高中数学北师大必修课件：-球

7.3

球7.3球高中数学北师大必修课件：-球1.球的截面球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆;被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆.2.球的切线(1)当直线与球有唯一交点时,称直线与球相切,其中它们的交点称为直线与球的切点.(2)过球外一点的所有切线的长度都相等,这切点的集合是一个圆,该圆面及所有切线围成了一个圆锥.3.球的表面积和体积

1.球的截面2.球的切线3.球的表面积和体积【做一做】

直径为6的球的表面积和体积分别是

(

)A.144π,144π B.144π,36πC.36π,144π D.36π,36π答案:D名师点拨1.球的表面积与体积由它的半径唯一确定,因此求球的表面积、体积的关键是求出球的半径.2.球的表面不像柱体、锥体和台体那样可以展开在一个平面上,即使是球面上任意小的一块,也不能展开在一个平面上,因此球的表面没有展开图.【做一做】直径为6的球的表面积和体积分别是()答案:思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)过球外一点有且只有一条切线与球相切.(

)(2)球面上的任意三点确定一个平面.(

)(3)如果一个球的体积变为原来的27倍,那么对应的球的表面积变为原来的3倍.(

)×√×思考辨析×√×探究一探究二探究三易错辨析探究一球的表面积与体积【例1】

(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为

.

(2)已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA⊥平面ABC,SB⊥BC,SA=1,AB=BC=2,则球O的表面积为

.

解析:(1)如图所示,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,探究一探究二探究三易错辨析探究一球的表面积与体积解析:(1)探究一探究二探究三易错辨析(2)由题知△SAC,△SAB,△SBC均为直角三角形,O是SC的中点,如图所示.探究一探究二探究三易错辨析(2)由题知△SAC,△SAB,△探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.计算球的表面积和体积关键是计算球的半径,而计算半径的关键是寻找球心的位置.2.当球的半径增加为原来的2倍时,球的表面积增加为原来的4倍,球的体积增加为原来的8倍.3.注意公式的“双向”应用,也就是说当知道球的表面积或体积时,也可以求出球的半径.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.计算球的表面积和体积关探究一探究二探究三易错辨析变式训练1

(1)球的表面积扩大到原来的2倍,球的体积扩大到原来的(

)

(2)如图所示的是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表面积为

.

探究一探究二探究三易错辨析变式训练1(1)球的表面积扩大到探究一探究二探究三易错辨析(2)由三视图可知该几何体是由圆锥和半球组成的组合体.球半径和圆锥底面半径都等于3,圆锥的母线长等于5,高为4,所以该几何体的表面积S=2π×32+π×3×5=33π.答案:(1)C

(2)33π探究一探究二探究三易错辨析(2)由三视图可知该几何体是由圆锥探究一探究二探究三易错辨析探究二球的表面积与体积的应用【例2】一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在此容器内注入水并且放入一个半径为

的铁球,这时水面恰好和球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是多少?分析:设球未取出时的水面高度和取出后的水面高度,则水面下降,减少的体积就是球的体积,建立一个关系式来解决.探究一探究二探究三易错辨析探究二球的表面积与体积的应用探究一探究二探究三易错辨析解:设△PAB所在平面为轴截面,AB为水平面,设球未取出时,水面高PC=h,球取出后水面高PH=x,球的半径为r=,如图所示.故球取出后水面的高为15.探究一探究二探究三易错辨析解:设△PAB所在平面为轴截面,A探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.球的体积和表面积有着非常重要的应用.在具体问题中,要分清是涉及体积还是涉及表面积问题,然后再利用等量关系进行计算.2.涉及球的应用问题画出截面图是解题的关键.有关球的截面的性质:(1)用一个平面去截一个球,截面是圆面;(2)球心和截面圆圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足勾股定理.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.球的体积和表面积有着非探究一探究二探究三易错辨析变式训练2圆柱形烧杯内壁半径为5cm,两个直径都是5cm的铜球都浸没于烧杯的水中,若取出这两个铜球,则烧杯内的水面将下降(

