浙教八年级上册数学特殊三角形经典习题(含答案)

浙教数学八年级上册特殊三角形历年中考典型习题一、等腰三角形1.如图，△ABC中，AB=AC,AM是BC边上的中线，点N在AM上，求证：NB=NC.2.如图，ZAOB的内部有一点P,在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PPp的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹.3.已知：如图，在△ABC中，Z1=Z2,DEIIAC，求证：△ADE是等腰三角形.4.如图，△ABC中，AD丄BC,点E在AC的垂直平分线上，且BD=DE.(1)如果ZBAE=40°,那么ZB=,ZC=—°；如果△ABC的周长为13cm,AC=6cm,那么△ABE的周长=_cm；你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长？并证明你的结论.5.如图，在△ABC中，已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB.若ZABC=70°,则ZNMA的度数是度.若AB=8cm,△MBC的周长是14cm.①求BC的长度;②若点P为直线MN上一点，请你直接写出厶PBC周长的最小值.

6.如图，ZAOB=30,OC平分ZAOB,P为OC上一点，PD〃OA交OB于D,PE垂直OA于E,若OD=4cm,求PE的长.7.如图1,在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E在AD上.求证：BE=CE；如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF丄AC,垂足为F,ZBAC=45°,原题设其它条件不变.求证：EF=CF.8.如图，在四边形ABCD中，AD=4,BC=1,ZA=30°,ZB=90°,ZADC=120°，求CD的长.

9.如图，△ABC为等边三角形，BD平分ZABC交AC于点D,DE//BC交AB于点E.求证：△ADE是等边三角形.1(2)求证：AE=2AB.10.如图所示，D、E分别是△ABC的边BC、AC上的点，且AB=AC,AD=AE.(1)若ZBAD=20贝yZEDC=—；若ZEDC=20,则ZBAD=—；设ZBAD=a，ZEDC=P，你能由(1)(2)中的结果找到a、卩所满足的关系吗?请说明理由.11.如图，CN是等边△ABC的外角ZACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D,连接AD,BD,CD,其中AD，BD分别交射线CN于点E，P.依题意补全图形；若ZACN=a求ZBDC的大小(用含的式子表示)；用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明.N12.如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形。求证：AE=CD；若M，N分别是AE，CD的中点，试判断厶BMN的形状，并证明你的结论。13.如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，且BD=AE,AD与CE交于点F.求证：AD=CE；求ZDFC的度数.14.如图，点O是等边三角形ABC内一点，ZAOB=110°,ZBOC=«，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得厶ADC,连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；⑵当a=150°时，试判断厶AOD的形状，并说明理由；⑶探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？、直角三角形1.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4,BC=3,DB=5，求AD的长；求证：△ABC是直角三角形.军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A,已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1,将RtAABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE.如果AC=6cm,BC=8cm，可求得厶ACD的周长为；如果ACAD：ZBAD=4：7,可求得ZB的度数为；操作二：如图2,小王拿出另一张RtAABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=9cm,BC=12cm，请求出CD的长.如图，在△ABC中，AB=AC,AD丄于点D,AM是厶ABC的外角ZCAE的平分线.(1)求证：AM〃BC；(2)若DN平分ZADC交AM于点N,判断△ADN的形状并说明理由.5.如图1,在厶ABC中，已知ZBAC=45。，AD丄BC于D,BD=2,DC=3,求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x,利用勾股定理，建立关于x的方程模型，即可求出x的值.参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2,在厶ABC中，ZBAC=30。，AD丄BC于D,AD=4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.(画图所用字母与图1中的字母对应)6.已知，如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30。，BC=18cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s,Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s)，解答下列问题：t为时，△PBQ是等边三角形？P,Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由.7.两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，图中AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZEAD=900,B,C,E在同一条直线上，连结DC.(1)图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母);

指出线段DC和线段BE的关系，并说明理由.D8.已知：如图T5-6,AACB和厶ECD都是等腰直角三角形,ZACB=ZECD=90°,D为AB边上一点.求证：△ace^abcd；求证：2CD2=AD2+DB2.如图，在△ABC中，ZBAC=90。，AB=AC,点D是BC上一动点，连接AD,过点A作AE丄AD,并且始终保持AE=AD,连接CE.(1)求证：△ABD^^ACE；(2)若AF平分ZDAE交BC于F,探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明;(3)在(2)的条件下，若BD=3,CF=4,求AD的长.如图，折叠长方形纸片ABCD,使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE.已知该纸片宽AB=3cm，长BC=5cm.求EC的长.11.已知，如图，ZABC=ZADC=90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC=10，BD=6.求证：EF丄BD；求EF的长.12.学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度.爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米.请你设法帮小明算出旗杆的高度.

