地下建筑结构2

3、弹性地基梁理论3.1概述弹性地基梁：

是指搁置在具有一定弹性的地基上、各点与地基紧密相贴的梁。

例如：铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁等等。通过这种梁将作用在它上面的荷载，分不到较大面积的地基上，即使承载力较低的地基，能承受较大的荷载，又使梁的变形减小，提高刚度降低内力。地下建筑衬砌的计算，与弹性地基梁理论有密切的关系。●弹性地基梁理论：

弹性地基梁是超静定结构，分布于梁上的地基反力大小及变化规律，与作用于梁上的荷载、梁的几何形状及尺寸、材料及地基的物理力学性质有关，单用静力平衡条件是不能求得的，实用上常采用一定的假定，以资简化。目前，计算弹性地基梁的理论主要有以下两种。3.1概述一、以温克尔假定为基础的局部变形理论。认为地基反力的大小仅与该点的地基沉降量成正比。按照这个假定来计算弹性地基梁，是将地基看成为无限多个各自孤立的弹簧，地基沉降只发生在梁的底面范围内（实际上，临近梁四周的地基也发生沉陷）。另外，地基反力与其沉陷量间的比例系数，是与地基类别、受压面积大小、加力的大小、加力的方向与次数有关，并不是常数，很难取得准确值。所以，一般说来，温克尔假定不能很好的符合实际情况。但当硬地层上有一层较薄的松软土层，而梁放在松软土层上时，温克尔假定比较符合实际。3.1概述

二、把地基假定为半无限弹性体的共同变形理论。所谓半无限弹性体，是指地基表面为无限平面，梁搁置在上面，表面以下的地基为均质、各向同性的无线弹性体。地基的沉降量，用弹性力学方法计算。地基反力，根据梁与地基的变形协调条件求的。采用这个假定，地基某点的沉降量不仅与该点的压力有关，与其他点的压力也有关；地基沉陷不仅发生在梁的底面范围，也发生在临近四周的范围内。同时反映地基性质的是用它的弹性模量和泊松比，他们与受压面积的大小和加力的大小无关。所以这个假定比温克尔假定能更好的反映实际情况。3.1概述

上述两种理论，各有优缺点，工程上都在使用，但在计算上局部变形理论更简便些。由于目前对作用在衬砌结构上的主要荷载——围岩压力还没有完全认识，取值不可能准确，因此，在衬砌结构计算中，多采用局部变形理论计算围岩弹性抗力，使计算简化。此外，某些工程问题，如圆柱水池、穹顶结构，尚可比拟于局部变形理论进行求解。3.1概述3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解

在弹性地基梁局部变形理论中，除了采用温克尔假外，还认为梁的变形与地基的变形是协调的，即梁底面与地基表面始终是相贴的，没有缝隙，地基的沉陷或隆起与梁的挠度是处处相等的。另外，由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可略去不计。梁的高跨比一般很小，其变形符合平面假定，因此，在分析中可直接引用材料力学有关的梁理论的若干结论。下面推导弹性地基梁局部变形理论的计算公式。

设有长为l、宽为b的弹性地基等裁面宣粱，梁上作用有任意荷裁，其坐标、荷裁及内力的正方向如图5—1所示。3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解

在以下讨论中，取粱变形前的左端截面中心为坐标原点，x轴向右为正，y轴向下为正。分布荷载q(x)及集中荷载p向下为正，集中力偶荷载M顺时针向为正。弯矩Mx。使梁上边缘受拉为正，剪力：q(x)使微段反时针转为正。挠度(沉陷)y(x)向下为正，角变位⊙x反时针转为正。地基反力p(x)向上为正。3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解

为建立挠度曲线微分方程式，在有分布荷裁q(x)的区段，裁取一微段dx来研究，其受力图如图5—1所示。由微段平衡条件得：根据温克尔假定及地基与粱变形协调条件，地基反力p(x)与该点梁酌挠度成正比，即3.2弹性地基梁的挠度曲线微分

