情形完全一致，对于电子波函数或平移算符的本征函数而言，波函数满足下列边界条件：并由（11）式由此可得因此有

§5.1布洛赫波函数Page24三、周期性边界条件实际晶体是有限的，设一维Page25边界条件式限制了波矢的取值只能是的整数倍。

§5.1布洛赫波函数Page25边界条件式限制了波矢的取值只能是的整数倍。Page26四、波矢k的取值、简约布里渊区从公式可以看出，当取h为任意整数，则波矢k与相差任意倒格矢的波矢对应于相同的平移算符的本征值和本征函数。为了避免这种不确定性，将波矢值的选取限制在范围内。倒空间的这一区域称为简约布里渊区,如图所示。倒格矢

§5.1布洛赫波函数Page26四、波矢k的取值、简约布里渊区从公式可以看出，Page27图中看出，每个布里渊区都在倒空间占据相同的体积

§5.1布洛赫波函数边界条件式限制了波矢的取值只能是的整数倍。因此:每个波矢代表点在倒空间占据的体积即为于是在第一布里渊区内共有波矢的代表点为：Page27图中看出，每个布里渊区都在倒空间占据相同的体积Page28代表点的总数即为晶体原胞数N。相邻代表点的间距为：而代表点的分布密度为：

§5.1布洛赫波函数Page28代表点的总数即为晶体原胞数N。而代表点Page29对于周期性势场，即五、

三维情况的布洛赫定理其中取布拉菲格子的所有格矢，单电子薛定谔方程的本征函数是按布拉菲格子周期性调幅的平面波，即布洛赫定理单电子势具有晶体的平移对称性时所导致的重要结果是：使单电子波函数具有布洛赫波的形式。

§5.1布洛赫波函数Page29对于周期性势场，即五、三维情况的布洛赫定理其Page30且当平移晶格矢量Rn时，同一能量本征值的波函数只增加相位因子对属于布拉菲格子的所有格矢成立。另布洛赫定理亦可表述为对上述薛定谔方程的每一本征解，存在一波矢k，使得

§5.1布洛赫波函数Page30且当平移晶格矢量Rn时，同一能量本征值的波Page31波矢k的取值波矢k的取值由周期性边界条件决定。周期性边界条件去掉了晶体表面对平移对称性的破坏，使有限大的晶体具有了完全的平移对称性。假定有限晶体在基矢方向上的原胞数目分别是周期性边界条件就表示为

§5.1布洛赫波函数Page31波矢k的取值假定有限晶体在基矢方向上的原胞数目Page32把布洛赫定理（3）式用于（4）式，得这要求（8）式代入（7）式，并利用正格子、倒格子基矢间的正交关系将波矢k用相应的倒格子基矢表示，即

§5.1布洛赫波函数Page32把布洛赫定理（3）式用于（4）式，得这要求Page33得

§5.1布洛赫波函数即许可的布洛赫波矢k可看成是在倒格子空间中，以为基矢的布拉菲格子的格矢。每个许可的k值由上述布拉菲格子的格点表示。在k空间中所占的体积Page33得§5.1布洛赫波函数即许可的布洛赫波Page34是倒格矢原胞的体积，因此，倒格子空间一个原胞中许可的k的数目等于实空间中晶体的总原胞数N。倒格矢原胞的体积为这样，k空间中许可态的态密度为

§5.1布洛赫波函数Page34是倒格矢原胞的体积，因此，倒格子空间一个原胞中Page35

§5.2克龙尼克－潘纳势晶格的周期性势场是由位于格点处的原子产生的，因此可将其表示为原子势之和（如图）：代表位于距原点na处的原子势，如为复式格子，则代表基产生的势，即基中所有原子势的总和。对于如图所示的势场，求解薛定谔方程仍然是困难的。Page35§5.2克龙尼克－潘纳势晶格的周期Page36一、克龙尼克－潘纳势为了求解薛定谔方程，克龙尼克－潘纳提出了一个晶体势场的模型，即由一串等深等宽势阱组成的周期性势场（如图），称为克龙尼克－潘纳势。用方势阱－－－－近似地模拟单原子势