)解析:设烧杯内的水面将下降h

cm,答案:A探究一探究二探究三易错辨析变式训练2圆柱形烧杯内壁半径为5探究一探究二探究三易错辨析探究三球的切、接问题【例3】

正方体的内切球和外接球的表面积之比为(

)解析:正方体的棱长等于内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设正方体的棱长是a,内切球半径为r,外接球半径为R,内切球的表面积为S',外接球的表面积为S,答案:C探究一探究二探究三易错辨析探究三球的切、接问题解析:正方体的探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.有关球的常见切接问题球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”“接点”作出截面图.2.球与正方体的切接问题若正方体的棱长为a,则:(1)正方体的内切球的直径为a,如图①所示;探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.有关球的常见切接问题变式训练3一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为,底面周长为3,则这个球的体积为

.

探究一探究二探究三易错辨析变式训练3一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知探究一探究二探究三易错辨析因考虑不全面而致误【典例】

已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,且距离为3,求这个球的表面积.错解如图所示,设这两个截面圆的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球的半径为R.探究一探究二探究三易错辨析因考虑不全面而致误探究一探究二探究三易错辨析正解:当两截面在球心的同侧时,解法同上.当两截面在球心的异侧时,d1+d2=3,由以上解法可知(d1-d2)(d1+d2)=3,纠错心得1.由于球是一个很特殊的对称体,满足条件的两截面可能出现在球心同侧或异侧.2.本例中错解显然遗漏了截面在球心异侧的情况.探究一探究二探究三易错辨析正解:当两截面在球心的同侧时,解法123451.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)123451.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为12345答案:A12345答案:A123452.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是(

)解析:设正方体的棱长为a,球的半径为R,由6a2=4πR2答案:A123452.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的123453.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(

)A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2

D.24πa2解析:由于长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,因此长方体的体对角

所以S球=4πR2=6πa2.答案:B123453.设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点123454.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3,则这个四棱锥的外接球的表面积为

.

解析:如图,设正四棱锥底面的中心为O,则

故正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3,即正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心,且球的半径r=3,球的表面积S=4πr2=36π.答案:36π123454.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3123455.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.解:该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.123455.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左7.3

球7.3球高中数学北师大必修课件：-球1.球的截面球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆;被不经过球心的平面截得的圆叫作球的小圆.2.球的切线(1)当直线与球有唯一交点时,称直线与球相切,其中它们的交点称为直线与球的切点.(2)过球外一点的所有切线的长度都相等,这切点的集合是一个圆,该圆面及所有切线围成了一个圆锥.3.球的表面积和体积

1.球的截面2.球的切线3.球的表面积和体积【做一做】

直径为6的球的表面积和体积分别是

(

)A.144π,144π B.144π,36πC.36π,144π D.36π,36π答案:D名师点拨1.球的表面积与体积由它的半径唯一确定,因此求球的表面积、体积的关键是求出球的半径.2.球的表面不像柱体、锥体和台体那样可以展开在一个平面上,即使是球面上任意小的一块,也不能展开在一个平面上,因此球的表面没有展开图.【做一做】直径为6的球的表面积和体积分别是()答案:思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)过球外一点有且只有一条切线与球相切.(

)(2)球面上的任意三点确定一个平面.(

)(3)如果一个球的体积变为原来的27倍,那么对应的球的表面积变为原来的3倍.(

)×√×思考辨析×√×探究一探究二探究三易错辨析探究一球的表面积与体积【例1】

(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为

.

(2)已知S,A,B,C是球O表面上的点,SA⊥平面ABC,SB⊥BC,SA=1,AB=BC=2,则球O的表面积为

.

