条件概率、乘法公式、独立性

.PAGE@:PAGE6§3．条件概率、乘法公式、独立性前面讲到随机事件时，说到随机事件是在一定条件S下，进展随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P〔A〕时，假如除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。但是在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A已经发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。一．【例1】设箱中有100件同型产品。其中70件〔50件正品，20件次品〕来自甲厂，30件〔25件正品，5件次品〕来自乙厂。现从中任取一件产品。〔1〕求获得甲厂产品的概率；〔2〕求获得次品的概率；〔3〕获得的是甲厂产品，求获得的是次品的概率。分析：为了直观，我们将产品情况列成表上面的问题，可用古典概率计算法求得。解：那么〔1〕〔2〕，，，〔3〕在“获得的是甲厂产品〞这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品〔50件正品，20件次品〕中任取一件。这时样本空间只含70个根本领件〔是原的样本空间的一部分〕。由古典概率知：为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进展分析：即有二。条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P〔A〕＞0，那么称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率,且【例1】从带有自标号1，2，3，4，5，6的六个球中，任取两个，假如用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6〞，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数〞，试求：【例】SKIPIF1<0解；〔ⅰ〕∵SKIPIF1<0，三．概率的乘法公式：乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件〔其概率不为零〕的概率乘以另一个事件在前一个事件发生下的条件概率。即【例2】盒中有10件同型产品。其中8件正品，2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第二次都获得正品的概率。因为在第一次已获得正品下，第二次再取产品时，盒中只剩9件产品，其中正品只有7件。【例3】10个考签中有4个难签，3人参加抽签〔不放回〕，甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。解：设事件A，B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，那么【例4】【例5】袋中有三个阄，其中仅有一阄为有物之阄，三人排队抓阄，每人取一个，记从此例看出，抓阄时虽排队，但三人是等概的，否那么这个方法就不会被人类采纳达数千年之久。三．事件的独立性：假如那么表示事件A发生并不影响事件B发生的概率。即SKIPIF1<01．定义：设A，B是两个随机事件，假如2．性质：假设四对事件SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；SKIPIF1<0 与SKIPIF1<0；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中有一对互相独立，那么其余三对也互相独立．即下面四个命题是等价的：３．定义２：应用独立性概念，可以简化概率的计算．【例6】在不超过100个自然数里任取一数，那么它能被2或能被5整除的概率为多少？SKIPIF1<0【例】袋中放有a个白球和b个黑球，随机取出一个，然后放回，并同时再放进与取出的球同色的球c个，再取第二个，这样连续取3次，问取出的3个球中头两个是黑球，第3个是白球酌概率是多少?解：【例】每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0．4％，且他们是否含有肝炎病毒是互相独立的．今混合100个人的血清，试求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率．如今我们知道对１００人的血清作检验．用新方法要检验l01次的可能性为0．33，而只需检验一次的可能性为１—o．33＝o．67．由此，可以知道，只做一次检验的可能性远大于t01次检验的可能性．以后我们将知道：用新方法对100个人平均需做34次检验，当然这比老方法要做too次检验确实减少了工作量．【例】【例】甲、乙两人同时向一敌机炮击，甲击中的概率为o．6，乙击中的概率为o．5，求敌机被击中的概率。【例１１】〔１〕两门火炮同时向一敌机射击，每门火炮的命中率为０．6，求敌机被击中的概率．现假设干门炮同时向向一敌机炮击，问欲以９９％的把握击中这敌机，至少需要几门炮？〔２〕解：设至少n门炮同时向向一敌机炮击，SKIPIF1<0“第SKIPIF1<0门炮击中这敌机〞SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 “敌机被击中〞，那么SKIPIF1<0，〔∵SKIPIF1<0不是两两互不相容，Ｐ〔Ａ〕计算量太大，可以考虑SKIPIF1<0的逆事件〕∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是互相独立的，∴SKIPIF1<0，SKIPI