由此可求解薛定谔方程：

§5.2克龙尼克－潘纳势Page36一、克龙尼克－潘纳势为了求解薛定谔方程，Page37下面求解方程（4）的解：1、在区域势能V＝0取（4）式可写为

§5.2克龙尼克－潘纳势Page37下面求解方程（4）的解：1、在区域势能V＝0取Page38（5）式是二阶常系数微分方程，其特征方程为

§5.2克龙尼克－潘纳势故（5）式的解为Page38（5）式是二阶常系数微分方程，其特征方程为Page39因为周期性因此有

§5.2克龙尼克－潘纳势Page39因为周期性因此有§5.2克龙尼克－潘纳Page402、在区域势能V＝V0＞E（4）式写为其中同理，（9）式的解为

§5.2克龙尼克－潘纳势Page402、在区域势能V＝V0＞E（4）式写为其中同理Page41同理，（9）式的解为利用周期性

§5.2克龙尼克－潘纳势有Page41同理，（9）式的解为利用周期性§5.2Page42根据在处函数的连续性，即可得如下四个方程：

§5.2克龙尼克－潘纳势Page42根据在处函数的连续性，即可得如下四个方程：Page43要使波函数有异于零的解的条件是线性联立方程组（14）中的系数行列式应为零，即

§5.2克龙尼克－潘纳势Page43要使波函数有异于零的解的条件是线性联立方程组（Page44

§5.2克龙尼克－潘纳势（15）式可化为（16）式决定了能量E与波矢k的关系，称为色散关系，又称超越方程。Page44§5.2克龙尼克－潘纳势（15）式可化Page45二、色散关系与能带上式中α、β均与能量E有关为了看清周期场中色散关系的基本特点，假设势垒演变成δ形。即但保持为有限值。

§5.2克龙尼克－潘纳势Page45二、色散关系与能带上式中α、β均与能量E有关Page46此时有且因此引入无量纲量则（16）式化成上式表明，与能量有关的α不能任意取值，其取值范围只能使上式左方两项之和处于之间。

§5.2克龙尼克－潘纳势Page46此时有且因此引入无量纲量则（16）式化成上式表Page47令的变化情况如图所示：

§5.2克龙尼克－潘纳势Page47令的变化情况如图所示：§5.2克龙尼克Page48值，用粗线标出。将所对应的横坐标范围，即为（17）式所允许的在相邻粗线之间有一段间隔，相应的其中的不满足（17）式因而不符合薛定谔方程解的要求。计算出的能量不是哈密顿算符的本征值，电子不具有这样的能量。

§5.2克龙尼克－潘纳势即在此间隔内由Page48值，用粗线标出。将所对应的横坐标范围，即为（当P＝0时

这对应于自由粒子的情况

§5.2克龙尼克－潘纳势此时对能量无限制当P＝0时这对应于自由粒子的情况§5.2克龙尼克－当P的数值适当表达了粒子被束缚的程度。

§5.2克龙尼克－潘纳势此时能量同k无关，粒子只能有分立的能级，这就对应于处在无限势阱中粒子的情况。当P的数值适当表达了粒子被束缚的程度。§5.2克龙结论：

周期性势场中的电子可能具有的能量是分段存在的。

每两个可取的许可参量段之间为一不允许的能量范围所隔开。

这些能量范围均称为能带，前者称为许可带，后者称为禁带。代入（17）式作图，将可得能量E与波矢k的色散关系，即能带结构。

§5.2克龙尼克－潘纳势结论：周期性势场中的电子可能具有的能量是分段存在的。代能带结构显示如下几个重要特征：每一个k值描述一个电子状态，相应于一个电子能量或电子能级。对一维情况，在2π/a的范围内，包含的波矢数与晶体原胞数N相等。如果将简并的能级也看作不同的能级，则每个许可带内都包含N个能级（状态）－－能带一词的由来。能级E是k的偶函数，这表明色散关系在倒空间对原点是对称的这一重要性质。即