13.如图,RtAABC中13.如图,RtAABC中，ZC=90。，AD平分ZCAB,DE^yAB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长;(2)求厶ADB的面积.14.如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米.这个梯子的顶端距地面有多高？如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米?在厶ABC中，AB=15，BC=14,AC=13，求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.

DC如图，在△ABC中，ZC=90°点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.判断DE与DP的位置关系，并说明理由；若AC=6,BC=8,PA=2，求线段DE的长.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB丄BD，ED丄BD,连结AC、EC,已知线段AB=5,DE=1,BD=8，设CD=x用含x的代数式表示AC+CE的长；请问点C满足什么条件时，AC+CE最小？最小为多少？(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求代数式7X24花12X)29的最小值.

18.(1)问题发现：如图1,△ACB和厶DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A,D,E在同一直线上，连接BE,易证△BCE竺MCD.贝®ZBEC=°;②线段AD、BE之间的数量关系是.拓展研究：如图2,△ACB和厶DCE均为等腰三角形，且ZACB=ZDCE=90°,点A、D、E在同一直线上，若AE=15,DE=7,求AB的长度.探究发现：如图3,P为等边△ABC内一点，且ZAPC=150°，且ZAPD=30°,AP=5,CP=4,DP=8,求BD的长.答案一、等腰三角形证明：•.•AB=AC,AM是BC边上的中线，:.AM丄BC.:.AM垂直平分BC.•・•点N在AM上,:・NB=NC.解：如图，作点P关于直线OA的对称点E,点P关于直线OB的对称点F,连接EF交OA于P1,交OB于P2,连接PP1,PP2,△PP1P2即为所求.理由：•.•P1P=P1E,P2P=P2F,..△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF,根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短.3.证明：•.•DE〃AC,AZADE=Z2,VZ1=Z2,AZADE=Z1,:・EA=ED,即厶ADE是等腰三角形.4.(1)70°；35(2)7AB+BD=DC.证明：TAD丄BC,BD=DE,：・AB=AE,V点E在AC的垂直平分线上，・：AE=CE,：.AB+BD=AE+DE=CE+DE=DC.5.解：(1)TAB=AC,AZC=ZABC=70°,.•・ZA=40。，TAB的垂直平分线交AB于点N,.•・ZANM=90。，AZNMA=50°,故答案为：50；(2)①TMN是AB的垂直平分线，:・AM=BM,:.△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC,TAB=8,△MBC的周长是14,•：BC=14-8=6；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，理由:TPB+PB=PA+PC,PA+PC^AC,:.P与M重合时，PA+PC=AC,此时PB+PC最小，:.△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14.过点P作PH丄BO于点H,则PE=PH=丄PD=22证明：(1)TAB=AC,D是BC的中点，AZBAE=ZEAC,:.△ABE^^ACE(SAS),:.BE=CE；(2)TZBAC=45。，BF丄AF,•••△ABF为等腰直角三角形，:.AF=BF,•••AB=AC,点D是BC的中点，•AD丄BC,ZEAF+ZC=90°,BF丄AC,.•.ZCBF+ZC=90°,ZEAF=ZCBF,△AEF^KBCF(ASA).：・EF=CF延长AD、BC,两条延长线交于点EVZB=90°,ZA=30°：・ZE=60。*/ZADC=120°:.ZCDE=60°:.