方程式及其参数求解式中中p(x)———梁单单位位长长度度上上的的地地基基反反力力(公斤斤／／厘厘米米)，b———梁的的宽宽度度(厘米米)，k———比例例系系数数，，在在地地下下建建筑筑中中称称围围岩岩弹弹性性抗抗力力系系数数(公斤斤／／厘厘米米3。)，其其物物理理意意义义为为使使单单位位面面积积地地基沉沉陷陷单单位位深深度度时时所所需需要要的的力力。。各各种种围围岩岩的的弹弹性抗抗力力系系数数，，交交附附表表5—3及附附表表5—4；y(x)———梁的的挠挠度度(厘米米)。3.2弹性性地地基基梁梁的的挠挠度度曲曲线线微微分分方方程程式式及及其其参参数数求求解解将公公式式(5—1)代入入微微段段平平衡衡方方程程式式，，并并赂赂去去高高阶阶微微量量后后得得由材材料料力力学学知知，，梁梁的的弯弯矩矩与与其其挠挠度度间间有有微微分分关关系系3.2弹性性地地基基梁梁的的挠挠度度曲曲线线微微分分方方程程式式及及其其参参数数求求解解将公公式式(5—3)代入入公公式式(5—2)，并并利利用用公公式式(5—4)后，，得得弹弹性性地地基基梁梁的的挠挠度度曲曲线线微微分分方方程程式中中α———弹性性地地基基梁梁的的弹弹性性特特征征值值(1／厘厘米米））E———梁材材料料的的弹弹性性模模量量(公斤斤／／厘厘米米2)I———梁截截面面惯惯性性矩矩(厘米米4)。方程程式式(5—5)是一一个个四四阶阶常常系系数数非非齐齐次次线线性性常常微微分分式式，，下下面面将将根根据据荷荷裁裁性性质质及及分分布布范范围围，，讨讨论论它它的的解解。。3.2弹性性地地基基梁梁的的挠挠度度曲曲线线微微分分方方程程式式及及其其参参数数求求解解当梁梁跨跨间间无无荷荷载时q(x)＝p＝M＝o，梁梁的的变变形形及及内内力力由由梁梁的的端端效效应应引引起起，，例例如如，，图图5—2所示示情情况况。。这这时时梁梁的的挠挠度度曲曲线线由由微微分分方方程程式式(5—5)对应应的的齐齐次次方方程程式式求求得得3.2弹性性地地基基梁梁的的挠挠度度曲曲线线微微分分方方程程式式及及其其参参数数求求解解设方方程程式式(5—5a)的解解为为yx＝er(ay)(其中中r为常常数数)，代代人人方方程程式式(5—5。)后，，得得特特征征方方程程式式它的的四四个个根根是是两两对对共共轭轭复复数数因此此，，齐齐次次方方程程式式(5—5a)的四四个个线线性性无无关关的的解解为为，，3.2弹性性地地基基梁梁的的挠挠度度曲曲线线微微分分方方程程式式及及其其参参数数求求解解当利利用用欧欧拉拉公公式式及及双双曲曲线线函函数数定定义义时时，，即即这四四个个解解可可写写为为3.2弹性性地地基基梁梁的的挠挠度度曲曲线线微微分分方方程程式式及及其其参参数数求求解解梁跨跨间间无无荷荷载载时时的的解解这样样齐齐次次方方程程式式(5—5a)的通通解解为为式中中C1~C4为积积分分常常数数由由梁梁两两端端的的四四个个边边界界条条件件确确定定。。将将通通解解yx代入入公公式式(5—3)及(5—4)，并并利利用用公公式式(5—6)及下下列列微微分分关关系系后后得得梁跨跨间间无无荷荷载载时时的的解解梁跨跨间间无无荷荷载载时时的的解解不难难求得得路问问无无荷荷载载时时，，梁梁的的变变位位及及内内力力为为为了了使使用用方方便便，，用用梁梁的的起起始始端端的的初初参参数数(物理理量量)替换换式式中中的的积积分分常常数数C1l—C4,如图图5—2所示示，，取取梁梁左左端端：：X＝o处的的挠挠度度y。、、角角变变位位Θ。弯弯矩矩M。及剪剪力Q。为初初参数数。那那么，，根据据这些些条化化并注注意到到：x=0时、Ф1＝1，Ф2=ФФ3=ФФ4=0，从公公式(5—10)求得梁跨间间无荷荷载时时的解解梁跨间间无荷荷载时时的解解将C1l—C4代入公公式(5—10)，得梁梁跨间间无荷荷哉时时，变变位及及内力力的初初参数数解为为：3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解首先讨讨论集中力力P的影响响:梁段上上荷载载挠挠度曲曲线方方程:显然C点以右右的挠挠度除除初参参数y。