§5.2克龙尼克－潘纳势能带结构显示如下几个重要特征：每一个k值描述一个电子状态，Page53由于余弦函数的周期性，使相差2π/a的整数倍，即相差任意倒格矢的波矢对应于相同的α，因而相同的能量。

色散关系或能带结构在k空间还具有倒格子的周期性：式中n为任意整数。对应每一个k值，可以具有多个能量En（k）。能带越小，能带宽度越窄，能量越大，则能带越宽。能带宽度取决于原子间相互作用。

§5.2克龙尼克－潘纳势Page53由于余弦函数的周期性，使相差2π/a的整数倍Page54能带宽度取决于原子间相互作用。

§5.2克龙尼克－潘纳势［本节结束］原子间无相互作用而成为孤立原子，也就无所谓晶体与能带。在量子力学中，原子间相互作用的强弱与原子波函数的交叠有关。与内层原子波函数相应的能带最窄。而价电子所处的能带最宽。Page54能带宽度取决于原子间相互作用。§5.2固体电子理论－－－研究固体电子运动规律从19世纪末到现在，金属研究一直处在固体研究的中心。

1900年：英国物理学家德鲁德（P．K．LDrude）提出了第一个经典的电子导电理论（玻尔磁曼统计），初步定量解释了金属导电性的问题－德鲁德模型—经典的金属电子气理论。

1897年：英国物理学家汤姆逊(J.J.Thomson,1856—1940)在实验中发现电子。1906年，因测出电子的荷质比获诺贝尔物理学奖。第五章晶体电子能带理论固体电子理论－－－研究固体电子运动规律1900年：英国物理

1928年：在量子力学和量子统计的概念建立以后，德国物理学家索末菲（ArnoldSommerfeld1868-1951）建立了基于费密－狄喇克统计的量子自由电子气体的模型，给出了电子能量和动量分布的基本图像。计算了量子的电子气体的热容量，解决了经典理论的困难。德鲁德模型和索末菲模型都是把金属中导电的电子看成自由电子。量子自由电子理论可以作为一种零级近似而归入能带理论。第五章晶体电子能带理论1928年：在量子力学和量子统计的概念建立以后，德国物理学

1928年：美国物理学家布洛赫（1905-1983）（出生于瑞士的苏黎世）考虑了晶格周期电势对电子的运动状态的影响，提出了能带理论

清楚地给出了固体中电子动量和能量的多重关系，比较彻底地解决了固体中电子的基本理论问题建立了对包括金属、半导体、绝缘体的固体电性质的统一理论。第五章晶体电子能带理论1928年：美国物理学家布洛赫（1905-1983）（出生在能带论的基础上，从20世纪40年代到20世纪50年代，人们对半导体和绝缘体的理解一下子深入了很多。在此基础上，半导体工业开始发展，并最终导致了电子和信息时代的到来。由此，从固体物理学逐渐发展出整个电子和信息硬件工业的理论基础。第五章晶体电子能带理论在能带论的基础上，从20世纪40年代到20世纪50年代，Page59本章讨论能带理论基本原理和一些近似计算方法。

