9-1第一类曲线积分课件

一、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长曲线积分的计算三、几何与物理意义第一节第一类曲线积分1一、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长曲线积分的计算三、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似值精确值2问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似一、对弧长的曲线积分

（第一类曲线积分）的概念1.定义3一、对弧长的曲线积分1.定义3被积函数积分曲线积分和式曲线形构件的质量弧长元素（弧微分）4被积函数积分曲线积分和式曲线形构件的质量弧长元素（弧微分）42.存在条件：3.推广52.存在条件：3.推广5注意：6注意：64.性质(l为曲线弧L的长度)积分路径可加性74.性质(l为曲线弧L的长度)积分路径可加性7二、对弧长曲线积分的计算定理证:根据定义8二、对弧长曲线积分的计算定理证:根据定义8点设各分点对应参数为对应参数为则积分中值定理9点设各分点对应参数为对应参数为则积分中值定理9因此注意:因此积分限必须满足2.注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.

10因此注意:因此积分限必须满足2.注意到因此上述计算公式特殊情形(3)如果方程为极坐标形式:则11特殊情形(3)如果方程为极坐标形式:则11推广:设空间曲线弧的参数方程为则12推广:设空间曲线弧的参数方程为则12例1:解:13例1:解:13例2:解:例3:解:14例2:解:例3:解:14例4.15例4.151616三、几何与物理意义17三、几何与物理意义17注：可推广至空间曲线弧18注：可推广至空间曲线弧18例5.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:建立坐标系如图,则19例5.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴例6.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得20例6.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分例7.计算其中为球面解:化为参数方程则21例7.计算其中为球面解:化为参数方程则21例8.计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知若不用轮换对称性直接计算，关键是将曲线方程化为参数方程，繁琐22例8.计算其中为球面被平面思考:

例8中改为计算解:令,则,如何23思考:例8中改为计算解:令,则,如何23小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用24小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧思考题对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度.25思考题对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？思考思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:26思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对2.设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z轴的转动惯量(2)求它的质心.解:设其密度为

ρ(常数).(2)L的质量而(1)272.设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z轴的转故重心坐标为28故重心坐标为28谢谢！谢谢！9-1第一类曲线积分课件一、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长曲线积分的计算三、几何与物理意义第一节第一类曲线积分31一、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长曲线积分的计算三、问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似值精确值32问题的提出实例:曲线形构件的质量匀质之质量分割求和取极限近似一、对弧长的曲线积分

（第一类曲线积分）的概念1.定义33一、对弧长的曲线积分1.定义3被积函数积分曲线积分和式曲线形构件的质量弧长元素（弧微分）34被积函数积分曲线积分和式曲线形构件的质量弧长元素（弧微分）42.存在条件：3.推广352.存在条件：3.推广5注意：36注意：64.性质(l为曲线弧L的长度)积分路径可加性374.性质(l为曲线弧L的长度)积分路径可加性7二、对弧长曲线积分的计算定理证:根据定义38二、对弧长曲线积分的计算定理证:根据定义8点设各分点对应参数为对应参数为则积分中值定理39点设各分点对应参数为对应参数为则积分中值定理9因此注意:因此积分限必须满足2.注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.

40因此注意:因此积分限必须满足2.注意到因此上述计算公式特殊情形(3)如果方程为极坐标形式:则41特殊情形(3)如果方程为极坐标形式:则11推广:设空间曲线弧的参数方程为则42推广:设空间曲线弧的参数方程为则12例1:解:43例1:解:13例2:解:例3:解:44例2:解:例3:解:14例4.45例4.154616三、几何与物理意义47三、几何与物理意义17注：可推广至空间曲线弧48注：可推广至空间曲线弧18例5.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:建立坐标系如图,则49例5.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴例6.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得50例6.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分例7.计算其中为球面解:化为参数方程则51例7.计算其中为球面解:化为参数方程则21例8.计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知若不用轮换对称性直接计算，关键是将曲线方程化为参数方程，繁琐52例8.计算其中为球面被平面思考:

例8中改为计算解:令,则,如何53思考:例8中改为计算解:令,则,如何23小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用54小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧思考题对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？思考题解答的符号永远为正，它表示弧段的长度.55思考题对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？思考思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:56思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用