△CDE是等边三角形贝9CD=CE=DE设CD=x，贝yCE=DE=x,AE=x+4,BE=x+1•/在Rt^ABE中，ZA=30°：.x+4=2(x+l)解得：x=2：・CD=2("•△ABC为等边三角形:.ZA=ZABC=ZC=60°•DE〃BC・：ZAED=ZABC=60°,ZADE=ZC=60°:.ZAED=ZADE=ZA=60°•△ADE是等边三角形(2)V^ABC为等边三角形:.AB=BC=AC•:AB=BC,BD平分ZABC1:.AD=-AC2:△ADE是等边三角形:.AE=AD1:.AE=_AB210.(1)10°40°a=2卩.理由如下：因为AB=AC,AD=AE,所以ZB=ZC,ZADE=ZAED.又ZADC=ZB+ZBAD,得ZAED+ZEDC=ZB+ZBAD.所以ZEDC+ZC+ZEDC=ZB+ZBAD,所以2ZEDC=ZBAD,即a=2卩.11.(1)(2)解：•：点A与点D关于CN对称,：・CN是AD的垂直平分线，••・CA=CD.•?ZACN=a,.•・ZACD=2a.•・•等边△ABC,••・CA=CB=CD,ZACB=60°.••・ZBCD=ZACB+ZACD=60°+2a.1:./BDC=/DBC=—(180。-/BCD)=60°-a.2(3)结论：PB=PC+2PE.本题证法不唯一，如：证明：在PB上截取PF使PF=PC,连接CF.VCA=CD,ZACD=2a：・ZCDA=ZCAD=90°-a.•.•/BDC=60°-a,：・/PDE=/CDA_/BDC=30°.・:PD=2PE.•.•/CPF=ZDPE=90。—/PDE=60°.:.△CPF是等边三角形.：.ZCPF=ZCFP=60°.：・ZBFC=ZDPC=120°..△BFC^ADPC.:.BF=PD=2PE.：・PB=PF+BF=PC+2PE.12.因为,△ABDABCE都是等边三角形AB=BDBE=BC/ABD+/DBE=/EBC+/DBE所以/ABE=/DBC所以△ABE全等△DBC所以AE=CD(2)等边三角形13.证明：•「△ABC是等边三角形，・・・ZBAC=ZB=60°AB=AC又「AE=BD,:.△AEC竺△BDA・AD=CE(2)解由(1)△AEC^ASDA,得ZACE=ZBADAZDFC=ZFAC+ZACE=60°14.(1)证明：•.•CO=CD,ZOCD=60°,・・・ACOD是等边三角形；解：当«=150°时，△AOD是直角三角形.(5分)理由如下：由题意可得厶BOC^AADC,AZADC=ZBOC=150°.又、：ACOD为等边三角形，・・.ZODC=60°,・・.ZADO=90。.即厶AOD是直角三角形；解：①要使AO=AD，需ZAOD=ZADO.•:ZAOD=190°-«,ZADO=«-60°,A190°-«=«—60°,・a=125。.②要使OA=OD,需ZOAD=ZADO.•:ZOAD=180°-(ZAOD+ZADO)=180°-(190。一a+a—60°)=50°,・・・a—60°=50°.Aa=110°；③要使OD=AD,需ZOAD=ZAOD,.•・190。一a=50°,・・・a=140°.综上所述，当a的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.、直角三角形1.解：(1)：CD丄AB,.•・ZCDB=ZCDA=90°,9在RtABCD中，BC=3,DB=5,12根据勾股定理得：CD=丁,12在RtAACD中，AC=4,CD=g,根据勾股定理得：AD=16(2)△ABC为直角三角形，理由为：•.•AB=BD+AD=5,.°.AC2+BC2=AB2,•••△ABC为直角三角形.2.作A点关于河岸的对称点A',连接BA'交河岸与P,连接AB,则BB'=2+3=5,则PB+PA=PB+PA'=BA，最短，故将军应将马赶到河边的P地点.作FB'=EA'，且FB，丄CD,•:FB』EA',FB丄CD,BB〃AA・•・四边形A'BBA是矩形，•B'A'=EF,在RtABB'A中,BA'=13,答：将军最短需要走13公里3.(1)14cm(2)35°由折叠知：AE=AC=9,DE丄AB,设CD=DE=X,则BD=12-X,•:AB2=81+144=225,•AB=15.•.BE=15-9=6,・(12-x)2二x2+36x=4.5,即CD=4.5cm4.证明：(1)TAB=AC,AD±BC,ttZeacZBAD=ZCAD=-TAM平分ZEAC,^zEam=zmac=^2eac.:.ZMAD=ZMAC+ZDAC=90°.TAD丄BC:.ZADC=90°:.ZMAD+ZADC=180°:AMIIBC.(2)△ADN是等腰直角三角形,理由是：TAM〃AD,：ZAND=ZNDC,TDN平分ZADC,：・ZADN=ZNDC=ZAND.