能带理论的基本假定能带理论是一个近似理论，首先说明能带理论作了哪些近似和假定：实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。由于电子与电子、电子与原子核、原子核与原子核之间存在着相互作用，一个严格的固体电子理论，必须求解下述多粒子体系的薛定谔方程：第五章晶体电子能带理论Page5本章讨论能带理论基本原理和一些近似计算方法。Page60电子和离子实的位置矢量分别用ri和Rn表示。哈密顿量的第一项和第二项：分别是NZ个电子的动能和库仑相互作用能；第三项和第四项：是N个离子实的动能和库仑相互作用势能；最后一项：是电子与离子实之间的库仑相互作用势能。这是一个量级为的NZ＋N多体问题，无法直接求解，需要做一些假设和近似，主要有三点：第五章晶体电子能带理论Page6电子和离子实的位置矢量分别用ri和Rn表示。这是Page61这种把电子系统与离子实分开考虑的处理方法称为绝热近似。即离子实近似看作不动，能量与外界无交换。基于电子和离子实在质量上的巨大差别，电子的速度远大于原子核的速度。因此，在考虑电子的运动时，认为核不动，而电子是在固定不动的原子核（离子实）产生的势场中运动。电子体系的哈密顿量为1、绝热近似第五章晶体电子能带理论Page7这种把电子系统与离子实分开考虑的处理方法称为Page622、单电子近似（平均场近似）由于电子运动彼此关联，使得难以处理。作为一种近似，可用一种平均场来代替即假定每个电子所处的势场都相同，使每个电子的电子间相互作用势能只与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关。这样代表电子i与所有其它电子的相互作用势能，它不仅考虑了其它电子对电子i的相互作用，而且也计入了电子i对其它电子的影响。第五章晶体电子能带理论Page82、单电子近似（平均场近似）由于电子运动彼此关联Page63这里为简单，将NZ个电子写成了N个电子。相应地，在电子和离子实的相互作用能中取Z＝1。

上式中，总的哈密顿量是N个单电子哈密顿量之和，N体问题简化成单体问题，即每个电子是在固定的离子势场以及其它电子的平均场中运动。电子与核间作用能所有核对第i个电子的作用能第五章晶体电子能带理论电子体系的哈密顿量（3）可写成：单电子势Page9这里为简单，将NZ个电子写成了N个电子。相应Page643、周期场近似

固体中的离子和其它电子对被考察的单电子的库仑相互作用，可以用一个等效的具有晶格周期性的电势能来描述：即不管（5）式中单电子势的具体形式如何，假定它具有和晶格同样的平移对称性。即对所有属于BLV的成立。即电子是在一个周期场中运动。第五章晶体电子能带理论Page103、周期场近似固体中的离子和其它电子对Page65其本征函数取布洛赫函数的形式，并使单电子能谱呈能带结构。至此，在单电子近似和晶格周期场假定下，就把多电子体系问题简化为在晶格周期势场V（r）的单电子定态问题。第五章晶体电子能带理论得到单电子薛定谔方程Page11其本征函数取布洛赫函数的形式，并使单电子能谱呈

§5.1布洛赫波函数Page66根据量子力学，要了解晶体中电子的运动，需求解定态薛定谔方程就一维情况，哈密顿算符为为一维周期势场，具有晶格的平移对称性，满足式中a为晶格周期，n为任意整数。

在周期晶格势中运动的单电子称为布洛赫电子。§5.1布洛赫波函数Page12根据量子力学，Page67一、布洛赫定理

布洛赫给了布洛赫电子的波函数一个清晰的图象：

布洛赫电子波函数具有周期性调幅平面波形式。考虑到电势能U（r）具有晶体的平移对称性，布洛赫电子的几率密度一定也具有与晶格一样的周期性：即，在不同原胞中的相应位置，布洛赫电子的几率密度是一样的。

既然几率密度相同，在不同原胞中的相应位置的波函数之间，一定只相差一个相位。

§5.1布洛赫波函数Page13一、布洛赫定理即，在不同原胞中的相应位Page68（5）式称为布洛赫定理，式中的波函数称为布洛赫函数。因子为一平面波。下面我们证明布洛赫定理。布洛赫给出的布洛赫电子的波函数具有如下形式：

§5.1布洛赫波函数Page14（5）式称为布洛赫定理，式中的波函数称为布洛赫Page69二、晶体波函数是哈密顿算符与平移算符共同的本征函数

引进平移算符其作用于任何函数上的结果是使坐标x平移n个周期平移算符与哈密顿算符对易，即对于任意函数

§5.1布洛赫波函数Page15二、晶体波函数是哈密顿算符与平移算符共同的本征Page70根据量子力学的基本原理，平移算符与哈哈密顿算符对易，它们就有共同的本征函数。因此必然具有的本征函数所具有的性质。