、Θ。、、M。及Q。的影影响按按上式式考虑虑外，，还应应加上上因P的影响响产生生的附附加项项△yx。集中力力P对其作作用点点c以右部部分的的挠度度影响响，正正如在在C点增加加一个个初参参致p时(对C点以右右部分分而言言)所产生生的挠挠度。。考虑虑到这这时的的坐标标原点点应为为x=ap，则则P对其作作用点点C以右部部分挠挠度影影响的的附加加项为为：或简写写为3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解同理，，对于于集中力力偶M作用点点D以右的的部分分，应应考虑虑以D点为坐坐标原原点增增加初初参数数－M后的挠挠度影影响附附加项项．即即3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解分布荷荷载q(x)对其以以右部部分的的挠度度影响响附加加项应应分分为两两种情情况讨讨论。。一是是在荷荷载分分布范范围EF内，二二是在在荷载载分布布范围围以外外，分分别在在两区区段]上积分分，求求得分分布荷荷载q(x)在该二二范围围内引引起的的挠度度附加加项为为：3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解因此,梁跨间间有荷荷载的的挠曲曲线方方程应应为:3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解运用相相同的的方法法可导导得各各段角角变位位、弯弯矩及及剪力力的附附加项项。将将它们们汇总总，最最后得得弹性性地基基等截截面直直梁的的变位位及内内力一一般公公式为为：3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解式中y。Q。——由边界界条件件确定定的初初参数数，意意义同同前，，am,ap——集中力力偶M及集中中力P的作用用点坐坐标；；3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解例:局部梯梯形荷荷载，，有3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解当利用用分部部积分分3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解（F）3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解（F）3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解对于全跨梯梯形荷荷载弹弹性地地基等截面面直梁梁3.3梁跨间间有荷荷载时时的解解3.4弹性地地基短短梁、、长梁梁及刚刚性梁梁在概述述中我我们提提到，，当地地基梁梁的刚刚度很很大，，地基基抗力力近似似为直直线分分布，，地基基梁的的计算算可退退化为为静定定问题题计算算。为了计计算方方便，，我们们将地地基梁梁分为为刚性梁梁、柔性性梁（（长梁）和弹弹性梁梁（短梁）三种种。定义换算长长度：：λ=ααl3.4弹性地地基短短梁、、长梁梁及刚刚性梁梁短梁(又称有有限长长梁、、弹性性梁)：l＜λ＜2.75一般弹弹性地地基梁梁，按按上述述方法法计算算刚性梁梁：λ＜1可认为为梁是是绝对对刚性性的，，即EI→→∞，刚性性梁的的地基基反力力呈直直线分分布，，其变变位及及内力力可由由静力力平衡衡条件件求得得。也可以以把刚刚性梁梁视为为短梁梁的特特例，，直接接由短短粱导导得计计算公公式。。此时时取α→→0，作极极限运运算。。因为为3.4弹性地地基短短梁、、长梁梁及刚刚性梁梁则3.4弹性地地基短短梁、、长梁梁及刚刚性梁梁式{……}内为正正时才才值取取，为为负时时舍去去3.4弹性地地基短短梁、、长梁梁及刚刚性梁梁长梁：：λ>=2．75无限长长梁：：若荷载载作用用点距距梁两两端的的换算算长度度均>=2．75，可忽忽略该该荷载载对梁梁端的的影响响，这这类梁梁称为为无限限长梁梁。