：・AD=AN,•••△ADN是等腰直角三角形.5.参考小萍的做法得到四边形AEGF,ZEAF=60°,ZEGF=120°,ZAEG=ZAFG=90°,AE=AF=AD=4.连结EF,可得△AEF为等边三角形.：EF=4.：.ZFEG=ZEFG=30°.・：EG=FG.4&在厶EFG中，可求，EG=3'：3.8△EFG的周长=BG+CG+BC=BG+CG+EB+FC=2EG=36.(1)要使，△PBQ是等边三角形，即可得：PB=BQ,•・•在RtAABC中，ZC=90°,ZA=30。，BC=18cm..°.AB=36cm,可得：PB=36-2t，BQ=t，即36-2t=t，解得：t=12故答案为；1272(2)当t为9或$时，△PBQ是直角三角形,理由如下：VZC=90°，ZA=30°，BC=18cmAB=2BC=18x2=36(cm)T动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度出发:.BP=AB-AP=36-2t，BQ=t•••△PBQ是直角三角形：・BP=2BQ或BQ=2BP当BP=2BQ时，36-2t=2t解得t=9当BQ=2BP时,t=2(36-2t)72解得t=y72所以，当t为9或g时，△PBQ是直角三角形.*/ZBAC=ZEAD=9Oo7.(1)、图2中的全等三角形是_△*/ZBAC=ZEAD=9Oo:.ZBAC+ZCAE=ZEAD+ZCAE:.ZBAE=ZCAD・'.△ACD^^ABE(SAS)⑵线段DC和线段BE的关系是：—垂直—且—相等证明：由(1)知：△ACD竺AABE・DC=BE,ZACD=ZB•?ZBAC=90o・\ZB+ZACB=9Oo・\ZACD+ZACB=9Oo即.\ZBCD=9Oo:.BE丄CD・•・线段DC和线段BE的关系是：垂直且相等8.证明:⑴TAABC和厶ECD都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=90°,・AC=BC,CD=CE,•/ZACB=ZDCE=90°,ZACE+ZACD=ZBCD+ZACD,ZACE=ZBCD,・△ACE^ASCD(SAS).⑵J△ACB是等腰直角三角形,/.ZB=ZBAC=45°.*/△ACE竺MCD,/.ZB=ZCAE=45°./.ZDAE=ZCAE+ZBAC=45°+45°=90°,•°・AD2+AE2=DE2.由⑴知AE=DB,・°・AD2+DB2=DE2,又DE2=2CD2,・°・2CD2=AD2+DB2.9.(1)证明：TAE丄AD,AZDAE=ZDAC+Z2=90°,又TZBAC=ZDAC+Z1=90°,AZ1=Z2,:.△ABD^^ACE.(2)解：结论：BD2+FC2=DF2.理由如下:连接FE,VZBAC=90°,AB=AC,AZB=Z3=45°由(1)知厶ABD竺AACEAZ4=ZB=45°,BD=CEAZECF=Z3+Z4=90°,:.CE2+CF2=EF2,BD2+FC2=EF2,TAF平分ZDAE,:.ZDAF=ZEAF,:△DAF9\EAF4..x4..x=3:・DF=EFBD2+FC2=DF2.(3)解：过点A作AG丄BC于G,由(2)知DF2=BD2+FC2=32+42=25:・DF=5,.•・BC=BD+DF+FC=3+5+4=12,VAB=AC,AG丄BC,1.•・BG=AG=mBC=6,2:・DG=BG-BD=6-3=3,・•・在RtAADG中，AD=3、呂.SDGFC10.由折叠可知AD=AF=5cm,DE=EFVZB=90°AAB2+BF2=AF2,*.*AB=3cm,AF=5cm.•・BF=4cm,TBC=5cm,・FC=1cmTZC=90°,EC2+FC2=EF2设EC=x，贝yDE=EF=3—x.°.(3—X)2=12+x211.证明：（1）连接BE,DE•.•ZABC=ZADC=90°，点E是AC的中点,11BE=—AC,DE=—AC22:.BE=DE•・•点F是BD的中点，BE=DE：・EF丄BD1(2)TBE=—AC2：・BE=5•・•点F是BD的中点:BF=DF=3在RtABEF中，EF=h=4解：设旗杆的高为x米，则绳子长为x+1米,由勾股定理得，（X+1）2=X2+52，解得，x=12米.答：旗杆的高度是12米.（1）VAD平分ZCAB,DE丄AB，ZC=90°，：CD=DE.•/CD=3，・：DE=3.(2)在RtAABC中，ZC=90。，AC=6，BC=8,由勾股定理，得ab=io.:.△ADB的面积为S=2AB・DE=2"0x3=15.14.解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO=12（米）；答：这个梯子的顶端距地面有12米