§5.1布洛赫波函数Page16根据量子力学的基本原理，平移算符与哈哈密顿算符Page71本征函数的讨论，可代之以对本征函数的讨论。是和的共同本征函数，有如即对根据平移算符的定义：

§5.1布洛赫波函数Page17本征函数的讨论，可代之以对本征函数的讨论。是要求Page72由波函数的归一性可写成即和仅相差一位相因子。要求Page18由波函数的归一性可写成即和仅相差一位相因子Page73平移算符的本征值间有一定的关系即将（13）式代入，两边取对数得两次相继的平移，相当于一次平移

§5.1布洛赫波函数Page19平移算符的本征值间有一定的关系即将（13）式代Page74上式仅当这样，由于取与呈线性关系时，才能得到满足。具有平移对称性，对任意布喇菲格子的格矢，这里证明了其本征函数满足这是布洛赫定理的另一种形式。

§5.1布洛赫波函数平面波满足这个关系式Page20上式仅当这样，由于取与呈线性关系时，才能得到Page75也满足同样的关系式而平面波因此粒子的波函数应是这些平面波的线性叠加

§5.1布洛赫波函数U(x)具有晶格的同期性，因为Page21也满足同样的关系式而平面波因此粒子的波函数应Page76所以布洛赫波函数满足：

§5.1布洛赫波函数证明了周期场中运动的粒子其波函数是布洛赫波函数Page22所以布洛赫波函数满足：§5.1布洛赫波因此，布洛赫定理表明，晶体电子函数具有周期性调幅平面波的形式。在相邻原胞中的对应点即x与x+a处，波函数只相差一位相因子Page77布洛赫定理物理意义：平面波部分：反映电子在整个晶体内作共有化运动调幅波部分：反映在各个原胞内的运动情况，它的大小决定于原胞中的电子势场。波函数的模相同:在一周期性结构中电子的几率密度也应具有相同的周期性，电子在各原胞内相应点上出现的几率相同。电子势能某一本征态波函数（实数）布洛赫周期函数因子平面波成分（实数）

§5.1布洛赫波函数因此，布洛赫定理表明，晶体电子函数具有周期性调幅平面波的Page78三、周期性边界条件实际晶体是有限的，设一维晶体包含N个原胞，假设一无限晶体是以实际晶体为一大单元在空间重复排列而成，每个大单元中的情形完全一致，对于电子波函数或平移算符的本征函数而言，波函数满足下列边界条件：并由（11）式由此可得因此有

§5.1布洛赫波函数Page24三、周期性边界条件实际晶体是有限的，设一维Page79边界条件式限制了波矢的取值只能是的整数倍。

§5.1布洛赫波函数Page25边界条件式限制了波矢的取值只能是的整数倍。Page80四、波矢k的取值、简约布里渊区从公式可以看出，当取h为任意整数，则波矢k与相差任意倒格矢的波矢对应于相同的平移算符的本征值和本征函数。为了避免这种不确定性，将波矢值的选取限制在范围内。倒空间的这一区域称为简约布里渊区,如图所示。倒格矢

§5.1布洛赫波函数Page26四、波矢k的取值、简约布里渊区从公式可以看出，Page81图中看出，每个布里渊区都在倒空间占据相同的体积

§5.1布洛赫波函数边界条件式限制了波矢的取值只能是的整数倍。因此:每个波矢代表点在倒空间占据的体积即为于是在第一布里渊区内共有波矢的代表点为：Page27图中看出，每个布里渊区都在倒空间占据相同的体积Page82代表点的总数即为晶体原胞数N。相邻代表点的间距为：而代表点的分布密度为：

