数理统计理论与计算实例

摘要本文采用数理统计的方法对麦秸秆的燃烧热值数据进行分析，首先对燃烧数据进行适当整理，给出燃烧数据的频率和频数的分布表，并画出相应的直方图和折线图。其次，假定热值数据来自正态总体，对其进行参数估计，包括矩估计和最大似然估计，接着研究当数据不服从正态分布时的矩估计和最大似然估计。然后对其进行相应的区间估计，包括“方差未知时数学期望的置信区间”和“数学期望，均未知时方差的置信区间”两种情况，当然这些区间估计都是都是建立在数据服从正态分布的情况下，如果热值数据不服从正态分布，要给出探求分布的方案。在接下来就是对其进行参数检验和非参数检验，参数检验包括：t检验和检验，非参数检验就是指拟合优度检验，最后给出相应的结论。关键字：正态分布；参数估计；区间估计；假设检验AbstractInthisarticle,weusethemethodofmathematicalstatisticstoanalysetheheatofcombustionofwheatstrawdata.Firsttidyingthedataofcombustion,givingthetableaboutfrequencyandthefrequencydistributionfromthenumberofcombustiondata,anddrawingthecorrespondinghistogramandlinecharts.Second,assumingthatthecalorificvalueofthedatafromthenormalpopulation,andtheestimatingparameters,includingmomentestimationandmaximumlikelihoodestimation,thenstudythemwhenthedatadoesnotfollowanormaldistribution.Thenitscorrespondingintervalestimates,includingthevarianceunknownmathematicalexpectationoftheconfidenceintervalandmathematicalexpectation,confidenceintervalsareunknownvariancebothcases,ofcourse,theseintervalsareestimatedarebasedindataobeypositivestatedistributioncase,iftheheatvaluedatadonotfollowanormaldistribution,toexplorethedistributionoftheprogramisgiven.Thenextstepistoitsparametrictestsandnon-parametrictests,parametrictestsincluding:t-testandtest,nonparametrictestsisthegoodnessoffittest,andfinallygivesthecorrespondingconclusions.Keywords:Normaldistribution;Parameterestimation;Intervalestimation;Hypothesistesting目录TOC\o"1-3"\h\u9953前言 前言随着当今社会不断的发展，能源消耗越来越多，能源供给问题越来越严重，伴随而来的环境污染问题也逐步为人们所重视。理所应当的，寻求洁净、安全的可持续能源成为了人类目前的一个重大课题。2006年1月11日，国务院总理温家宝主持召开常务会议，经过审议并原则通过《炼油工业中长期发展专项规划》和《乙烯工业中长期发展专项规划》。会议指出，炼油和乙烯工业还存在着资源供应能力不足、产业布局不合理、产业集中度低、技术创新能力不强、低水平生产能力过大以及企业及产业竞争力弱等问题。专家指出，我国能源产业将长期面临供应乏力、浪费严重和结构畸形等诸多问题。2002年以来我国高能耗产业扩张速度惊人，但国内一次能源生产总量仅增长11%，其中原油只增长了1.8%。今后几年，我国原油产量上限为1.8亿t/a~2.0亿t/a，而2020年估计消费量将高达5亿t，对外依存度将逾60%，高于美国目前50%的水平。