应力状态理论

关于应力状态理论第一页，共八十八页，2022年，8月28日全应力：——A上的内力分解为两个分量：：

正应力——截面法向分量。：切应力——截面切向分量。P第二页，共八十八页，2022年，8月28日过一点可以截取无限个平面，因此，一点的应力是方位的描述量。问题：是否可以根据有限方位上的应力，表示“一点的应力”？此问题称为“一点的应力状态分析”。又称“应力张量分析”P第三页，共八十八页，2022年，8月28日单元体的应力状态单元体：——变形固体内按一定方位截割的边长趋于无穷小的正六面体。n第四页，共八十八页，2022年，8月28日一点的应力状态：围绕变形固体内一点所取的单元体的6个面上应力的大小，可以反映该点任意方向上应力的状态。单元体称为应力状态单元体。描述一点应力状态所需要的单元体6个面上的应力分量是yxzx——x方向正应力y——y方向正应力z——z方向正应力x'xy'y'zz'x——x反向正应力'y——y反向正应力'z——z反向正应力第五页，共八十八页，2022年，8月28日xyzxy—x平面指向y方向的切应力；τ´xy—x平面指向y反向的切应力xyyx—y平面指向x方向的切应力；τ´yx—y平面指向x反向的切应力yxyzzyxzzxyz—y平面指向z方向的切应力;xz—x平面指向z方向的切应力zy—z平面指向y方向的切应力;zx—z平面指向x方向的切应力第六页，共八十八页，2022年，8月28日一共18个应力分量，称为一点的应力张量应用内力平衡关系，可以证明材料力学中以引起的变形的方向确定应力的符号应力张量写成矩阵形式,有9个元素第七页，共八十八页，2022年，8月28日另外，可以证明——切应力互等定理xyyxyzzyxzzxxyz第八页，共八十八页，2022年，8月28日独立的应力张量分量为6个写成矩阵为一点任意方向的应力可以由这6个应力分量确定。另一种叙述为：已知一点应力状态单元体上6个应力分量，求该点任意方向的应力。——应力状态分析第九页，共八十八页，2022年，8月28日平面应力状态分析xyzxyyxx'xy'y'zz如图，当Z平面上切应力为零，即xyyxyzzyxzzxxyzx'xy'y'zz单元体应力状态如图第十页，共八十八页，2022年，8月28日n单元体应力状态如图这时，独立的应力分量为，，和与XY平面垂直的平面上的应力没有Z方向的分量，并且由x，y及xy决定。——平面应力状态已知x，y及xy，求任意斜截面n上的应力——平面应力状态分析。xyzxyyxy'yzx'x第十一页，共八十八页，2022年，8月28日平面应力状态单元体的表示：n截面上的应力分解为xyzxyyxy'yzx'xn正应力切应力是截面法向与x轴的夹角，规定：逆时针为正；顺时针为负。，的符号规定同前。平面应力状态单元体表示xxyyxyyxyxxyxn第十二页，共八十八页，2022年，8月28日平面应力状态分析——解析法xxyyxyyxyxxyxn已知平面应力状态单元体x，y

，xy（yx=-xy）求和xyyxxynxdAdAxdAy第十三页，共八十八页，2022年，8月28日应力符号定义第十四页，共八十八页，2022年，8月28日角度符号：逆时针：+

；顺时针：-第十五页，共八十八页，2022年，8月28日单元体内力平衡关系第十六页，共八十八页，2022年，8月28日第十七页，共八十八页，2022年，8月28日第十八页，共八十八页，2022年，8月28日第十九页，共八十八页，2022年，8月28日主应力，主平面——主平面第二十页，共八十八页，2022年，8月28日第二十一页，共八十八页，2022年，8月28日最大切应力和最小切应力第二十二页，共八十八页，2022年，8月28日主平面与最大切应力作用平面的关系第二十三页，共八十八页，2022年，8月28日应力状态分析——图解法消去2得：若以为横坐标，为纵坐标建立坐标系，得原点半径圆方程第二十四页，共八十八页，2022年，8月28日第二十五页，共八十八页，2022年，8月28日第二十六页，共八十八页，2022年，8月28日第二十七页，共八十八页，2022年，8月28日第二十八页，共八十八页，2022年，8月28日第二十九页，共八十八页，2022年，8月28日第三十页，共八十八页，2022年，8月28日主平面第三十一页，共八十八页，2022年，8月28日主应力第三十二页，共八十八页，2022年，8月28日最大切应力（最小切应力）第三十三页，共八十八页，2022年，8月28日单元体应力状态与应力圆的对应关系第三十四页，共八十八页，2022年，8月28日第三十五页，共八十八页，2022年，8月28日第三十六页，共八十八页，2022年，8月28日第三十七页，共八十八页，2022年，8月28日已知一点A的应力状态如图，求：A点的主应力和主平面。（应力单位为MPa）2552622A第三十八页，共八十八页，2022年，8月28日2552622A解：将A点的两个截面看成平面应力状态单元体的两个截面则：代入2552622A22第三十九页，共八十八页，2022年，8月28日两式消去2得：解得于是该单元体应力状态为222222225534.634.6第四十页，共八十八页，2022年，8月28日222222225534.634.6主应力：主平面：46.346.36.76.728.3°应力圆（单位：MPa）第四十一页，共八十八页，2022年，8月28日特殊应力状态单元体Ax(，0)Ay(0，0)“单向拉伸”应力状态单元体与应力圆第四十二页，共八十八页，2022年，8月28日Ay(0,)Ax(0,-)“纯剪切”应力状态单元体与应力圆0第四十三页，共八十八页，2022年，8月28日Ax(，-)Ay(0，)第四十四页，共八十八页，2022年，8月28日“三向拉伸应力”状态第四十五页，共八十八页，2022年，8月28日三向应力状态分析xyzxyyxx'xy'y'zz考虑特殊情况：z