§5.1布洛赫波函数Page28代表点的总数即为晶体原胞数N。而代表点Page83对于周期性势场，即五、

三维情况的布洛赫定理其中取布拉菲格子的所有格矢，单电子薛定谔方程的本征函数是按布拉菲格子周期性调幅的平面波，即布洛赫定理单电子势具有晶体的平移对称性时所导致的重要结果是：使单电子波函数具有布洛赫波的形式。

§5.1布洛赫波函数Page29对于周期性势场，即五、三维情况的布洛赫定理其Page84且当平移晶格矢量Rn时，同一能量本征值的波函数只增加相位因子对属于布拉菲格子的所有格矢成立。另布洛赫定理亦可表述为对上述薛定谔方程的每一本征解，存在一波矢k，使得

§5.1布洛赫波函数Page30且当平移晶格矢量Rn时，同一能量本征值的波Page85波矢k的取值波矢k的取值由周期性边界条件决定。周期性边界条件去掉了晶体表面对平移对称性的破坏，使有限大的晶体具有了完全的平移对称性。假定有限晶体在基矢方向上的原胞数目分别是周期性边界条件就表示为

§5.1布洛赫波函数Page31波矢k的取值假定有限晶体在基矢方向上的原胞数目Page86把布洛赫定理（3）式用于（4）式，得这要求（8）式代入（7）式，并利用正格子、倒格子基矢间的正交关系将波矢k用相应的倒格子基矢表示，即

§5.1布洛赫波函数Page32把布洛赫定理（3）式用于（4）式，得这要求Page87得

§5.1布洛赫波函数即许可的布洛赫波矢k可看成是在倒格子空间中，以为基矢的布拉菲格子的格矢。每个许可的k值由上述布拉菲格子的格点表示。在k空间中所占的体积Page33得§5.1布洛赫波函数即许可的布洛赫波Page88是倒格矢原胞的体积，因此，倒格子空间一个原胞中许可的k的数目等于实空间中晶体的总原胞数N。倒格矢原胞的体积为这样，k空间中许可态的态密度为

§5.1布洛赫波函数Page34是倒格矢原胞的体积，因此，倒格子空间一个原胞中Page89

§5.2克龙尼克－潘纳势晶格的周期性势场是由位于格点处的原子产生的，因此可将其表示为原子势之和（如图）：代表位于距原点na处的原子势，如为复式格子，则代表基产生的势，即基中所有原子势的总和。对于如图所示的势场，求解薛定谔方程仍然是困难的。Page35§5.2克龙尼克－潘纳势晶格的周期Page90一、克龙尼克－潘纳势为了求解薛定谔方程，克龙尼克－潘纳提出了一个晶体势场的模型，即由一串等深等宽势阱组成的周期性势场（如图），称为克龙尼克－潘纳势。用方势阱－－－－近似地模拟单原子势

由此可求解薛定谔方程：

§5.2克龙尼克－潘纳势Page36一、克龙尼克－潘纳势为了求解薛定谔方程，Page91下面求解方程（4）的解：1、在区域势能V＝0取（4）式可写为

§5.2克龙尼克－潘纳势Page37下面求解方程（4）的解：1、在区域势能V＝0取Page92（5）式是二阶常系数微分方程，其特征方程为

§5.2克龙尼克－潘纳势故（5）式的解为Page38（5）式是二阶常系数微分方程，其特征方程为Page93因为周期性因此有

§5.2克龙尼克－潘纳势Page39因为周期性因此有§5.2克龙尼克－潘纳Page942、在区域势能V＝V0＞E（4）式写为其中同理，（9）式的解为

§5.2克龙尼克－潘纳势Page402、在区域势能V＝V0＞E（4）式写为其中同理Page95同理，（9）式的解为利用周期性

§5.2克龙尼克－潘纳势有Page41同理，（9）式的解为利用周期性§5.2Page96根据在处函数的连续性，即可得如下四个方程：

§5.2克龙尼克－潘纳势Page42根据在处函数的连续性，即可得如下四个方程：Page97要使波函数有异于零的解的条件是线性联立方程组（14）中的系数行列式应为零，即

§5.2克龙尼