石油短缺、油价飚升引发了替代能源热。我国化石类能源储量中，煤炭占92%，石油2.9%，天然气仅0.2%。因此，“煤制油”成为领头羊。号称“全球首个”的神华集团煤制烯烃工程也在包头奠基，包括项目煤制甲醇、甲醇制丙烯以及聚丙烯等。上述煤制油、煤制烯烃项目动辄投资数百亿元，需要相当长的周期回笼资金。[1][2]生物质能资源的储备丰富、可再生等优点使其越来越受到人们的广泛关注。生物质储存量极大，盲目地燃烧不仅浪费资源而且也污染了环境，如果采取合理的方法使其压缩成型，从而成为一种锅炉燃料，可极大缓解我国目前或潜在的能源危机。麦秸秆作为一种典型生物质能源，不仅具备生物质能源的优点，而且麦秸秆基本存在于农田之中，只要政策得当，那么开发费用相较于其他能源会有较大的竞争力。收集完成后通过粉碎处理、碱处理、干燥、热值分析、工业和元素分析等研究步骤，可对麦秸秆有更加深入的了解。本文就着眼于利用数理统计的方法分析麦秸秆燃烧的热值，从而研究这种典型的生物质能源替代煤等矿物燃料的潜力。1采集样本及数据整理1.1数据的搜集方法及说明实验室对麦秸秆进行发热量测定时，产生约120组实验数据，下面研究的数据就来源于此，测定的数据在排除仪器问题的情况下，基本准确可靠。1.1.1数据分析用仪器SXHW—2型数显恒温量热仪。鹤壁市仪表厂有限责任公司。如图1。BT25S型分析天平。Max=21g，d=0.01mg。如图2。图图1SXHW—2型数显恒温量热仪Fig1SXHW-2-baseddigitaltemperaturecalorimeter图2BT25S型分析天平Figure2BT25Stypeanalyticalbalance1.1.2燃烧热值测试方法先用压饼机将标准重量的试样压成块状，再将把块放在一个不锈钢坩埚中，试样下面垫有棉线，上方缠绕金属丝，完成后把坩埚放入不锈钢弹筒中，旋紧弹帽，然后往钢弹筒中充入氧气，压力约达2.0Mpa，再把它放进盛有一定量水的椭圆筒内，使弹筒浸没在水中，再把放有弹筒的椭圆形内筒放进仪器的双层水套筒中，当通电点燃筒内的试样后，根据水温的上升和量热系统（包括水筒、钢弹）的热容量，即可计算出试样的发热量。1.2燃烧数据整理为了方便对数据进行数理统计分析，首先要整理数据，得出相应的频率和频数等较简单的数据，以方便对其进一步深入研究。1.2.1直观数据整理表1试样的发热量(kJ/g)Table1Caloricvalueofsamples(kJ/g)17.1120.3917.3518.3418.0619.2719.7117.2218.3317.8619.1419.7212.7717.4321.1920.0418.8619.0515.1812.1517.2720.6716.3918.8519.2617.0917.8614.8616.1419.6818.9018.0818.7621.9817.7119.6114.3119.9120.6815.3922.2119.9017.1218.0119.9419.6520.3820.3619.3120.1517.6420.1018.9618.4816.1215.4719.7018.4118.2916.8819.5717.9819.1017.3916.8818.2418.9219.0415.7317.3717.1520.7518.2417.9420.7620.6417.5414.3520.9214.9818.5418.0321.0213.1418.4619.3118.8322.5819.4016.5217.3119.3119.0717.3817.5414.9820.7120.7119.4918.0418.0021.0617.6317.3019.8017.5917.9419.3818.2620.5920.5917.1017.1717.5419.4417.7816.8017.9317.1118.321.2.2频数和频率分布表样本中：最小值X(1)=12.15；最大值为X（n）=22.58；可以取a=12.145，b=22.585；全距L=22.585-12.145=10.44。一般规律（n为数据量，k为组数）故取k=10。等组距（）：表2燃烧数据频率、频数、累计频率分布表Table2frequency、absoluterfrequencyandcumulativefrequencyfromburndata组序范围区间频数