无限长长梁：：若荷载载作用用点仅仅距梁梁一端端的换换算长长度>=2．75时，可可忽略略该荷荷载对对这一一端的的影响响，而而对另另一端端的影影响不能忽忽略，，这类类梁称称为半半无限限长梁梁。无无限长长梁可可化为为两个半无无限长长粱，，因此此，我我们只只讨论论半无无限长长梁。。3.4弹性地地基短短梁、、长梁梁及刚刚性梁梁由于作作用在在梁上上的荷荷载，，组合合方式式甚多多，计计算上上应分分别对对待，，在此此不作作详细细讨论论，仅仅讨论论与衬衬砌计计算有有关的的全跨跨梯形形荷载载情形形。3.4弹性地地基短短梁、、长梁梁及刚刚性梁梁3.4弹性地地基短短梁、、长梁梁及刚刚性梁梁3.4弹性地地基短短梁、、长梁梁及刚刚性梁梁式中因此：：3.4弹性地地基短短梁、、长梁梁及刚刚性梁梁式中3.4弹性地地基短短梁、、长梁梁及刚刚性梁梁3.5弹性地地基梁梁解的的应用用例13.5弹性地地基梁梁解的的应用用3.5弹性地地基梁梁解的的应用用解得3.5弹性地地基梁梁解的的应用用解得3.5弹性地地基梁梁解的的应用用3.5弹性地地基梁梁解的的应用用例2无限长长弹性性地基基梁，，在O点作用用集中中力P，求梁的的变位位及内内力公公式3.5弹性地地基梁梁解的的应用用3.5弹性地地基梁梁解的的应用用3.5弹性地地基梁梁解的的应用用9、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。12月月-2212月月-22Friday,December23,202210、雨中黄叶叶树，灯下下白头人。。。02:12:2402:12:2402:1212/23/20222:12:25AM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。12月月-2202:12:2502:12Dec-2223-Dec-2212、故人江海海别，几度度隔山川。。。02:12:2502:12:2502:12Friday,December23,202213、乍见翻疑疑梦，相悲悲各问年。。。12月-2212月-2202:12:2602:12:26December23,202214、他乡生白白发，旧国国见青山。。。23十二二月20222:12:26上上午02:12:2612月-2215、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。十二月222:12上上午12月-2202:12December23,202216、行动出成果果，工作出财财富。。2022/12/232:12:2602:12:2623December202217、做前，能够够环视四周；；做时，你只只能或者最好好沿着以脚为为起点的射线线向前。。2:12:26上午2:12上上午02:12:2612月-229、没有失失败，只只有暂时时停止成成功！。。12月-2212月-22Friday,December23,202210、很多事事情努力力了未必必有结果果，但是是不努力力却什么么改变也也没有。。。02:12:2802:12:2802:1212/23/20222:12:28AM11、成功就是日日复一日那一一点点小小努努力的积累。。。12月-2202:12:2802:12Dec-2223-Dec-2212、世间成事，，不求其绝对对圆满，留一一份不足，可可得无限完美美。。02:12:2802:12:2802:12Friday,December23,202213、不知香积积寺，数里里入云峰。。。12月-2212月-2202:12:2802:12:28December23,202214、意志坚坚强的人人能把世世界放在在手中像像泥块一一样任意意揉捏。。23十十二月20222:12:28上午午02:12:2812月-2215、楚塞三三湘接，，荆门九九派通。。。。十二月222:12上午午12月-2202:12December23,202216、少年十五二二十时，步行行夺得胡马骑骑。。2022/12/232:12:2902:12:3023December202217、空山山新雨雨后，，天气气晚来来