解析:(1)如图所示,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,探究一探究二探究三易错辨析探究一球的表面积与体积解析:(1)探究一探究二探究三易错辨析(2)由题知△SAC,△SAB,△SBC均为直角三角形,O是SC的中点,如图所示.探究一探究二探究三易错辨析(2)由题知△SAC,△SAB,△探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.计算球的表面积和体积关键是计算球的半径,而计算半径的关键是寻找球心的位置.2.当球的半径增加为原来的2倍时,球的表面积增加为原来的4倍,球的体积增加为原来的8倍.3.注意公式的“双向”应用,也就是说当知道球的表面积或体积时,也可以求出球的半径.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.计算球的表面积和体积关探究一探究二探究三易错辨析变式训练1

(1)球的表面积扩大到原来的2倍,球的体积扩大到原来的(

)

(2)如图所示的是一个几何体的三视图,根据图中的数据可得该几何体的表面积为

.

探究一探究二探究三易错辨析变式训练1(1)球的表面积扩大到探究一探究二探究三易错辨析(2)由三视图可知该几何体是由圆锥和半球组成的组合体.球半径和圆锥底面半径都等于3,圆锥的母线长等于5,高为4,所以该几何体的表面积S=2π×32+π×3×5=33π.答案:(1)C

(2)33π探究一探究二探究三易错辨析(2)由三视图可知该几何体是由圆锥探究一探究二探究三易错辨析探究二球的表面积与体积的应用【例2】一个倒立圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在此容器内注入水并且放入一个半径为

的铁球,这时水面恰好和球面相切,问将球从圆锥内取出后,圆锥内水面的高是多少?分析:设球未取出时的水面高度和取出后的水面高度,则水面下降,减少的体积就是球的体积,建立一个关系式来解决.探究一探究二探究三易错辨析探究二球的表面积与体积的应用探究一探究二探究三易错辨析解:设△PAB所在平面为轴截面,AB为水平面,设球未取出时,水面高PC=h,球取出后水面高PH=x,球的半径为r=,如图所示.故球取出后水面的高为15.探究一探究二探究三易错辨析解:设△PAB所在平面为轴截面,A探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.球的体积和表面积有着非常重要的应用.在具体问题中,要分清是涉及体积还是涉及表面积问题,然后再利用等量关系进行计算.2.涉及球的应用问题画出截面图是解题的关键.有关球的截面的性质:(1)用一个平面去截一个球,截面是圆面;(2)球心和截面圆圆心的连线垂直于截面;(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足勾股定理.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.球的体积和表面积有着非探究一探究二探究三易错辨析变式训练2圆柱形烧杯内壁半径为5cm,两个直径都是5cm的铜球都浸没于烧杯的水中,若取出这两个铜球,则烧杯内的水面将下降(

)解析:设烧杯内的水面将下降h

cm,答案:A探究一探究二探究三易错辨析变式训练2圆柱形烧杯内壁半径为5探究一探究二探究三易错辨析探究三球的切、接问题【例3】

正方体的内切球和外接球的表面积之比为(

)解析:正方体的棱长等于内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设正方体的棱长是a,内切球半径为r,外接球半径为R,内切球的表面积为S',外接球的表面积为S,答案:C探究一探究二探究三易错辨析探究三球的切、接问题解析:正方体的探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.有关球的常见切接问题球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”“接点”作出截面图.2.球与正方体的切接问题若正方体的棱长为a,则:(1)正方体的内切球的直径为a,如图①所示;探究一探究二探究三易错辨析反思感悟1.有关球的常见切接问题变式训练3一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为,底面周长为3,则这个球的体积为

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探究一探究二探究三易错辨析变式训练3一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知探究一探究二探究三易错辨析因考虑不全面而致误【典例】

已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,且距离为3,求这个球的表面积.错解如图所示,设这两个截面圆的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球的半径为R.探究一探究二探究三易错辨析因考虑不全面而致误探究一探究二探究三易错辨析正解:当两截面在球心的同侧时,解法同上.当两截面在球心的异侧时,d1+d2=3,由以上解法可知(d1-d2)(d1+d2)=3,纠错心得1.由于球是一个很特殊的对称体,满足条件的两截面可能出现在球心同侧或异侧.2.本例中错解显然遗漏了截面在球心异侧的情况.探究一探究二探究三易错辨析正解:当两截面在球心的同侧时,解法123451.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体