Ni频率

Wj=fj/n累计频率

Fj1(12.145,13.195]30.0250.0252(13.195,14.245]00.0000.0253(14.245,15.295]60.0500.0754(15.295,16.345]50.0420.1175(16.345,17.395]200.1670.2846(17.395,18.445]290.2410.5257(18.445,19.495]240.2000.7258(19.495,20.545]170.1420.8679(20.545,21.595]130.1080.97510(21.595,22.645]30.0251.0001.3燃烧数据直方图图3燃烧数据直方图Fig3Thehistogramofburndata根据表2中的燃烧数据频率，可生成如图3所示的燃烧数据直方图，该图比较特殊的地方在于第二组没有数据，这可能是因为我所得到的数据不够多，不能完整的描述其中的规律。图4燃烧数据折线图Fig4Thepolygramofburndata同样，该燃烧数据折线图也是根据图2中的频率，利用excel软件生成的，就整体而言虽存在些许波动，但趋势亦表现的很明显，先增大后减小，在第6组的时候达到高峰。图5燃烧数据累计频率折线图Fig5Thepolygramofcumulativefrequency利用表2中燃烧数据的累计频率可得如图5所示的累计频率折线图，在该图中，从第4组到第7组增大的加速度较大，两侧则趋于平缓。1.4经验分布函数用X表示麦秸秆燃烧数据总体，X1,X2,……，Xn是来自总体X的样本，样本的顺序统计量为（n=120），对于任何实数X，称下式为总体X的经验分布函数。其对应的经验分布图如下：图6经验分布函数图Fig6thegraphofempiricaldistribution2假定总体服从正态分布，给出，的估计假定总体服从正态分布，显然我们的抽样样本容量n=120。2.1矩估计法数学期望：即，。故的矩估计量为。方差：即，。故的矩估计量为。2.2最大似然估计X的密度函数为：所以与的似然函数为取对数得令，解得所以与的极大似然估计量为，2.3若总体不是正态分布请探求其参数估计，并写出方案若该样本数据不服从正态分布，而从图形看，可假定其服从泊松分布。泊松分布的概率密度为：可令，则有：由于，所以由上式可得：①矩估计法：令，即，则②最大似然估计：令似然函数为，则有即，。3参数区间估计假设总体服从正态分布。对其进行相应的参数区间估计。而粗略的讲，参数的区间估计其实就是寻找一个值域，期望该值域包含参数的真实值。3.1方差未知，求数学期望的置信区间①选择t作为样本函数，②给定置信水平：0.95，使根据自由度n-1和0.95的置信水平，从t-分布表查出分位数为则上式等价于③μ的随机置信区间：μ的置信水平为0.95的置信区间为④μ的确定置信区间：由样本可知：n=120，=18.34，s=1.90。取上分位数=0.05，则查表可得=1.9801经计算得μ的置信水平为0.95的确定置信区间为:[18.00，18.68]，而μ=18.34，显然位于置信区间内。3.2数学期望，均未知，求方差的置信区间①选择G作为样本函数，②给出置信水平0.95，使③则的置信水平为0.95的随机置信区间为：④显然的置信水平为0.95的确定置信区间为：有样本可知：n=120，s2=3.60根据置信水平0.95和自由度119，从分布表查出分位数==90.6996==151.0844经计算的置信水平为0.95的确定置信区间为：[2.84，4.72]，显然=3.6位于置信区间内。4参数假设检验4.1样本统计数据的t检验设总体服从正态分布N(，)，其中参数，均未知，方差未知的情况下，对数学期望进行假设检验：①原假设和备择假设（双边假设）其中为已知常量18.01。②选取检验统计量当原假设为真，方差未知时，检验统计量为：服从自由度为119的t-分布，即。其中为样本差。③确定拒绝域给定显著性水平=0.05，使由上文可知=1.9801显然拒绝域为：④检验统计量的观察值：⑤判断：显然，即观察值未落在拒绝域中，接受原假设。4.2数据的检验设总体服从正态分布N(，)，其中参数，均未知，对方差进行假设检验。①原假设和备择假设其中为已知常数。②选择检验统计量当原假设为真时，检验统计量为：其中为样本差。③确定拒绝域给定显著性水平=0.05，使从分布表查出临界值为，，则拒绝域为或。由分布表知：则拒绝域为：④计算检验统计量的观察值：⑤作判断显然的值为落在拒绝中，故接受原假设。

5非参数假设检验（拟合优度检验或K—S检验）一般地，样本来自正态总体，样本数据满足随机性和独立性。然而，对有些情形，总体分布不知道，这时检验问题限定的假设条件弱一些，如只要求样本的随机性、独立性，样本来自同一总体。换句话说，对总体分布不作任何假设，至多假设总体服从连续分布。像这种不取决于总体分布类型的检验称为非参数性的假设检验。5.1拟合优度检验或K—S检验由图3可看出，粗略认为麦秸秆燃烧热值服从正态分布，假定显著性水平=0.05。①原假设和备择假设为：不真其中，均为未知参数，，的极大似然估计值分别为，②以表2为基础，原假设为真时，随机变量X落在各小区间的概率为，具体统计数据如下：③等价检验假设：计算结果列入下表中：表3热值数据分析表Table3theanalysistableofcalorificdata组序热值区间频数

NiPi0n*Pi0(Ni-n*Pio)^2/nPio1(12.145,13.195]30.00340.40818.24902(13.195,14.245]00.01201.4403(14.245,15.295]60.03944.7284(15.295,16.345]50.092111.0523.31405(16.345,17.395]200.161619.3920.01916(17.395,