是主应力231主单元体，三个主应力规定：第四十六页，共八十八页，2022年，8月28日第四十七页，共八十八页，2022年，8月28日第四十八页，共八十八页，2022年，8月28日第四十九页，共八十八页，2022年，8月28日第五十页，共八十八页，2022年，8月28日第五十一页，共八十八页，2022年，8月28日第五十二页，共八十八页，2022年，8月28日第五十三页，共八十八页，2022年，8月28日第五十四页，共八十八页，2022年，8月28日第五十五页，共八十八页，2022年，8月28日第五十六页，共八十八页，2022年，8月28日第五十七页，共八十八页，2022年，8月28日应变状态分析和应力­应变关系应变——单元体变形大小的度量。应变的形式有两种线应变——单元体尺寸改变的度量。用表示，定义为xyzdxdydzx方向的线应变x单元体x

方向变形量线应变的符号：伸长为正；缩短为负线应变的单位：表示在单位长度上发生10-6的变形量。第五十八页，共八十八页，2022年，8月28日同理，定义其中δv

，δw表示单元体在y，z方向的变形量。一般地，任意方向的线应变表示为——原长；l——（原长的）变形量。第五十九页，共八十八页，2022年，8月28日切应变（剪应变）——单元体形状改变的度量。用表示，定义为xyzdxdydzxy——单元体xy平面内直角的改变量。同样，可以定义切应变具有角度的单位——弧度。切应变符号:直角增加为正;直角减小为负;第六十页，共八十八页，2022年，8月28日切应力与切应变的符号关系第六十一页，共八十八页，2022年，8月28日平面应变状态分析xxyyxyyxyxxyxn

与平面应力状态分析类似，应用几何的方法可以建立单元体正应变x、y，切应变xy、yx

与任意方向上正应变

，切应变

的变换关系。首先，可以证明第六十二页，共八十八页，2022年，8月28日dxdyoabcmnoabcmn第六十三页，共八十八页，2022年，8月28日主应变，主平面主应变：主平面：主平面上切应变为零。对于各向同性材料，可以证明，任意点的应变主方向与应力主方向是一致的。第六十四页，共八十八页，2022年，8月28日平面应变测量在工程中，可以应用实验的方法测定一点的应变状态，从而确定主平面和主应变。方法是在测点选定三个方向1，2，3

测出对应的正应变1，2，3，于是有解出x

，y，xy代入主应变关系式和主平面关系即可。第六十五页，共八十八页，2022年，8月28日45º90º应用0º-45º-90º“直角应变花”测量的应变0

，45

，90

计算测点的主应变与主方向。第六十六页，共八十八页，2022年，8月28日解：取0

为x方向；90为y方向，有代入45º90ºxy解出有第六十七页，共八十八页，2022年，8月28日于是主应变：主方向：第六十八页，共八十八页，2022年，8月28日应力-应变关系应力状态分析——利用平衡条件；应变状态分析——利用几何条件。——与材料的特性无关。相同受力条件下不同材料的变形不同。材料的受力与变形之间的关系——把这种关系称为物理关系——取决于材料自身性质，由试验确定，称为材料的力学性质。基本物理关系：材料应力-应变之间的关系——胡克定律。适用于线性弹性材料第六十九页，共八十八页，2022年，8月28日材料单向拉伸变形，当应力不超过一定量值时，线应变与正应力成正比，表示为E——材料的弹性模量材料纯剪切变形，当应力不超过一定量值时，切应变与切应力成正比，表示为G——材料的切变模量胡克定律第七十页，共八十八页，2022年，8月28日横向变形与泊松比试验证实，几乎所有的材料在产生纵向线应变时，会产生与垂直方向上的线应变´，且方向与相反，大小成比例。称为横向变形效应。——无量纲比例常数，材料性质。称为泊松比对任何材料泊松比值

0<<0.5对于普通碳钢，第七十一页，共八十八页，2022年，8月28日复杂应力状态的应力应变关系——广义胡克定律xyyxyzzyxzzxxyzxyz一个方向（如x方向）的线应变由三个线应变构成：第七十二页，共八十八页，2022年，8月28日广义胡克定律1）各向同性材料2）小变形——正应力不引起切应变；切应力不引起线应变3）对于任意方向(包括主单元体)成立此定律适用于:第七十三页，共八十八页，2022年，8月28日——主应力与主应变平面应力状态第七十四页，共八十八页，2022年，8月28日各向同性材料弹性模量E、泊松比、切变模量G之间的关系体积应变平均应力123第七十五页，共八十八页，2022年，8月28日例：从钢构件内某一点的周围取出一单元体如图所示。根据理论计算已经求得=30MPa，=15MPa。材料E=200GPa。=0.30。试求对角线AC的长度改变l。解:将单元体看成一平面应力状态于是：第七十六页，共八十八页，2022年，8月28日由广义胡克定律第七十七页，共八十八页，2022年，8月28日45°045已知某点的单元体应力状态如图，现测得该点x方向线应变0=25010-6

；与x成45方向的线应变45=14010-6

。材料弹性模量E=210GPa；泊松比=0.28。求：该点的主应力大小及主方向。第七十八页，共八十八页，2022年